Hero Image
平均曲率：曲面弯曲了多少

为了写出振动板的方程，索菲·热尔曼必须回答一个看似简单的问题：曲面在某一点弯曲了多少？她的答案——平均曲率——至今仍被用来研究肥皂泡、细胞膜和飞机蒙皮。 曲线的曲率 先从一条线开始。直线不弯曲，我们说它的曲率为零。圆在每一点弯曲的程度都一样，而且圆越小，弯得越厉害。所以半径为 $R$ 的圆的曲率定义为 $$\kappa=\frac1R.$$半径 1 厘米的圆曲率为 1；半径 1 米的圆，曲率为每厘米 $0.01$。对任意曲线，在每一点取最贴合它的圆，即密切圆，曲率就是这个圆半径的倒数。 曲面有许多曲率 到了曲面上，事情就复杂了。想象罐子侧面上的一点。如果沿着罐子竖直地走，路径是直的：曲率为零。如果绕着罐子走，路径是一个半径为 $r$ 的圆：曲率为 $\frac1r$。在中间的方向上，取中间的值。 1760 年，欧拉证明这种情况总是有规律地发生。在每一点都有一个曲率最大的方向 $\kappa_1$ 和一个曲率最小的方向 $\kappa_2$，两者互相垂直。这就是主曲率。在与第一个方向成 $\theta$ 角的方向上，曲率为 $$\kappa(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta.$$索菲·热尔曼的想法 索菲·热尔曼需要一个数来表示板抵抗弯曲的程度。她的假设是把两个主曲率相加。今天我们用这个和的一半，称为平均曲率： $$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}.$$这个名字是准确的。如果对所有方向求 $\kappa(\theta)$ 的平均值，由于 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ 在一整圈上的平均值都是 $\frac12$，结果恰好是 $\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$。平均曲率就是所有方向上曲率的平均值。 在半径为 r 的球面上，两个主曲率都等于 1/r。在圆柱面上，一个是 1/r，另一个是 0。在马鞍面的中心点，两者大小相等、符号相反，相互抵消。Euler’s Eyes 绘图 半径为 $r$ 的球面：两个曲率都是 $\frac1r$，$H=\frac1r$。 半径为 $r$ 的圆柱面：一个曲率是 $\frac1r$，另一个是 $0$，$H=\frac1{2r}$。 马鞍面：曲面在一个方向上升，在另一个方向下降，两个曲率符号相反，在中心点 $H=0$。 热尔曼与高斯：和与积 1827 年，索菲的通信者高斯研究了同样两个曲率的另一种组合：它们的积 $K=\kappa_1\kappa_2$，今天称为高斯曲率。这两个数说的是不同的事。 高斯的积衡量的是曲面在不拉伸地弯曲时保持不变的东西。圆柱面的 $K=0$，和一张纸一样，它确实能用一张纸卷成而不起皱。球面的 $K=\frac1{r^2}$，所以没有一张世界地图是完美的。 热尔曼的和衡量的是耗费能量的东西：曲面弯曲了多少，而不管它能不能被展开。所以它出现在弹性理论和薄膜中。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
没有无穷小的导数与中值定理

18 世纪末，微积分用起来很好，却没有人能说清楚它为什么好用。莱布尼茨的 $dx$ 是“无穷小”的量：有时把它们当作不等于零，好拿来做除数；紧接着又把它们当作零，好把它们略去。贝克莱主教在 1734 年嘲笑过这一点，称它们为“消逝的量的幽灵”。 拉格朗日为此感到不安。1797 年，他出版了一本书，书的副标题本身就是一整套纲领： 包含微分学的原理，摆脱了一切关于无穷小、消逝量、极限和流数的考虑，并归结为有限量的代数分析。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，《解析函数论》（1797） 导出的函数 拉格朗日的想法是：每个合理的函数都可以展开成幂级数。给变量 $x$ 一个增量 $i$，那么 $$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots,$$其中 $p, q, r, \ldots$ 是 $x$ 的新函数。拉格朗日把其中第一个，即 $i$ 的系数，定义为 $f$ 的导出函数，并用一撇来写：$f'(x)$。$f'$ 的导数是 $f''$，依此类推。 看看这对 $f(x)=x^3$ 是怎么用的。把立方展开， $$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ 的系数是 $3x^2$，所以 $f'(x)=3x^2$。不需要用一个后来会消失的东西做除数，也不需要略去任何东西：只要读出一个系数就行。这正是拉格朗日想要的。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 留下来的一撇 今天学校里导数有两种记号：莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$，和拉格朗日的 $f'(x)$。“导数”（derivative）这个词也来自这本书：fonction dérivée，即由第一个函数导出的函数。牛顿在字母上面加一点写成 $\dot y$，今天主要在物理里、当变量是时间时才会用到。 计划在哪里失败了 这个计划有一个缺陷，柯西在 1823 年指出了它：并不是每个函数都等于它的幂级数。函数 $$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$在零附近平坦到它所有的导数在那里都等于零。它在零处的幂级数是 $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$，但函数本身并不是零。像拉格朗日那样从级数出发是不够的。柯西用极限的思想重建了微积分，今天教的就是他的版本。 不过，拉格朗日在途中找到了两件工具，它们在他的计划失败后保留了下来。 中值定理 第一件是中值定理，他需要用它来控制自己的级数。用今天的形式来说：如果 $f$ 在从 $a$ 到 $b$ 的区间上可导，那么两者之间至少有一点 $c$，使得

October 14, 2026 阅读
Hero Image
热方程与德乔治–纳什正则性

1900 年，在巴黎的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了 23 个问题，他认为这些问题将引领 20 世纪的数学。第 19 问题用通俗的话说是：变分法中"性质良好"的问题，其解是否总是光滑函数？半个世纪后，对于一类重要的方程，这个问题仍未解决。1956 年，纳什从一位同事那里听说了它，决定攻克它。 热方程 从最简单的例子开始。一根很长的金属棒在点 $x$、时刻 $t$ 的温度为 $u(x,t)$。热量从热处流向冷处，温度满足傅里叶的热方程： $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$其中 $\kappa>0$ 是材料的扩散率。方程说：一点的温度比周围的平均值低时就升高，比平均值高时就降低。 如果在零时刻所有热能都集中在一点，那么 $t>0$ 时的解是高斯函数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$我们来验证。对 $t$ 求一次导、对 $x$ 求两次导， $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$两者相等。钟形曲线随时间变宽变低，面积保持为 1：能量守恒并扩散开来。宽度按 $\sqrt t$ 增长，与爱因斯坦布朗运动中走过的距离完全一样。这不是巧合：热是分子的运动，热方程描述的是从远处看到的随机游走。 当材料不规则时 高斯函数有一个了不起的性质：即使初始温度是一个无限集中的尖峰，对任何 $t>0$，解都是完全光滑的。扩散把一切都抹平了。 但如果材料不均匀呢？想象一块由铜、木头和玻璃碎块胡乱粘成的板，每块导热的方式都不同。方程变为 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$其中导热系数 $a(x,t)$ 可以从一块到另一块突然跳变。只要求它介于两个正的界限之间：$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$。系数如此不规则，解没有公式，甚至不清楚它是否有导数。问题是：温度会剧烈变化吗，还是热仍然会把一切抹平？ 定理 纳什在 1957 年证明，热仍然会抹平：在任意维数中，这些方程的解都是赫尔德连续的，即存在只依赖于 $\lambda$、$\Lambda$ 和维数的常数 $C$ 与 $0<\alpha\leq1$，使得 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$无论材料多么杂乱，温度都不会跳变。纳什的证明极其独到：他用了概率和熵的思想，把热当作扩散开的质量，在没有任何公式的情况下控制住了解。有了这个结果，希尔伯特第 19 问题对这类方程得到了解决。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
素数永远不会穷尽

素数比任何给定的素数个数都多。 — 欧几里得，《几何原本》命题 IX.20 素数 是大于 1、只能被 1 和它自身整除的整数：2、3、5、7、11、13……其余的数，比如 $12=2\cdot2\cdot3$，都是素数的乘积。素数是算术的原子。 越往后，素数越稀少。1 到 100 之间有 25 个素数；1 000 001 到 1 000 100 之间只有 6 个。它们会不会在某处就没了？欧几里得用一个四行的论证证明了不会，英国数学家哈代认为它是整个数学中最美的论证之一。 证明 假设有人给你一份有限的素数清单 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。欧几里得证明，至少有一个素数 不在 清单上。把它们全部相乘再加 1： $$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1.$$现在用清单上的任意一个素数去除 $N$。乘积 $p_1p_2\cdots p_n$ 能被它整除，所以 $N$ 除以它的余数是 1。清单上没有一个素数能整除 $N$。 但 $N$ 大于 1，所以它至少有一个素因子 $q$。为什么？取 $N$ 的大于 1 的最小因子。如果它不是素数，它就有一个更小的因子，而这个因子也整除 $N$，与"最小"矛盾。所以最小因子是素数。 这个素数 $q$ 整除 $N$，而清单上没有素数整除 $N$。所以 $q$ 不在清单上。任何有限的清单都不能包含所有素数： $$\boxed{\text{素数有无穷多个。}}$$欧几里得没有说"无穷"，这个词希腊人是回避的。他说的是：给定 任何 个数的素数，总还有更多。这是同一件事，只是说得很谨慎。 构造出的数不一定是素数 一个常见的错误是以为 $N$ 总是素数。请看： 清单 $N$ $N$ 是素数吗？ 2 3 是 2, 3 7 是 2, 3, 5 31 是 2, 3, 5, 7 211 是 2, 3, 5, 7, 11 2 311 是 2, 3, 5, 7, 11, 13 30 031 不是：$30\,031=59\cdot509$ 在第六行，$N$ 是合数。但它的因子 59 和 509 都是不在清单上的素数。证明从来没有说 $N$ 是素数；它只说有 某个 新素数整除 $N$。至今仍不知道表中这种构造能否产生无穷多个素数。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
约翰·伯努利的遗产

约翰·伯努利没有写出一部伟大的书，不像哥哥写了《猜度术》，也不像牛顿写了《原理》。他最有名的书是以别人的名义出版的。他留下的是一种工作方式：把每个物理或几何问题变成一个方程，再用莱布尼茨的微积分去解。他还留下了学生。 莱布尼茨的斗士 在牛顿与莱布尼茨谁发明了微积分的争论中，约翰是莱布尼茨一方最好斗的战士。1713 年初，牛顿担任会长的皇家学会发表了一份报告，把优先权判给牛顿。莱布尼茨用一份匿名传单《飞页》（Charta volans）回应，其中引用了"一位杰出数学家"的判断：那就是约翰。此后几年，约翰不断用难题挑战英国数学家，他认为这些题用牛顿的方法是解不出来的。莱布尼茨于 1716 年去世，约翰又独自吵了好多年。这场争论让英国数学与欧洲大陆的数学隔绝了将近一个世纪。 “函数"这个词 数学意义上的 函数 一词，诞生于 1690 年代莱布尼茨与约翰之间的通信。1718 年，约翰发表了第一个定义： 我把一个变量的函数称为由这个变量和常数以任何方式组成的量。 — 约翰·伯努利，《巴黎科学院论文集》（1718） 他用希腊字母 $\varphi$ 表示 $x$ 的函数，有时写作 $\varphi x$，不加括号。是他的学生欧拉在 1734 年开始写成 $f(x)$。本站旧的函数课程中有这些记号的年表： 年份 作者 记号 1694 约翰·伯努利 用一个字母，例如 $n$，表示依赖于 $x$ 的量 1698 约翰·伯努利 用 $X$ 或 $\xi$ 表示 $x$ 的函数 1718 约翰·伯努利 $\varphi x$ 1734 莱昂哈德·欧拉 $f\left(\frac xa+c\right)$ 一个学派 约翰教出的重要数学家，比他那个世纪的任何其他老师都多。其中有： 洛必达侯爵，他把约翰的课写成了第一本微积分教科书。 儿子尼古劳斯二世、丹尼尔和约翰二世。 丹尼尔创立了流体动力学，提出了以伯努利命名的原理；约翰二世继承了父亲的教席。 莱昂哈德·欧拉，那个世纪最伟大的数学家，约翰每逢星期六指导他。 皮埃尔-路易·莫罗·德·莫佩尔蒂，提出了最小作用量原理；以及 亚历克西·克莱罗，研究了地球的形状。 通过欧拉，这条师承一直延续到在柏林接替欧拉的拉格朗日，又从那里延续到十九、二十世纪数学的很大一部分。 留下了什么 微积分。 洛必达法则、对数求导法、指数演算，以及函数的定义。 曲线。 悬链线和最速降线，以及运动与光之间的类比。 变分法。 最速降线挑战和与雅各布关于等周问题的争论，为欧拉和拉格朗日开辟了道路。 力学。 虚功原理，静力学和《分析力学》的基础。 教学。 一代数学家，欧拉居首。 全集 1742 年，75 岁的约翰在洛桑和日内瓦出版了四卷本的《全集》（Opera omnia）。编辑工作由加布里埃尔·克莱姆主持，就是线性方程组克莱姆法则的那位。《水力学》就收在其中，带着约翰选定的 1732 年日期，好让它看起来早于儿子的《流体动力学》。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
阿尔伯特·爱因斯坦的遗产

想象力比知识更重要。知识是有限的，而想象力环抱整个世界。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，接受《星期六晚邮报》采访（1929） 爱因斯坦是唯一一位人人都认得出长相的科学家。但他的遗产不在海报上，而在我们不假思索地使用的设备里，在物理学家至今仍在试图回答的问题里。他的好几项预言直到他去世几十年后才得到证实。 激光 1917 年，爱因斯坦在研究物质如何吸收和发射光时意识到，处于激发态的原子除了自发地吸收和发射光子之外，还可以被一个光子 激励，发出另一个完全相同、方向相同的光子。这是一个理论上的发现。四十年后，它变成了 激光，英文缩写意为"受激辐射光放大"。条形码扫描器、光纤、眼科手术和讲课用的激光笔，都是受激发射的应用。 一种新的物态 1924 年，印度物理学家萨特延德拉·纳特·玻色给爱因斯坦寄去一篇论文，提出了一种计数光子的新方法。爱因斯坦把它译成德文发表，并把这个想法推广到原子。他预言，在非常接近绝对零度时，某些原子组成的气体会凝聚到同一个状态，仿佛所有原子变成了一个。玻色-爱因斯坦凝聚 于 1995 年在实验室中制成，实现者获得了 2001 年诺贝尔奖。 宇宙与"最大的错误" 1917 年，爱因斯坦把广义相对论应用于整个宇宙。方程表明宇宙不可能静止不动：它必须膨胀或收缩。由于当时人人都相信宇宙是静态的，爱因斯坦在方程中加了一项，即 宇宙学常数 $\Lambda$，只为让宇宙保持静止。1929 年，埃德温·哈勃证明星系在相互远离：宇宙在膨胀。据物理学家乔治·伽莫夫说，爱因斯坦称这个常数是他一生中"最大的错误"。 故事还有一个转折。1998 年发现宇宙的膨胀正在 加速，而最简单的解释恰恰就是一个宇宙学常数。这个"错误"又回到了方程里。 时空中的波 1916 年，爱因斯坦预言加速运动的质量会产生 引力波，即时空本身以光速传播的涟漪，但他认为它们太弱，永远无法测到。2015 年 9 月 14 日，将近一百年后，美国的 LIGO 探测器记录到了一个引力波：它来自 13 亿光年外两个黑洞的并合。这个波使探测器 4 千米长的臂伸缩了不到质子大小的千分之一。 黑洞 爱因斯坦的方程允许存在这样的区域：时空弯曲得如此厉害，连光都逃不出来。爱因斯坦本人怀疑自然界会产生它们。如今我们知道，银河系中心有一个 400 万倍太阳质量的黑洞；2019 年，事件视界望远镜发布了第一张黑洞阴影的照片，那个黑洞位于 M87 星系。 1925 年 5 月，爱因斯坦在里约热内卢植物园。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 爱因斯坦与巴西 1925 年的访问留下了印记。接待爱因斯坦的有巴西科学院，以及国家天文台台长、参加过索布拉尔日食观测的科学家恩里克·莫里泽。报纸刊登了漫画和专栏文章；其中一份拿"相对论"一词做文章，登了一幅题为《不相对论》的漫画。如今索布拉尔有一座 日食博物馆，就建在当年架设望远镜的地方；2019 年的百年纪念在这座城市举办了一周的科学活动。 留下了什么 量子物理。 光子、光电效应、受激发射和玻色-爱因斯坦统计。 原子。 布朗运动第一次直接测出了阿伏伽德罗常数，结束了关于原子是否存在的争论。 空间与时间。 狭义相对论把空间和时间统一起来，并证明质量就是能量。 引力。 广义相对论把引力变成了几何，创立了现代宇宙学。 技术。 GPS、激光、光电池、核能和 PET 检查。 爱因斯坦的大脑 爱因斯坦要求火化，骨灰撒在了一个未公开的地方。但做尸检的病理学家托马斯·哈维未经许可取出了他的大脑，泡在罐子里，在家中保存了几十年。好几位科学家研究过其中的切片，但关于他天才的来源，没有得出任何确定的结论。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
摆线：一场牙痛带来的曲线

在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。 在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。 车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于 $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。 一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。 它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。 用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$， $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分： $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得 $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。 1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。 随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
费马原理：光走最快的路

一名救生员站在沙滩上，看到有人在远处偏向一侧的海里溺水。救生员该走哪条路？直线是最短的路，却不是最快的：在沙滩上跑要比在水里游快得多。多在沙滩上跑一段，少游一段，反而划算。 费马意识到，光做的正是这样的选择。 反射：最短路径 最古老的想法与镜子有关。公元 1 世纪，亚历山大的希罗就已注意到，光在反射时，走的是经过镜面连接两点的最短路径。 我们用导数来验证。光源 $S$ 在镜面上方高 $a$ 处，眼睛 $T$ 在高 $b$ 处，两者的水平距离为 $\ell$。光在点 $M$ 处射到镜面上，$M$ 到 $S$ 的垂足距离为 $x$。 路径 $S\to M\to T$ 的长度为 $$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$在最小值处，导数为零： $$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$每个分式都是一个角的正弦：$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ 是入射角 $\hat i$（从镜面的法线量起）的正弦，$\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ 是反射角 $\hat r$ 的正弦。因此 $$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$这就是反射定律：入射角等于反射角。 折射：最短时间 在反射中，光始终在同一种介质里，最短的路径也是最快的路径。但光从空气进入水中时会改变方向。弯折的路径比直线长。光为什么要这样做？ 1662 年，费马给出了答案：光走的不是最短的路，而是最快的路。如果光在水中走得更慢，那么在空气中多走一段距离就是划算的，就像沙滩上的救生员。 两种介质：穿过点 P 决定了在每种介质中走过的距离和总时间。角度从界面的法线量起。本博客原创插图。 设光在第一种介质中的速度为 $v_1$，在第二种介质中为 $v_2$。距离与前面相同，只是现在点 $T$ 在界面下方，总时间为 $$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$求导并令其为零： $$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$认出其中与法线夹角的正弦： $$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{或}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$这就是中学里学的折射定律——斯涅尔定律。如果光在第二种介质中更慢（$v_2

October 11, 2026 阅读
Hero Image
莱布尼茨的 π 级数：简单而缓慢的求和

$\pi$ 来自圆的几何，奇数来自算术。两者似乎没有任何理由相遇。但它们确实相遇了： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$把奇数的倒数交替加减，结果乘以 4，就是 $\pi$。 一个发现，三次出现 莱布尼茨于 1673 年在巴黎发现了这个公式，当时他还在跟惠更斯学数学。他把结果拿给老师看，惠更斯大为赞赏。这是莱布尼茨的第一个重大发现，也让他确信自己能成为数学家。 他并不是第一个。1671 年，苏格兰人詹姆斯·格雷戈里已经找到了反正切级数，这个公式只是它的一个特例。而大约 250 年前，喀拉拉学派的创始人、印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦就已经发现了同一个级数。当时的欧洲人并不知道这些工作。所以今天它被称为马德哈瓦–莱布尼茨级数或格雷戈里–莱布尼茨级数。 “神喜爱奇数” 在评论这个级数时，莱布尼茨引用了罗马诗人维吉尔的诗句：Numero Deus impare gaudet，“神喜爱奇数”。他觉得，一个与完美圆形紧密相连的数，恰恰由奇数生成，真是美妙。 证明 我们用今天的工具，分三步证明这个公式。 1. 一个等比数列的和。 公比为 $-q$ 的等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ 有已知的求和公式。取 $q=t^2$，在第 $N$ 项处截断，加上余项后等式就是精确的： $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$2. 两边从 0 到 1 积分。 左边，$\dfrac{1}{1+t^2}$ 在 0 与 1 之间的面积是 $\arctan1=\dfrac\pi4$，因为 $45°$ 的正切等于 1。右边，每个幂 $t^{2k}$ 给出 $\dfrac{1}{2k+1}$： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$3. 余项趋于零。 由于 $1+t^2\ge1$，余项有界： $$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$当 $N$ 增大时，$\dfrac{1}{2N+1}$ 趋于零，部分和可以任意接近 $\dfrac\pi4$。 美丽，但缓慢 乘以 4 后，部分和逼近 $\pi$ 的误差至多为 $\dfrac{4}{2N+1}$。这很慢： 项数 部分和 × 4 保证的最大误差 1 4 1.33 2 2.667 0.8 10 3.0418 0.19 100 3.1316 0.02 1000 3.1406 0.002 用了一千项，小数点后第三位还是错的。要得到十位正确的小数，需要数十亿项。这个级数非常适合理解 $\pi$，却非常不适合计算 $\pi$。如今计算出数万亿位的计算机，用的是其他快得多的公式。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
万有引力：从苹果到月亮

苹果会落下，月亮为什么不会？ 在牛顿之前，答案似乎很简单：天上和地上遵循不同的规则。地上的东西会落下；天上的星体永远沿着完美的圆周运转。牛顿的伟大想法是怀疑这种割裂：也许月亮一直在下落。 牛顿的大炮 伍尔索普庄园果园里的苹果树，传统上认为它就是“牛顿的树”。David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 在为《原理》准备的草稿中，牛顿提出了一个思想实验。想象一座极高的山顶上有一门大炮，水平开火。火药少，炮弹落在近处；火药多，就落得更远。但地球是圆的：如果炮弹足够快，地面向下弯曲的程度恰好等于它下落的程度。炮弹永远在下落，却永远到不了地面。它进入了轨道。 在地球表面附近，这个速度约为 7.9 km/s，即每小时 2.8 万公里，正是低轨道卫星的速度。绕一圈大约需要 84 分钟（不计空气阻力；实际上卫星必须飞到大气层以上很高的地方）。 月亮就是这样一颗炮弹。它时时刻刻都在朝地球下落，但横向运动得太快，所以永远落不下来。 平方反比定律 要让这个想法成立，引力必须随距离增大而减弱。牛顿假设它与距离的平方成反比。用今天的记号： $$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$这里 $M$ 和 $m$ 是两个质量，$r$ 是两个中心之间的距离，$G$ 是一个普适常数。距离加倍，力变为原来的 $1/2^2=1/4$；距离变为三倍，力变为 $1/9$。 月球检验 牛顿做了一个计算，把这个假设变成了科学。月亮到地心的距离约为地球半径的 60 倍。如果引力随距离平方减弱，月亮的加速度应当是地面上苹果的 $60^2=3600$ 分之一： $$\frac{9.81}{3600}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$现在只用天文学，换一种方法来测量月亮的加速度。它在约 $T\approx27.3$ 天内走完半径 $r\approx384\,400$ 公里的圆周。做圆周运动的物体的加速度是 $$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3.844\times10^8}{(27.32\cdot86\,400)^2}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$两个数字吻合。让苹果落地的力和拉住月亮的力是同一个力。牛顿写道，他发现结果“相当接近”。不过在 1666 年，他使用的地球半径数值不准，吻合得并不完美。直到多年后有了更好的测量，这个计算才彻底对上。 四行推出开普勒定律 几十年前，开普勒从天文数据中发现：行星周期的平方与轨道大小的立方成正比。没人知道为什么。有了万有引力和第二定律，解释只需几行（至少对圆轨道是这样）。 引力就是使物体保持在弯曲轨道上的力： $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}.$$绕一圈的长度是 $2\pi r$，所以周期 $T=\dfrac{2\pi r}{v}$。两边平方并代入 $v^2$： $$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$这就是开普勒第三定律。对于椭圆轨道，计算更长，牛顿在《原理》中完成了它，并证明在平方反比力作用下的轨道是椭圆——正是他 1684 年给哈雷的回答。 相对于初始半径的倍数： 比较绕同一中心质量运行的圆轨道半径。轨道越大越慢：周期随 r 的 3/2 次方增长。 请启用 JavaScript 以使用控件。论证和数值例子都在正文中。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
Ceres 和最小二乘法

1 月 1 日，1801，天文学家朱塞佩·皮亚齐 (Giuseppe Piazzi) 在巴勒莫发现了一个移动的小点 在恒星中：它是谷神星，今天被归类为矮行星。皮亚齐陪伴了他41天， 直到消失在阳光的照射下。由于观察如此之少，没有人知道如何计算轨道，而谷神星 似乎永远失去了。 高斯在24岁时创造了一种新方法，并在几周内计算出了轨道。在 31 的晚上 12 月 1801，天文学家弗朗兹·冯·扎克 (Franz von Zach) 将望远镜指向高斯指示的位置，结果就在那里 谷神星。 动画显示 1801 年：观察到谷神星，谷神星消失在太阳后面，并在该年的最后一天再次被发现。点击“高斯预测”即可查看计算出的轨道。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Theoria motus corporum coelestium (1809)，高斯解释了该方法。公共领域 部分秘密在于处理测量错误。每次观察都会有一个小误差。如果你测量 同一件事多次发现不同的值，该选择哪个数字？ 高斯的答案：使误差平方和最小的数字$c$。有测量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，总和是 $$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$ 打开正方形，$c$ 中出现一个二阶函数：

October 10, 2026 阅读
Hero Image
为什么彩虹出现在42°

在流星中，笛卡尔使用折射定律解释了彩虹，他发表在 屈光度。当光从空气传播到水中时，它会弯曲 $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ 其中 $i$ 是进入角，$r$ 是进入水中的角度，$n \approx \frac{4}{3}$ 是入水角。 （荷兰人 Willebrord Snell 以前也发现过同样的定律，但没有发表。这就是为什么它被称为 斯涅尔-笛卡尔定律。） 流星 (1637) 的原始图：太阳光线进入水滴并到达观察者的眼睛，左下角。勒内·笛卡尔·公共领域 笛卡尔想象一束阳光进入球形水滴，在内部反射并射出。 光线沿着这些角度离开，形成一个角度 $$\theta = 4r - 2i.$$ 他手动计算了光线进入液滴各个位置的角度。重做账户 与 $n = \frac{4}{3}$： 进入角度 $i$ $r$ 退出角度 $\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 请注意右侧的柱子：它上升，达到 大约 42° 的最大值，然后再次下降。附近的 最大时，在非常不同的位置（从 50° 到 70°）进入的光线以几乎相同的角度退出。 光线在那里聚集，因此我们在太阳对面的点 42° 处看到一条明亮的弧线。

October 10, 2026 阅读