パスカルが「神の存在を証明した」と聞いたことのある人は多いでしょう。彼はそんなことはしていませんし、それはできないとはっきり書いています。彼が提案したのは、もっと興味深いことでした。理性で決着がつかないのなら、問いを取り替えよう、というのです。「神は存在するか」と問うかわりに、「どちらに賭けるほうが得か」と問う。そしてこの二つめの問いに、フェルマーと生み出したばかりの数学、つまり公平な分配の数学で答えようとしたのです。 書き込みだらけの紙 『パンセ』の自筆の紙片。パスカルの死後、大きな台帳に貼りつけられたもので、2016 年のフランス国立図書館の展覧会で撮影された。パスカルは紙切れに、いろいろな向きに書き、何度も線で消しました。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晩年のパスカルは、キリスト教を弁護する本のためにメモを集めていましたが、その本を書き上げることはありませんでした。1662 年に彼が亡くなると、友人たちは何百もの断片を見つけました。はさみで切り抜かれ、糸で束ねられたものもありました。友人たちはその一部を選び、1670 年に『パンセ』（思考）という題で出版しました。 賭けの断片は、二つ折りにした一枚の紙で、両面に書かれ、余白や逆さまの向きにも書き足されています。編者たちはこれを書き出しのことばで呼んでいます。**「無限、無」**です。これはパスカルと、信仰をもたない相手との対話で、その相手は、パスカルがパリの社交界で知り合ったシュヴァリエ・ド・メレのような賭博師たちをモデルにしているのかもしれません。 理性では決められない 出発点は、無力の告白です。 神は存在するか、しないかである。だが、私たちはどちらの側に傾くのか。理性はここでは何も決定できない。無限の混沌が私たちを隔てている。この無限の距離の果てで、ある勝負が行われていて、表か裏かが出る。あなたは何に賭けるか。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 相手は、正しいのは何にも賭けないことだと答えます。パスカルはその逃げ道を認めません。 そうだ、しかし賭けなければならない。それは任意ではない。あなたはもう船に乗っているのだ。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 信じる者として生きることも、信じない者として生きることも、すでに一つの選択です。選ばないことは、後者を選ぶことになります。 四つのマスの表 今日では、この賭けは表の形で書かれます。選択が二つ、世界の状態が二つあります。 神は存在する 神は存在しない 信じる 無限の利得：「無限に幸福な無限の生」 失うものは少ない：いくつかの楽しみ 信じない すべてを失う 得るものは少ない：その同じ楽しみ パスカルはこの表を三つの段階でたどり、段階ごとに議論は強くなっていきます。哲学者イアン・ハッキングは 1972 年の論文で、これらが三つの別々の議論であり、三つめが期待値の計算であることを示しました。 第一段階：優越。「勝てば、すべてを得る。負けても、何も失わない。だから、ためらわずに神が存在するほうに賭けなさい。」どの列でも信じるほうがよいか同じなら、計算するまでもありません。 **第二段階：五分五分のときの計算。**相手は、自分は何かを失うと反論します。パスカルはそれを認め、サイコロの勝負のように計算します。勝ち負けの見込みが五分五分なら、一つの命を賭けて二つの命を得るのは割に合う。一つを賭けて三つを得る勝負を見送るのは愚かだ、と。 **第三段階：無限。**では、見込みが五分五分でなかったら？ パスカルは、それは問題ではないと答えます。 ここには、得るべき無限に幸福な無限の生があり、負けの有限個の見込みに対して勝ちの見込みが一つある。そしてあなたが賭けるものは有限である。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 計算 神が存在する確率をあなたがどれほど小さく見積もっても、それを $0$ より大きい $p$ としましょう。信仰生活のコストを有限の数 $c$、神が存在する場合の利得を $G$ とします。信じることの期待値は $$E(\text{信じる})=p\cdot G-(1-p)\cdot c$$です。$G$ が有限なら、結果はどうにでもなります。$p$、$G$、$c$ しだいです。しかしパスカルは $G=\infty$ とおきます。すると、どんな $p>0$ についても $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty$$となり、有限のどんな選択肢も太刀打ちできません。これは賭け金の分配と同じ考え方です。それぞれの賭けの価値は、賞金に見込みをかけたものです。違うのは、今度は賞金が無限大だということです。 1670 年版を写した海賊版の一冊にある『パンセ』の最初のページ。第 1 章の題は「無神論者の無関心に反対して」です。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 証明ではない この計算が言っていないことに注意してください。計算は確率 $p$ を少しも大きくしません。神が存在する見込みは千に一つだと思っていた人は、賭けのあとでも千に一つだと思っています。この議論は何をすべきかについてのもので、何が真かについてのものではありません。