解の公式がない方程式もあります。$e^x+x-3=0$ には 2 次方程式のような公式はありませんし、3 次方程式の公式は面倒すぎてほとんど誰も使いません。そんなときは近似します。値を予想し、どれだけずれているかを調べ、予想を修正する。問題は、どうすればうまく修正できるかです。 ニュートンの例 1669 年の『解析について』で、ニュートンは次の方程式を選びました。 $$y^3-2y-5=0.$$試してみると、$2^3-2\cdot2-5=-1$ なので、根は $2$ の近くにあります。そこで彼は $y=2+p$ とおきました。$p$ は足りない修正分です。代入すると、 $$(2+p)^3-2(2+p)-5=p^3+6p^2+10p-1=0.$$$p$ は小さいので、$p^2$ や $p^3$ はさらに小さい。ニュートンはそれらを捨てて $10p-1=0$ を残し、$p=0.1$ を得ました。新しい予想は $y=2.1$。同じ考えを $y=2.1+q$ でくり返すと $q\approx-0.0054$、以下同様です。数ステップで $y\approx2.09455148$ に到達しました。 ニュートン、ラフソン、シンプソン ニュートンは毎回代入をやり直し、そのたびに新しい多項式を作っていました。1690 年、ジョゼフ・ラフソンはつねにもとの方程式を使う、より実用的な形を発表しました。今日教わる導関数を使った形は、1740 年にトマス・シンプソンが示したものです。そのため、この方法はニュートン–ラフソン法とも呼ばれます。 幾何学的な考え方：接線をたどる $p^2$ と $p^3$ を捨てることは、曲線をその接線で置き換えることと同じです。接点の近くでは接線は曲線とほとんど重なり、直線が軸と交わる点を求めるのは簡単です。 予想値 $x_n$ から出発すると、その点での $f$ のグラフの接線は $$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$これが横軸と交わるのは $y=0$ のときです。$x$ について解くと、新しい予想が得られます。 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$言葉で言えば、新しい予想 = 予想 − f(予想) ÷ f′(予想)。 ニュートンの方程式に、$f(y)=y^3-2y-5$、$f'(y)=3y^2-2$ として適用すると、 ステップ $y$ 0 2 1 2.1 2 2.0945681 3 2.0945514817 4 2.0945514815 1 ステップごとに、正しい小数の桁数がほぼ倍になります。