古典的な確率は原因から結果へ向かう。硬貨が公正だとわかっているとき、表が出る確率はいくらか。だが問題は逆であることが多い。結果を見て、原因について知りたいのである。ある結果を見たあとで、硬貨について何が言えるか。この原因の確率をはじめて数学的に扱ったのはイギリスの牧師トマス・ベイズで、その論文は彼の死後、1763 年に発表された。ラプラスは 1774 年に、ベイズを知らないまま独立に同じ考えに達した。そしてそれを発展させ、応用したのはラプラスである。 中身のわからない壺 白い玉と黒い玉が、わからない割合 $p$ で入った壺を考える。$p$ については何も知らない。0 から 1 までのどの値も同じくらいありそうに思える。玉を $n$ 個（毎回戻しながら）取り出したところ、すべて白だった。次も白である確率はいくらか。 割合が $p$ なら、白が $n$ 回続く確率は $p^n$ である。見たことをよく説明する $p$ の値ほど重みが大きくなる。各 $p$ に $p^n$ の重みをつけると、次が白である確率は、この重みでとった $p$ の平均になる。 $$P(\text{次も白}) = \frac{\int_0^1 p \cdot p^n\,dp}{\int_0^1 p^n\,dp} = \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$$これがラプラスの継起の規則である。観測がまったくないとき（$n = 0$）は $\frac{1}{2}$。白が一つ出たあとは $\frac{2}{3}$、十個出たあとは $\frac{11}{12}$。もっと一般に、$n$ 回のうち $s$ 回白が出たなら、次が白である確率は $\frac{s+1}{n+2}$ である。 図は、白が積み重なるにつれて重みの曲線 $(n+1)p^n$ がどう変わるかを示している。曲線は $p = 1$ の近くに集まっていくが、確実になることはけっしてない。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 日の出 1814 年の『哲学的試論』で、ラプラスはこの規則を、のちに有名になる例にあてはめた。記録に残る歴史が 5000 年、つまり $1\,826\,213$ 日あり、そのすべての日に太陽が昇ったとする。規則によれば、明日太陽が昇る確率は