棒グラフは説明がいらないように見える。棒が高いほど数が大きい。第2章の言葉で言えば、これはイコンであり、高さが量に似ている。しかしどのグラフの背後にも、目には読めない約束事がある。目盛りである。約束事が変わっても、イコンは同じ自信をもって語り続ける。ただ、語っている内容は別のものになっている。 切り詰められた軸 ある会社の四年間の売上は $96$、$98$、$101$、$104$ である。控えめな成長で、三年で $8.3\%$ だ。では縦軸を $0$ ではなく $95$ から始めて棒グラフを描いてみよう。最初の棒の高さは $1$、最後の棒は $9$ になる。最後の棒は最初の棒の九倍に見える。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 グラフはどの数についても嘘をついていない。数はすべてそこに書いてある。嘘をついているのは数どうしの関係についてであり、それこそ棒グラフが示すと約束しているものなのだ。1954 年、アメリカのジャーナリスト、ダレル・ハフは『統計でウソをつく法』でこの手口を「ギーウィズ・グラフ」（gee-whiz graph、「うわっ」グラフ）と呼んだ。この本はいまも統計学の授業の必読書である。 棒グラフの規則は簡単だ。棒は長さを比べるので、ゼロから始めなければならない。折れ線グラフは事情が違う。変化を示すものなので、目盛りがはっきり書かれ、線の高さを大きさの尺度として読ませないかぎり、軸をデータの近くから始めてよい場合がある。 対数目盛り わざとゆがめた目盛りもある。しかも善意からである。細菌の数や流行初期の感染者数のように、一定の期間ごとに倍になる量は爆発的に増えるので、普通のグラフでは最初の値は地面に張りつき、最後の値はページからはみ出してしまう。 対数目盛りでは、縦軸の目盛りは $0, 10, 20, 30$ ではなく $1, 10, 100, 1000$ である。同じ長さだけ進むごとに 10 がかけられる。すると指数的な成長は直線になり、その傾きが倍になる速さを表す。2020 年には多くの新聞が流行の曲線を両方の目盛りで示し、多くの読者が、同じデータが爆発にも穏やかな坂にも見えうることを知った。 対数目盛りは、学ばなければならない記号のよい例である。目は高さを量として読む。対数目盛りでは、高さが表すのは桁である。約束事が変わったことに気づかない人は、グラフを読み違える。 枠の縦横比 軸がゼロから始まり、目盛りが普通のものであっても、枠の形が印象を変える。同じデータが、横に長く低い長方形では穏やかに見え、縦に細長い長方形では急上昇しているように見える。統計学者ウィリアム・クリーブランドは実用的な規則を提案した。重要な傾きが $45°$ に近くなるように縦横比を選ぶことである。それが、目が傾きの差をもっともよく見分けられる角度だからだ。 面積で嘘をつく地図 選挙の地図は各地域を勝者の色で塗る。しかし地域の面積は有権者の数とは何の関係もない。広くて人のいない州は、小さくて人口の密集した都市よりも多くのインクを使う。目は面積を重要さとして読むので、地図はある政党が実際よりはるかに大きく勝ったと言っているように見える。カルトグラム（変形地図）は地域を変形させて面積を人口に比例させ、このイコンを正す。結果は奇妙に見えるが、それが正直さの代価である。 練習：軸による誇張軸が $90$ から始まるとき、$104$ の棒は $96$ の棒の何倍に見えるか。$100$ から始まるときはどうか。 軸が $90$ から始まると、見える高さは $104-90=14$ と $96-90=6$ であり、最後の棒は $\frac{14}{6}\approx2.3$ 倍に見える。軸が $100$ から始まると、$96$ の棒はまったく現れず、$104$ の棒の高さは $4$ になる。グラフは意味を失う。本当の比はいつも $\frac{104}{96}\approx1.08$ である。
18 世紀の終わりまで、数は表で発表されていた。表は正確だが、読者に一行ずつ比べさせ、値を頭に覚えておくことを強いる。データのグラフはこの読み方を一瞥に置き換えた。差も傾向も山も、数を一つも読まないうちに見えてくる。四つのグラフが、この発明によって見えるものがどう変わったかを示している。 プレイフェア、折れ線グラフを発明する 1700 年から 1780 年までのイギリスとアフリカの輸出入。ウィリアム・プレイフェア『商業と政治のアトラス』（1786）より。二本の線のあいだの面積が貿易収支を示す。William Playfair · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1786 年、波乱の人生を送ったスコットランドの技師でパンフレット作家のウィリアム・プレイフェアは『商業と政治のアトラス』を出版した。イギリスの貿易についての 44 枚のグラフを収めた本である。時間を横軸にとった折れ線グラフと棒グラフが体系的に現れたのは、これが初めてだった。1801 年には円グラフも加えた。プレイフェアは、目は数の並びの形を、記憶が数そのものを保つよりもはるかによくとらえる、と言ってこれらの図を擁護した。 スノウとブロード・ストリートのポンプ ジョン・スノウが 1854 年に描いたロンドンのソーホー地区の地図。コレラによる死者一人ひとりが、家の戸口に積み重ねた黒い短い線で示されている。積み重なった線はブロード・ストリートのポンプのまわりに集まっている。John Snow · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1854 年の 8 月と 9 月、コレラがロンドンのソーホー地区で数百人の命を奪った。主流の理論は、病気は「瘴気」、つまり悪い空気から来るとしていた。医師のジョン・スノウは水を疑った。彼は地区の地図に死者を一人ずつ、家の戸口に短い線を引いて記した。すると線は一つの公共ポンプ――ブロード・ストリートのポンプ――のまわりに積み上がった。スノウは当局を説得し、9 月 8 日にポンプの柄を外させた。 ポンプが止められたとき、流行はすでに下火になりつつあり、もっとも有名な地図は報告書のためにあとから描かれたものである。それでも論証の力はこの図にあった。読者は統計を一つも読まないうちに、発生源を見たのである。これは疫学誕生の画期の一つである。 ナイチンゲールのバラ図 フローレンス・ナイチンゲールによる東方のイギリス軍の死因の図（1858）。一切れが一か月である。青い面積は予防できた病気による死、赤は傷による死、黒はその他の原因を表す。Florence Nightingale · Wikimedia Commons · パブリックドメイン クリミア戦争で、イギリスの看護師フローレンス・ナイチンゲールは、兵士たちが戦闘の傷よりも、不潔な病院での病気によってはるかに多く死んでいくのを見た。1858 年に帰国した彼女は、表を読まない将軍や大臣たちを説得しなければならなかった。そこで彼女は、バラの形をした新しい図を描いた。一か月が一切れで、各色の面積が死者の数に比例する。予防できた病気の巨大な青い塊が、傷による死の小さな赤を飲み込んでいた。 数学の細部が重要である。面積を人数に比例させるには、各切れの半径を人数の平方根に比例させなければならない。もし半径を人数に比例させていたら、悪い月は実際よりはるかにひどく見えただろう。1858 年、ナイチンゲールはイギリス王立統計学会の会員に選ばれた最初の女性となった。 ミナールとナポレオンの行軍 シャルル・ミナールが描いた 1812 年のロシア遠征（1869）。帯の幅が軍の人数を表す。モスクワへ向かう行きはベージュ、帰りは黒。下には退却中の気温が描かれている。Charles Minard · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1869 年、フランスの技師シャルル・ミナールは、ナポレオンのロシアでの破滅的な遠征を描いた。一枚の紙に六つの変数が収まっている。帯の幅（軍の人数。出発時の 42 万 2000 人から帰還時の 1 万人まで）、地図上の二次元の位置、向き（行きか帰りか）、気温、そして日付である。統計学者エドワード・タフテは、これをおそらくこれまでに描かれた最高の統計グラフだと呼んだ。