出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない （第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは 別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。 答え一覧 問題 内容 答え 1 $x^2 - x + 1$ で割った余り $a = -1$、$b = 3$ 2 楕円：$y/x$ の最大値 $r = \sqrt{3}$ 3 三角関数の連立方程式 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 傍接円 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ の最高位の数字 5 6 確率：$n$ 回目に4回目の表 $n = 6$ と $n = 7$ 7 重根をもつ多項式と直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式の和 1013 9 $A^{-1} = A^T$ を満たす整数行列 3840 10 対角線に垂直な面への立方体の射影 $4\sqrt{3}$ 問題 1：x² − x + 1 で割った余り 問題文 多項式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $2x + 1$ になるような 実数 $a$、$b$ を求めよ。
出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 の第1次試験は選択式48問で、数学12問、物理12問、化学12問、英語12問であった。 本稿では数学の問題を、試験と同じ1番から12番の番号で扱う。 試験の記法。 横軸と縦軸を $O_x$、$O_y$、原点を $O$ と書く；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線。 正答一覧 問題 内容 正答 1 複素数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ の面積 B 2 多面体：存在するか E 3 二項定理：定数項 C 4 関数：単射と全射 D 5 数列、等差数列と等比数列 D 6 パラメータを含む指数方程式 B 7 同値な連立一次方程式 A 8 三角関数の定義域 E 9 回転体 無効 10 2つの多項式の共通の根 D 11 焦点を共有する楕円と双曲線 A 12 約数の個数 C 問題 1：頂点 1、z、z² の三角形 問題文 $z = a + 2i$ を複素数とする（$a \in \mathbb{R}$ は正）。ガウス平面上で $1$、$z$、$z^2$ を表す点が 面積200の三角形をつくるような $a$ の値は
出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は第2次試験の公式解答を公表していない。 以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。 答え一覧 問題 内容 答え 1 同次連立一次方程式 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 行列：$M$ が正則になるとき $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底に変数を含む対数不等式 $]-2, 0[$ 4 多項式の割り算と根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$、$r = 0$；根は $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角法：和を積に $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内接円の半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 楕円：焦点への2線分が 60° をなす点 $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 正円柱と球 $400\pi$ cm² と $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形の辺 $6 + \sqrt{11}$ と $6 - \sqrt{11}$ 10 数え上げ：十角形の対角線の組 175 問題 1：同次連立方程式が自明でない解をもつとき 問題文 $a$、$b$ を正の実数とする。未知数 $x$、$y$、$z$ の連立一次方程式
出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 の第1次試験は選択式60問で、各科目12問（物理、ポルトガル語、英語、数学、化学） であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ37番から48番の番号で扱う。 試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線；$m(\overline{AB})$ は $\overline{AB}$ の長さ；$A\hat{O}B$ は頂点 $O$ の角；$\det A$ は $A$ の行列式。 正答一覧 問題 内容 正答 37 行列式と解がただ1つの方程式 C 38 複素数：$f(z) = z^2 + i$ の反復 E 39 凸多角形と等差数列 B 40 多項式：根の調和平均 C 41 指数関数：不等式 B 42 平面図形：三角形に入る長方形 D 43 複素数：べきの和 D 44 双曲線：焦点とつくる三角形 A 45 確率：硬貨のゲーム B 46 回転体：2つの円錐 E 47 三角方程式 A 48 多項式：次数が3の倍数の項の係数 C 問題 37：行列式を含み解がただ1つの方程式 問題文 $A \in M_3(\mathbb{R})$ を、方程式 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$ を満たす 実数 $x$ がただ1つ存在するような行列とする。このとき $x + \det A$ は