埃瓦里斯特·伽罗瓦的遗产
这封信，如果按照它所包含的思想的新颖和深刻来评判，也许是人类全部文献中分量最重的一篇文字。
— 赫尔曼·外尔，《对称》（1952） 伽罗瓦留下了大约六十页数学，其中很多是匆忙写成的。人们花了半个世纪才读懂它们。读懂之后，它们改变了人们对数学本身的看法：不再研究数和图形，而是研究使它们保持不变的变换。
群论 第一本关于伽罗瓦理论的书，法国人卡米尔·若尔当的《置换论》，出版于 1870 年。两年后，德国人费利克斯·克莱因在他的埃尔朗根纲领中提出，每一种几何都由它的变换群来定义：欧几里得几何研究在旋转和平移下不变的东西；射影几何研究在投影下不变的东西。阿贝尔的同胞、挪威人索菲斯·李创立了以他命名的连续群，用来研究微分方程，就像伽罗瓦研究代数方程那样。
伽罗瓦的工作与阿贝尔的工作非常相似，但有一个区别。阿贝尔证明了公式不存在。伽罗瓦解释了为什么，而且这个解释同时适用于所有方程。这种谈论运算而非数的新语言的故事，也在本站符号学一书的《伽罗瓦与凯莱》一章中讲述。
自然界中的群 物理。 1918 年，德国的埃米·诺特证明，物理定律的每一种对称都对应一个守恒量：时间上的对称给出能量守恒，空间上的对称给出动量守恒。1961 年，默里·盖尔曼用一个叫做 $\mathrm{SU}(3)$ 的群整理了亚原子粒子，并预言了一种当时还没有人见过的粒子，即 1964 年发现的 Ω⁻ 粒子。 化学。 晶体中原子排列的对称群恰好有 230 种，于 1891 年完成分类。每一种矿物、每一种金属、每一种结晶的蛋白质都属于其中之一。 数论。 1995 年，安德鲁·怀尔斯通过研究与椭圆曲线相关的方程的伽罗瓦群，证明了费马大定理。椭圆曲线正是从阿贝尔的椭圆函数中生长出来的。 计算机。 有限域存在于纠错码和密码学之中。 埃瓦里斯特·伽罗瓦，由他的弟弟阿尔弗雷德绘制，1848 年发表，那时他已去世十六年。Alfred Galois · Wikimedia Commons · 公有领域 魔群 挡住五次方程公式的那个 60 元群是单群：它不能被切成更小的块。单群是所有有限群的"原子"，找出全部单群是 20 世纪数学最大的工程之一。这项分类于 2004 年完成，由一百多位数学家写成，长达数万页。除了几个无穷族之外，恰好有 26 个零散单群。其中最大的魔群有
$$808\,017\,424\,794\,512\,875\,886\,459\,904\,961\,710\,757\,005\,754\,368\,000\,000\,000$$个元素，约为 $8\times10^{53}$。
留下了什么 方程论。 方程的群，以及判定哪些方程可以用根式求解的准则。 群论。 “群"这个词本身、正规子群的概念，以及把群分解成若干步骤。 有限域。 以他命名的 $p^n$ 元域。 几何。 通过旺策尔、克莱因和李，对不可能作图的解释，以及把几何看作对称性研究的思想。 科学。 粒子物理、晶体学、密码学和编码。 决斗的各种说法
决斗之谜催生了一个多世纪的传说。作家大仲马在回忆录中说，对手是一个名叫佩舍·德尔班维尔的共和派。也有人说是一名警察密探，或者是为了在葬礼上引发起义而安排的决斗。较新的研究认为，对手是一同坐过牢的欧内斯特·迪沙特莱。真相也许永远无法知道。而数学，至少完整地留了下来。
