同じように見える二つの問い： 問い 答え $\sqrt9$ はいくつか $3$ $x^2=9$ をみたす実数はどれか $3$ と $-3$ 一行目をふしぎに思う人はたくさんいます。$(-3)^2$ も $9$ なのに、なぜ $\sqrt9$ は「$\pm3$」ではないのか。答えは第 1 章、この記号の古い名前の中にあります。Radix quadrati は正方形の辺でした。面積 $9$ の正方形の辺は $3$ で、長さが $-3$ の辺はありません。 面積 9 の正方形の辺は 3。方程式 x² = 9 には解が二つあるが、辺は一つしかない。この本のために作成した説明図。 一つの記号、一つの値 現代の数学は、正方形の記憶を一つの定義の中に残しました。$a\ge0$ のとき、記号 $\sqrt a$ は、2 乗すると $a$ になるただ一つの負でない数を表す、というものです。これには統語論的な理由もあります。数を受けとって、ときには一つ、ときには二つの値を返す記号は、計算の中に入れられません。$\sqrt9+1$ は $4$ なのか $-2$ なのか。$\sqrt{\phantom{a}}$ がほかの演算と同じように働くには、答えを一つ返さなければならず、それがどれかは幾何学が教えてくれるのです。 だからといって $-3$ が消えるわけではありません。それはやはり $x^2=9$ の解であり、二つの解を示す書き方は $$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ または }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3$$です。$\pm$ は根号の外に現れます。解が二つあるのは記号ではなく方程式だからです。二次方程式の解の公式で、根号の前に $\pm$ が書かれているのはそのためです。根号だけなら値は一つで、$\pm$ が両方を求めているのです。