リーマンの 1851 年の博士論文には、『一複素変数関数の一般理論の基礎』という控えめな題がついている。そこには数学を変えた二つの考えがある。複素関数が微分をもつために満たさなければならない条件と、いくつもの値をもつ関数を扱う幾何学的な方法である。 微分できる関数 $z = x + iy$ の複素関数 $f(z)$ は、$u$ と $v$ を $x$ と $y$ の実関数として $f = u + iv$ と書ける。$f$ が複素数の意味で微分をもつ、つまり $h$ がどの方向からゼロに近づいても極限 $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ が同じになるには、$u$ と $v$ がコーシー＝リーマンの方程式を満たさなければならない。 $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$コーシーはすでにこの方程式を知っていたが、リーマンはそれを理論の中心にすえた。その帰結のひとつは、$u$ と $v$ が調和関数で、ラプラス方程式を満たすということである。複素関数が電気や熱や流体の記述にとても役立つのはこのためである。 平方根の問題 複素関数のなかには、二つ以上の値をもつものがある。いちばん簡単な例が $\sqrt{z}$ である。$z$ を極形式で $z = r\,e^{i\theta}$ と書くと、平方根の一つは $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$ である。ここで原点のまわりを一周すると、$\theta$ は $2\pi$ 増え、点 $z$ はもとの場所にもどる。ところが平方根は