前の記事で、記号の位置が式の意味の一部であることを見ました。かっこや指数や分数の横線は、部品がどう組み合わさるかを示しています。この考えを極端までおしすすめた計算法があります。それぞれの数を書く場所そのものがアルゴリズムになっているのです。数をどこに置くかを知っている人は、もう計算のしかたを知っています。このサイトの以前の記事は、三つの時代から三つの例を集めていました。 エジプト人：倍にしてかける 3500 年以上前、エジプトの書記たちは九九表なしでかけ算をしていました。二つの列を使います。左には $1$ から始まる $2$ の累乗、右には一方のかける数を、毎回倍にして書きます。$21\times37$ を計算してみましょう。 1 を倍に 37 を倍に ✓ $1$ $37$ $2$ $74$ ✓ $4$ $148$ $8$ $296$ ✓ $16$ $592$ 左の列で、たすと $21$ になる行に印をつけます：$16+4+1=21$。右の列では、印のついた行だけをたします：$592+148+37=777$。これで $21\times37=777$ です。 魔法のように見えます。このサイトの以前の記事も「これは神秘主義か？」と問うていました。そうではありません。左の列の印は、$21$ を二進法で書いているのです。 $$21=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=10101_2,$$そして計算は分配法則にすぎません：$21\times37=(16+4+1)\times37$。エジプトの書記たちは、ライプニッツがそれについて書く三千年以上も前に、二進法の算術をしていたのです。彼らの表は一つの記法です。✓ のついた行とつかない行が、1 と 0 なのです。 パチョーリ：窓でかける 1494 年、フランシスコ会の修道士ルカ・パチョーリは、ヴェネツィアで『算術、幾何、比および比例大全』を出版しました。商人が知っておくべきことをすべて集めた百科事典です。かけ算のいろいろな方法の中で、彼は対角線で区切った格子の中で行う方法を教え、その名前をこう説明しています。 ゲロジアとは、ご婦人の住む家の窓によく取りつけられている、あの格子のことである。 — ルカ・パチョーリ『算術大全』（1494） gelosia（ゲロジア）は、外から見られずに通りを見られる木の格子窓でした。計算の形が、その格子に似ていたのです。 ゲロジアで計算する 23 × 12。各マスには上の数字と右の数字の積が入る。対角線にそってたすと 0、2、7、6 と読める。このサイトの以前の記事をもとに、この本のために作成した説明図。 $23$ の各けたを上に、$12$ の各けたを右に書きます。それぞれのマスには、交わる二つの数字の積を、十の位を対角線の上に、一の位を下に書きます：$1\times2=02$、$1\times3=03$、$2\times2=04$、$2\times3=06$。それから、ななめの帯にそって下から順にたします：$6$、$4+0+3=7$、$0+0+2=2$、$0$。答えは $0276$、つまり $23\times12=276$ です。 秘密はまたしても場所にあります。ゲロジアのななめの帯は位なのです。一本目が一の位、二本目が十の位、三本目が百の位。学校の筆算が「くり上がり」と、一行ごとに左へずらすことでしていることを、格子がひとりでにやってくれるのです。このサイトの以前の記事は、同じ計算を位の表でも示していました。 部分積 百の位 十の位 一の位 $20\times10$ $2$ $0$ $0$ $3\times10$ $0$ $3$ $0$ $20\times2$ $0$ $4$ $0$ $3\times2$ $0$ $0$ $6$ 合計 $2$ $7$ $6$ 九九表の対角線 九九表を $10\times10$ の格子として書くと、上の角から下の角へ向かう対角線には $1, 4, 9, 16, 25,\ldots$ が並びます。それぞれの数に自分自身をかけた積、つまり平方数です。逆に読めば、対角線はそれぞれの正方形の辺を教えてくれます。この本の最初の記事の radix quadrati です。$49$ の平方根は、対角線上の $49$ がある行と列の、格子の端に書かれた数なのです。