Hero Image
柯尼斯堡大桥和图表的诞生

柯尼斯堡 (Königsberg)，位于 1652，拥有普雷格尔河 (Pregel) 及其岛屿。你可以数一下桥梁的数量。梅里安-埃尔本·公共领域 普雷格尔河穿过柯尼斯堡市（今俄罗斯加里宁格勒），形成两条河流 岛屿。七座桥梁连接城市的四个区域。居民们好奇这是否可行 每座桥步行一次。 在阅读答案之前，请自己尝试一下： 选择从哪里开始，然后单击桥梁来跨越它们。你能通过7吗？ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 欧拉意识到街道的形状、岛屿的大小和桥梁的长度并不重要。 重要的是哪些区域链接到哪些区域。他用点画取代了地图 （区域）和线路（桥梁）。今天，这被称为图表： 欧拉论文（1736）的原始图：区域为 A、B、C 和 D，桥为 a、b、c、d、e、f 和 g。莱昂哈德·欧拉·公共领域 今天我们画同样的问题是这样的： 柯尼斯堡图。红色数字表示到达每个区域的桥梁数量。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 现在扣分。在游览中，每次经过一个区域（没有开始或结束 它），使用一座桥进入，另一座桥退出。然后来自中间区域的桥梁到来 总是成对：到达它的桥的数量必须偶数。仅起始区域和 到达阶段可能有奇数个桥梁。 结论：只有在至多两个区域拥有奇数座桥梁的情况下，游览才有可能。 在柯尼斯堡计数： 地区 桥梁 偶数还是奇数？ 克奈夫岛 5 (a, b, c, d, e) 奇怪的 北岸 3 (a, b, f) 奇怪的 南岸 3 (c, d, g) 奇怪的 洛姆塞岛 3 (e, f, g) 奇怪的 有四个个奇怪的区域，所以游览是不可能的。欧拉在 1735 中提出了这个论点， 它被认为是图论的第一个结果，这个领域今天已经落后了 GPS、社交网络和送货路线。

October 10, 2026 阅读
Hero Image
模仿游戏：机器能思考吗？

我提议考虑这样一个问题：“机器能思考吗？” — 艾伦·图灵，《计算机器与智能》（1950） 图灵 1950 年发表在哲学期刊《心灵》上的论文就这样开头。紧接着的下一句，他就放弃了这个问题。要回答它，就得定义“机器”和“思考”，而任何定义都会变成没完没了的文字之争。图灵提议把它换成另一个问题，后者的好处是可以检验。 游戏规则 原来的游戏有三个参与者：一个男人、一个女人和一个提问者，分处不同的房间。提问者只能通过书面消息与另外两人交流，必须判断出谁是男人、谁是女人。男人设法骗他，女人设法帮他。 现在把男人换成一台机器。问题变成：当参与者之一是机器时，提问者出错的频率是否一样？如果机器对答得如此之好，以至于提问者无法把它和人区分开，图灵提议我们就把它是否“真的”在思考这一争论放到一边。这就是模仿游戏，今天称为图灵测试。 文中甚至给出了一段对话示例。问到“34957 加 70764 等于多少”，机器停了大约 30 秒，回答“105621”。正确答案是 105721。在论文后面，图灵解释说，一台善于玩这个游戏的机器会时不时故意算错，好显得像人。 预言 图灵并没有说当时的机器能通过测试。他用数字做了一个预言： 我相信，大约五十年后，将可以给存储容量约为 10⁹ 的计算机编程，让它们把模仿游戏玩得如此之好，以至于一个普通的提问者在五分钟的提问之后，作出正确识别的机会不超过 70%。 — 艾伦·图灵，《计算机器与智能》（1950） 这里的“$10^9$”指二进制位（比特）的容量。用今天的话说，$10^9$ 比特是 $\frac{10^9}{8}=1.25\times10^8$ 字节，大约 125 兆字节：比任何手机的内存都小。图灵在内存上估计得很准，在时间上则偏保守：令人信服的人机对话直到二十一世纪二十年代才随着大语言模型出现，而它们使用的内存是他设想的几千倍。 反驳 论文有一半篇幅在回应反驳。举几个例子： **神学的反驳：**思考是不朽灵魂的功能，上帝把灵魂赐给了人而没有赐给机器。图灵回答说，如果上帝愿意，也可以赐给机器一个灵魂。 数学的反驳：图灵定理和哥德尔定理表明，有些问题没有机器能回答。图灵同意，但指出没有任何迹象表明人类就没有类似的局限。 洛芙莱斯夫人的反驳：1843 年，阿达·洛芙莱斯写道，巴贝奇的分析机“丝毫不能自行创造什么；它只能做我们知道如何命令它去做的事”。图灵回答说，机器常常让他吃惊，而一台能够学习的机器会做出程序员没有预见的事。 最后这个回答最有先见之明。在论文结尾，图灵建议，与其给一个成人的大脑编程，不如给一台“儿童机器”编程，再用奖励和惩罚去教育它。寥寥几行，就是机器学习的思想。 证明你不是机器人 CAPTCHA——网站上那个显示扭曲字母或红绿灯照片的小方框——是反过来的图灵测试。这个名字是英文“用于区分计算机和人类的全自动公开图灵测试”的缩写。出题的是机器，需要证明自己是人的是你。 练习：10⁹ 比特有多少？如果每页 2000 个字符，每个字符占 8 比特，$10^9$ 比特能装下多少本 500 页的书？ 一本书是 $500\cdot2000\cdot8=8\times10^6$ 比特。$10^9$ 比特能装 $\frac{10^9}{8\times10^6}=125$ 本书。图灵认为，一座小图书馆的内存就足以像人一样交谈。 练习：70% 是什么意思？如果提问者在两个参与者之间随便猜，猜对的概率是多少？“不超过 70%”是什么意思？ 随便猜，有 50% 的机会猜对。“不超过 70%”的意思是：五分钟后，普通的提问者至少在 30% 的游戏中出错——机器骗过了很多人，虽然不是所有人。 来源： Alan Turing, “Computing Machinery and Intelligence”, Mind, 59（1950），第 433–460 页 · Ada Lovelace，为梅纳布雷亚关于分析机文章的译文所作的注释（1843）· The Turing Test, Stanford Encyclopedia of Philosophy。

October 16, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

历史图片和照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 阿贝尔肖像，约翰·格尔比茨绘，巴黎，1826 年：来源页面 · 公有领域。 《克雷勒杂志》第一卷，柏林，1826 年：来源页面 · 公有领域。 阿贝尔在弗罗兰的坟墓，Karl Ragnar Gjertsen 摄：来源页面 · CC BY 4.0。 奥斯陆的阿贝尔纪念碑，古斯塔夫·维格兰雕塑，Wolfmann 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客绘图 双纽线分成八段等弧的图是原创插图。图中的点是用文中推导的公式 $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ 计算的。图中没有文字，适用于网站的所有语言。 记录 文件 data/abel_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 新增的历史图片 这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/abel_imagens.json 中。 耶尔斯塔的教堂与牧师住宅（约 1890）: Peder Bentsen Melaas · Wikimedia Commons · 公有领域 1929 年挪威邮票: 挪威邮政 · Wikimedia Commons · 公有领域 尼尔斯·亨里克·阿贝尔的全部主题 · ← 尼尔斯·亨里克·阿贝尔的遗产

October 15, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

历史图片和照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 15 岁的伽罗瓦，作者不详的素描：来源页面 · 公有领域。 弟弟阿尔弗雷德所绘的伽罗瓦像，1848 年发表：来源页面 · 公有领域。 致奥古斯特·舍瓦利耶的信，1832 年 5 月 29 日：来源页面 · 公有领域。 巴黎的路易大帝中学，Celette 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客绘图 三角形六种对称的图是原创插图。文中的乘法表已用程序复合三个角的置换加以核对。图中没有文字，适用于网站的所有语言。 记录 文件 data/galois_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 新增的历史图片 这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/galois_imagens.json 中。 布尔拉雷讷的明信片: 作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 埃瓦里斯特·伽罗瓦的全部主题 · ← 埃瓦里斯特·伽罗瓦的遗产

October 15, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

历史图片和照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 约翰·纳皮尔肖像，佚名画家，1616 年，苏格兰国家美术馆：来源页面 · 公有领域。 《奇妙的对数表的描述》扉页，1614 年：来源页面 · 公有领域。 1614 年对数表中的一页：来源页面 · 公有领域。 布里格斯《对数算术》扉页，1624 年，Phidus 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 惠普尔博物馆的纳皮尔算筹，Marsupium 摄：来源页面 · 公有领域。 默奇斯顿塔楼，Kim Traynor 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。 计算尺，Jacek Halicki 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客绘图 地图、行程路线图和交互图形（两个数列、两个点、布里格斯的刻度、算筹和计算尺）均为原创，适用于网站的所有语言。地图使用 OpenStreetMap 数据。 记录 文件 data/napier_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。地图上的各站在 data/viagens/napier.yaml 中。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 约翰·纳皮尔的全部主题 · ← 约翰·纳皮尔的遗产

October 15, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图；较大的图片缩小到 1 200 像素宽，未作其他编辑。 1921 年的爱因斯坦像，可能出自 Herman Mishkin，诺贝尔基金会使用：原始页面 · 公有领域。 1904 年前后在伯尔尼的爱因斯坦，Lucien Chavan 摄：原始页面 · 公有领域。 爱因斯坦在国家博物馆，里约热内卢，1925 年 5 月 7 日，作者不详：原始页面 · 公有领域。 爱因斯坦在里约热内卢植物园，1925 年 5 月，作者不详：原始页面 · 公有领域。 索布拉尔考察队的仪器，1919 年，Charles Davidson 摄：原始页面 · 公有领域。 1919 年日食底片，出自戴森、爱丁顿和戴维森的报告：原始页面 · 公有领域。 本站绘图 封面、光钟示意图和 2 000 步的随机游走图都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。光钟示意图是根据本站旧的相对论课程中的一幅图重新绘制的，宇航员和宇宙射线粒子的例子也来自那门课程。随机游走图由计算机以随机方向生成。 记录 文件 data/einstein_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 阿尔伯特·爱因斯坦的全部主题 · ← 阿尔伯特·爱因斯坦的遗产

October 14, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 约翰·伯努利像，荷兰国家博物馆藏版画：原始页面 · CC0。 纪尧姆·德·洛必达像：原始页面 · 公有领域。 《无穷小分析》扉页，巴黎，1696 年：原始页面 · 公有领域。 丹尼尔·伯努利像，Johann Jakob Haid 据 Johann Rudolf Huber 原作所刻版画：原始页面 · 公有领域。 链子与拱，乔瓦尼·波莱尼的图，Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano，1748 年：原始页面 · 公有领域。 本站绘图 封面以及同一对点之间摆线与直线的示意图，都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。示意图按比例绘制：两条坐标轴使用相同单位。遗产一文中函数记号的表格，是根据本站旧函数课程中的一张表重新整理的。 记录 文件 data/johann_bernoulli_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 约翰·伯努利的全部主题 · ← 约翰·伯努利的遗产

October 14, 2026 阅读
Hero Image
拉格朗日乘数：带约束的最优化

几乎每个现实中的决定都是一个带约束的最大或最小值问题。工厂想要最大的利润，但原料有限。一个罐子要装 350 毫升，用的铝要尽量少。单摆想怎么动都行，只要小球一直拴在绳子上。拉格朗日为所有这些问题找到了一个统一的方法。它出现在 1788 年的《分析力学》中，用来处理力学系统的约束；也出现在 1797 年的《解析函数论》中，作为一条一般的计算规则。 围栏 先从一个希腊人就会解的问题开始。用 20 米长的围栏，围成的哪个矩形面积最大？设两边为 $x$ 和 $y$，我们要求 $$f(x,y)=xy\qquad\text{在约束}\qquad g(x,y)=x+y=10$$下的最大值。这里很容易解出 $y=10-x$，再求 $x(10-x)$ 的最大值。但在许多问题中，约束是一个复杂的方程，什么也解不出来。拉格朗日想要一种永远不需要这样做的方法。 一个新字母 拉格朗日的配方是增加一个新的未知数，今天我们叫它 $\lambda$，即乘数，并要求 $f$ 的导数与 $g$ 的导数成比例： $$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$在围栏问题中，$\frac{\partial f}{\partial x}=y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=x$，$g$ 的导数都等于 $1$。方程变成 $$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10,$$于是 $x=y=5$。最好的矩形是 5 乘 5 的正方形，面积 25 平方米。不需要解出任何东西：约束作为又一个方程进来，$\lambda$ 作为又一个未知数进来。 为什么管用 下图画出了面积 $xy$ 取固定值 9、16、25 和 36 的曲线，以及约束直线 $x+y=10$。沿着直线走，我们经过面积越来越大的曲线，直到面积为 25 的曲线。之后面积又开始减小。面积为 36 的曲线根本碰不到这条直线。 在最优点，约束直线与面积为 25 的曲线相碰而不相交：它们相切。Euler’s Eyes 绘图 在最优点，直线与面积最大的曲线相切。如果它们相交，就可以沿直线再走一点，进入面积更大的曲线。相切的曲线方向相同，所以在那里 $f$ 和 $g$ 的导数成比例。乘数 $\lambda$ 就是这个比例的因子。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
第五公设与其他几何

我从无到有，创造了一个奇异的新宇宙。 — 亚诺什·鲍耶致父亲的信（1823 年 11 月 3 日） 欧几里得的前四条公设简短而显然：作直线、延长直线、作圆、所有直角相等。第五条却不一样： 如果一条直线与两条直线相交，在同侧所成的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长后，必在这一侧相交。 它很长，而且谈的是没有人能验证的事情：两条直线 无限 延长后会怎样。欧几里得似乎也对它心存疑虑：他尽可能避免使用它，直到命题 I.29 才第一次引用。 普莱费尔的形式 有一个更容易记住的版本，由苏格兰人约翰·普莱费尔在 1795 年推广：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。在其他公设成立的前提下，这两种形式是等价的：接受其中一个，就必须接受另一个。 三角形的内角 第五公设最有名的推论是命题 I.32：三角形的三个内角之和等于两直角，即 $180°$。本站旧的三角学课程称之为第一条"准则"： $$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$证明：过三角形 $ABC$ 的顶点 $C$ 作底边 $AB$ 的平行线。这条平行线与 $CA$ 和 $CB$ 所成的角，分别等于三角形的角 $\alpha$ 和 $\beta$，因为它们是 内错角（I.29）。连同角 $\gamma$，三个角并排位于平行线上，组成一个平角 $180°$。内错角相等这一步，正是第五公设起作用的地方。 两千年的证明尝试 两千年来，数学家们认为第五公设不应该是公设，而应该是定理：应该能由前四条推出来。托勒密、普罗克洛斯、波斯人欧玛尔·海亚姆、同为波斯人的纳西尔丁·图西、英国人约翰·沃利斯都尝试过，全都失败了：每一个"证明"都暗中用到了某个与公设本身等价的假设。 1733 年，耶稣会神父吉罗拉莫·萨凯里换了一条路：假设公设是 错 的，然后推出矛盾。他推出了几十条奇怪的定理，比如内角和小于 $180°$ 的三角形。他没有找到任何矛盾，但坚信矛盾一定存在，于是宣称这些结果"与直线的本性相抵触"，并以《洗清一切瑕疵的欧几里得》为题出版了这本书。他离一个发现只有一步之遥，却没有看见。 新的几何 十九世纪初，有三个人各自独立地迈出了缺失的那一步：承认没有第五公设的几何 和欧几里得几何一样自洽。高斯在 1820 年前后就得出了这个结论，但因为害怕引起反响而没有发表。俄国人尼古拉·罗巴切夫斯基于 1829 年在喀山大学的一份刊物上发表了它。匈牙利人亚诺什·鲍耶是一位数学家的儿子，他于 1832 年把它作为附录发表在父亲的书中。 鲍耶的父亲法尔卡什一生都在试图证明第五公设。得知儿子走上同一条路时，他写信恳求儿子放弃：“看在上帝的份上，别碰平行线了。要像厌恶一种不体面的激情那样厌恶它；它会夺走你所有的时间、你的健康、你内心的安宁和你一生的幸福。” 亚诺什没有放弃，1823 年他用本文开头那句话回复了父亲。 在这种 双曲几何 中，过直线外一点有 无穷多条 平行线，三角形的内角和总是 小于 $180°$。三角形越大，内角和越小。 球面上的几何 还有相反的情形。在球面上，“直线"即最短的路径是 大圆，比如赤道和经线。两个大圆总是相交：没有平行线。取一个由赤道和从北极出发、相隔 $90°$ 的两条经线围成的三角形。三个角都是直角，内角和为

October 14, 2026 阅读
Hero Image
索菲·热尔曼的遗产

代数不过是写出来的几何；几何不过是画出来的代数。 — 索菲·热尔曼，《关于科学与文学状况的总体思考》（1833） 索菲·热尔曼几乎一直是独自工作的，没有学位，没有职位，也没有学生。当时的数学家们通过课堂、期刊和讨论互相学习，而这些她都接触不到，这一点在她的工作中看得出来：想法极具独创性，有时却留有缺口，而这些缺口本可以由一位老师及时指出。即便如此，她在两个几乎互不相干的领域——数论和弹性理论——都留下了自己的名字。 铁塔上缺少的名字 1889 年埃菲尔铁塔落成时，古斯塔夫·埃菲尔在塔上刻下了 72 位法国科学家和工程师的名字。其中许多人研究过弹性理论，如纳维、泊松和柯西，铁塔本身也正是靠这一理论才得以计算。索菲·热尔曼的名字不在上面。1913 年，历史学家 H. J. 莫赞斯指出了这一缺席：在他看来，一位帮助奠定了使铁塔成为可能的理论的人被遗忘了，只因为她是女性。 留下了什么 数论。 热尔曼定理是关于费马大定理的第一个一般性结果。她的手稿直到 2010 年才被研究，显示出一个比人们以为的远为宏大的计划。 索菲·热尔曼素数。 使 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$ 以她的名字命名，今天作为安全素数保护着互联网的安全连接。 代数。 恒等式 $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ 是经典的因式分解工具。 弹性理论。 在 1816 年获奖的振动板方程，是工程师至今仍在使用的板理论的基础。 几何。 她用来衡量曲面弯曲程度的平均曲率，出现在肥皂泡、极小曲面和细胞膜中。 哲学。 她去世后由侄子出版的《关于科学与文学状况的总体思考》主张科学与艺术的统一。奥古斯特·孔德称赞过这部著作。 索菲·热尔曼在巴黎拉雪兹神父公墓第 16 区的墓。Pierre-Yves Beaudouin, 2015 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 纪念 巴黎第 14 区有一条索菲-热尔曼街，玛莱区有一所以她命名的学校——索菲-热尔曼中学。自 2003 年起，法国科学院每年颁发索菲·热尔曼奖，这是法国数学界最重要的奖项之一。 希帕提娅、埃米莉、索菲、索菲娅、埃米 索菲·热尔曼属于一个短小而杰出的谱系。在她之前，有 4 世纪亚历山大的希帕提娅，以及 18 世纪把牛顿的《原理》译成法文的埃米莉·杜·夏特莱。在她之后，有俄罗斯的索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅，她在 1874 年成为近代欧洲第一位获得数学博士学位的女性；还有德国的埃米·诺特，她在 20 世纪任教于高斯所在的哥廷根大学。她们都不得不面对紧闭的大门。而索菲·热尔曼面对的大多数门，是她独自推开的。 要点回顾 索菲·热尔曼生于 1776 年，卒于 1831 年，生活在巴黎。她违背父母的意愿，自学数学。 在给拉格朗日（1794 年）和高斯（1804 年起）的信中，她署名勒布朗先生。 同余式 $a\equiv b\pmod m$ 表示 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 的余数相同。 若 $p$ 和 $2p+1$ 都是素数，则在费马问题的第一情形中，方程 $x^p+y^p=z^p$ 无解。 使 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$ 以她的名字命名，100 以内有十个。 $a^4+4b^4$ 总能分解成两个因式之积。 1816 年，她凭振动板理论获得科学院奖，其方程含有四阶导数。 曲面的平均曲率是两个主曲率的平均值：$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$。 练习：索菲生于 1776 年。这个数最少是几个平方数之和？$1776=16\cdot111$，而 $111=8\cdot13+7$，所以 $1776=4^2\,(8\cdot13+7)$ 具有勒让德的形式 $4^a(8b+7)$，不是三个平方数之和。根据拉格朗日定理，它是四个平方数之和，例如 $1776=40^2+12^2+4^2+4^2=1600+144+16+16$。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
约翰·纳什的遗产

从统计上看，一位 66 岁的数学家或科学家，似乎不太可能通过继续研究为自己以前的成就增添多少东西。但我仍在努力。 — 约翰·纳什，为诺贝尔基金会写的自传（1994） 约翰·纳什是唯一同时获得诺贝尔奖和阿贝尔奖的人，这是经济学和数学中的两项最高荣誉。他的工作的两半似乎毫无共同之处：一半关于人的决策，另一半关于曲面和方程。把它们联系起来的是风格：用谁都没想到的思想，去攻克人人都认为不可能的问题。 博弈论无处不在 纳什均衡成了经济学的通用语言。它解释了为什么同一个路口的两家加油站价格几乎一样，为什么即使大家都不打广告会更好、企业还是要打广告，为什么气候协议如此困难。1990 年代，许多国家的政府开始用依据博弈论设计的拍卖出售移动电话频段，筹得数百亿美元。 在生物学中，英国人约翰·梅纳德·史密斯在 1970 年代证明，演化也会产生纳什均衡：在种群中存活下来的行为策略，是任何突变都无法改进的策略。在政治学中，均衡有助于理解选举、战争和议会投票。在计算机科学中，它出现在互联网路由和数字市场的算法设计中。1994 年以来，诺贝尔经济学奖已多次颁给博弈论方面的工作。 纯数学 嵌入定理和纳什–莫泽方法改变了几何与分析。纳什为 $C^1$ 情形发明的技术，被俄罗斯人米哈伊尔·格罗莫夫称为凸积分，催生了"刚性与柔性"现象这一整个领域，并在 2018 年被用来证明拉斯·昂萨格关于流体湍流的一个猜想。德乔治–纳什定理是系数不规则的微分方程现代理论的基础，这类方程描述复合材料和多孔介质。 疾病与康复 纳什还留下了关于精神疾病的一课。三十年间，他被看作一个废人。他的康复虽然缓慢而不完全，却表明精神分裂症并不一定是终身判决。获得诺贝尔奖后，他和艾丽西亚成为改善治疗、减少污名的倡导者；他们的儿子约翰·查尔斯也是数学家，也患有精神分裂症。 留下了什么 博弈论。 适用于任何博弈的纳什均衡、混合策略下均衡的存在性，以及议价解。 棋类游戏。 海克斯棋、策略窃取论证，以及与不动点定理的联系。 几何。 $C^1$ 和光滑情形的等距嵌入定理，以及凸积分。 分析。 德乔治–纳什定理，以及求解非线性方程的纳什–莫泽方法。 应用科学。 经济学、演化生物学、政治学、拍卖和计算机科学。 写给国家安全局的信 1955 年，纳什写信给美国国家安全局，提出一种加密系统。在这些直到 2012 年才公开的信中，他论证说：如果破解一种密码所需的时间随密钥长度指数增长，而使用它所需的时间增长很慢，那么这种密码就是安全的。这正是现代密码学的基础思想，而纳什提出它，比它出现在计算理论中早了将近二十年。 要点回顾 约翰·纳什生于 1928 年，卒于 2015 年。他的主要工作完成于 20 到 30 岁之间，在普林斯顿和麻省理工。 海克斯棋永远不会平局，而且先手总能获胜：这就是策略窃取论证。 在纳什均衡中，谁也无法通过单独改变而改善。均衡可能对所有人都不好，比如囚徒困境。 每个有限博弈都有混合策略均衡。在猜单双中，每人各以 50% 的概率随机出。 在纳什议价中，要使相对于破裂点的收益之积最大，每人得到自己的破裂点收益加上一份剩余。 每个黎曼流形都能无失真地画进欧几里得空间；如果只要求一阶光滑，就连平坦环面也能放进普通空间。 即使在不规则的材料中，热也会抹平：解是赫尔德连续的。 来源： Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998）· 约翰·纳什的自传，诺贝尔基金会 · 纳什写给国家安全局的信（1955），该局于 2012 年公开。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的遗产

这种对实在的观念的改变，是自牛顿时代以来物理学所经历的最深刻、最富有成果的改变。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，在麦克斯韦百年诞辰（1931） 麦克斯韦 48 岁去世，大众对他知之甚少。在他生前，除了一小群英国物理学家之外，几乎没有人接受他的场论。今天，任何一个用手机的人每秒都要依赖它几十次。 携带信息的波 麦克斯韦方程组预言了任何频率的电磁波。1887 年赫兹之后，接踵而来的是马可尼的无线电报、广播、雷达、电视、卫星、手机、无线网络、GPS 和微波炉。设计天线、芯片或光纤的工程师，都在以这样或那样的形式求解麦克斯韦方程组。 不取决于任何人的速度 方程组给出了光速 $c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$，却没有说是相对于什么的。对牛顿物理学来说这是个问题：速度总是取决于由谁来测量。十九世纪末的物理学家们假设存在一种静止的以太，但 1887 年迈克耳孙和莫雷的实验没有发现以太。1905 年，爱因斯坦 用最激进的方式解决了这个问题：光速对所有人都相同，变的是时间和空间。相对论正是从认真对待麦克斯韦方程组中诞生的。 概率的物理学 1860 年的速度分布是 统计力学 的开端。奥地利人路德维希·玻尔兹曼推广了它，并证明熵——那个总在增加的量——衡量的是分子排列方式的数目。麦克斯韦妖引发了一个世纪的争论，最终把热力学与信息论和计算联系了起来。 第一篇控制论论文 1868 年，麦克斯韦发表了一篇短文《论调速器》，讨论控制蒸汽机速度的离心调速器。他展示了如何通过一个多项式的根的计算，来判断调速器会使机器稳定，还是使它越振越厉害。这被认为是 控制论 的第一篇数学著作，自动驾驶仪、恒温器和机器人背后都是这门学科。 矢量与物理学的语言 与泰特关于四元数的争论、curl 和 convergence 这两个词，以及亥维赛和吉布斯的改写，使 矢量 成为物理学和工程学的语言。微积分课程中学到的点积、叉积、散度和旋度，都是为了写出麦克斯韦方程组而诞生的。 留下了什么 电磁学。 四个方程、位移电流，以及光是电磁波。 统计物理。 速度分布、气体的黏度和麦克斯韦妖。 光学与颜色。 三色理论、麦克斯韦三角形和第一张彩色照片。 天文学。 土星环的结构。 工程。 控制论和结构分析：麦克斯韦-克雷莫纳图至今仍用于计算桁架。 实验室。 卡文迪许实验室，电子、中子和 DNA 结构都是在那里发现的。 单位"麦克斯韦" 在旧的 CGS 单位制中，磁通量的单位叫 麦克斯韦。月球上有一个麦克斯韦环形山，金星上有麦克斯韦山脉，是那颗行星上最高的山，夏威夷还有一台詹姆斯·克拉克·麦克斯韦望远镜。2008 年，爱丁堡在乔治街为麦克斯韦和小狗托比的雕像揭幕，离他出生的房子不远。 要点回顾 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦生于 1831 年，卒于 1879 年：爱丁堡、剑桥、阿伯丁、伦敦，再回到剑桥。 三个数就足以描述一种感知到的颜色；麦克斯韦用三张分别透过红、绿、蓝滤镜的照片，做出了第一张彩色照片。 土星环不可能是固体：里面的部分必须比外面的部分运动得快，$v=\sqrt{GM/r}$。 气体分子的速度服从麦克斯韦分布；27 °C 的空气，峰值约为 420 m/s。 四个方程描述了一切电磁现象。位移电流这一项保证了电荷守恒。 从方程组中推出一种速度为 $\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx300\,000$ km/s 的波：光。 来源： 麦克斯韦传记，MacTutor · Basil Mahon，The Man Who Changed Everything（Wiley，2003）· James Clerk Maxwell，“On governors”，Proceedings of the Royal Society 16（1868）。

October 14, 2026 阅读