奇数偶数ゲームには良い手がない。いつも指を一本出していれば、相手はそれを覚えて毎回勝つようになる。唯一の防御は予測されないこと、つまりランダムに、半分は一本、半分は二本出すことだ。そうすれば相手が何をしようと、勝負の半分は勝てる。 1928 年、フォン・ノイマンは『室内ゲームの理論について』という論文で、この考えがすべての二人ゼロ和ゲーム、つまり一方が得た分だけもう一方が失うゲームに当てはまることを示した。そして、それがつねに一つの確定した数、ゲームの値に行き着くことも示した。 小さなゲーム 行プレイヤーは A か B を、列プレイヤーは C か D を、同時に選ぶ。表は、行が受け取る（列が支払う）額を示す。 C D A $3$ $-1$ B $-2$ $1$ 明らかな選択はない。行がいつも A を出せば、列は D で応じ、行は $1$ を失う。行がいつも B を出せば、列は C で応じ、行は $2$ を失う。そこで行がランダムに選ぶとしよう。確率 $p$ で A を、確率 $1 - p$ で B を出す。行の期待利得は $$\text{C に対して：} 3p - 2(1-p) = 5p - 2, \qquad \text{D に対して：} -p + (1-p) = 1 - 2p.$$列は、行の取り分が小さくなるほうの応じ方を選ぶ。だから行は二つの値の小さいほうしか当てにできず、この最小値ができるだけ大きくなるように $p$ を選びたい。それは二本の直線が交わるところで起こる。 $$5p - 2 = 1 - 2p \;\Longrightarrow\; p = \frac{3}{7}, \qquad \text{保証される利得} = 5 \cdot \frac{3}{7} - 2 = \frac{1}{7}.$$ この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。