リーマンの名がついたこの関数は、それ以前にオイラーが調べていた。1 より大きい実数 $s$ に対して、級数 $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$は収束する。オイラーはその値をいくつも計算した。たとえばバーゼル問題の答え $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ である。 オイラー積 オイラーのもっとも深い発見は 1737 年のもので、同じ関数が素数にわたる積として書けるということだった。 $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ は素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$理由は素因数分解の一意性である。各因子は等比級数で、$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$ となる。すべての素数の因子を掛けて展開すると、どの整数 $n$ も、その素数のべきの積としてちょうど一回ずつ現れる。たとえば $\frac{1}{12^s}$ は、2 の因子から $\frac{1}{4^s}$ を、3 の因子から $\frac{1}{3^s}$ を選んだものである。左辺は整数のことだけを、右辺は素数のことだけを語っている。この公式は両者をつなぐ橋であり、オイラーはこれを使って素数が無限にあることの新しい証明を与えた。 複素変数 博士論文を複素関数にささげたリーマンは、1859 年の論文で決定的な一歩を踏み出した。$s$ を複素数 $s = \sigma + it$ にしたのである。実部 $\sigma$ が 1 より大きければ、$|n^{-s}| = n^{-\sigma}$ なので級数はやはり収束する。