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倍立方与三等分角：不可能的作图

希腊人留下了三个作图问题，没有人能用尺规解决，而尺规正是欧几里得《几何原本》的工具： 倍立方：作出一个立方体的棱，使它的体积是已知立方体的两倍。 三等分角：把任意一个角分成三等份。 化圆为方：作出一个与已知圆面积相等的正方形。 传说在一场瘟疫中，提洛斯的神谕命令雅典人把阿波罗的立方体祭坛加大一倍。他们把棱长加倍，体积变成了八倍，瘟疫依旧。两千年来，数学家们一直在尝试。答案直到 19 世纪才随着高斯和伽罗瓦的思想到来：这是不可能的。 尺规能做什么 从一条长为 1 的线段出发。用尺规可以利用相似三角形对长度做加、减、乘、除。还可以开平方根，方法是在半圆中取几何平均。但仅此而已。 原因在解析几何中。作图中的每个新点，都是两条直线、一条直线与一个圆，或者两个圆的交点。直线的方程是一次的，圆的方程是二次的。求这些交点从来不需要比二次方程更高的方程。所以作图的每一步至多添加一个平方根： 用尺规可作的长度，可以从 1 出发用四则运算和平方根写出。特别地，如果它是一个没有有理因式的方程的根，那么这个方程的次数是 2 的幂。 提洛斯的立方体 把棱长为 1 的立方体加倍，就是作出体积为 2 的立方体的棱 $x$： $$x^3=2,\qquad x=\sqrt[3]2\approx1.2599.$$方程 $x^3-2=0$ 没有有理根，也不能分解为更低次的有理多项式。它的次数是 3，不是 2 的幂。因此 $\sqrt[3]2$ 不可作。提洛斯的祭坛不能用尺规加倍。 60° 的角 有些角很容易三等分：直角可以分成三个 $30°$ 的角，而 $30°$ 可以用正三角形作出。但问题要求的是对任意角都适用的方法，一个反例就够了。取 $60°$。三等分它就是作出 $20°$，即长度 $x=\cos20°$。由三倍角的余弦公式 $$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,$$取 $\theta=20°$，$\cos60°=\frac12$： $$4x^3-3x=\frac12\qquad\Longrightarrow\qquad8x^3-6x-1=0.$$可能的有理根只有 $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$，而它们都不满足方程。所以方程不能分解，次数为 3。$60°$ 角不能用尺规三等分。 旺策尔与伽罗瓦 这两个证明都是在 1837 年由 23 岁的法国人皮埃尔·旺策尔发表在刘维尔的杂志上的，他当时是巴黎综合理工学院的学生。旺策尔用的是高斯和拉格朗日的思想；伽罗瓦的著作要再过九年才出版。今天，这个论证用伽罗瓦理论来解释：方程的次数衡量的是它的根所创造的数的世界的大小，而尺规只能两级两级地往上爬。 第三个问题更难。把半径为 1 的圆化为方，就是作出 $\sqrt\pi$。1882 年，德国人费迪南德·冯·林德曼证明，$\pi$ 不是任何有理系数方程的根：它是一个超越数。于是，圆也不能化为方。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 再谈正十七边形 同样的论证也解释了高斯的正十七边形。作正 $n$ 边形就是作出 $\cos\frac{2\pi}n$，当 $n$ 是素数时，这个方程的次数与 $n-1$ 有关。对于 $n=17$，$n-1=16=2^4$ 是 2 的幂，所以可以作出。对于 $n=7$，$n-1=6$ 不是，所以正七边形不能作出。高斯陈述了完整的规则；旺策尔证明了缺失的那一半。

October 15, 2026 阅读
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计算尺：会滑动的对数

对数表仍然需要查数、相加、再查数。纳皮尔之后没几年，英国人就意识到可以把对数刻在尺子上，用手来做加法。 冈特的刻度 1620 年，布里格斯在格雷沙姆学院的同事、天文学家埃德蒙·冈特画了一把尺子，尺上每个数 $x$ 到 1 的刻度的距离都与 $\log x$ 成正比： $$x\text{ 的位置}=L\cdot\log x.$$1 在开头，10 在末尾，2 在全长的 $0.301$ 处，3 在 $0.477$ 处，5 在 $0.699$ 处。数越往右越挤。做乘法时，用两脚规从 1 量到 $a$，再把这段开度从 $b$ 处量出去：脚尖就落在 $a\times b$ 上，因为距离相加： $$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$奥特雷德的两把尺子 大约 1622 年，牧师兼数学家威廉·奥特雷德不再用两脚规：他把两条相同的刻度并排放置，一条在另一条上滑动。计算 $2\times3.5$ 时，把下尺的 1 对准上尺的 2，在下尺 3.5 的上方读出上尺的数：7。这就是第一把计算尺。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 除法是反过来的同一种算法：算 $8\div2.5$ 时，把下尺的 2.5 对准上尺的 8，在下尺 1 的上方读数：3.2。计算尺不告诉你小数点在哪里。计算的人必须知道答案是 3.2、32 还是 0.32，就像布里格斯对数的首数一样。 一把 20 世纪的计算尺。中间的刻度可以彼此滑动；透明的游标帮助读数。Jacek Halicki · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 三百五十年 计算尺后来增加了平方、开方、正弦和对数的刻度，还有一个带细线的玻璃游标，便于精确读数。它能给出三位有效数字，这对几乎所有工程都够用了。桥梁、飞机、发电站和火箭都是用它设计的。阿波罗计划的工程师们使用计算尺，飞船上也带着一把。1972 年科学袖珍计算器出现后，计算尺在短短几年内就消失了。

October 15, 2026 阅读
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阿贝尔群：顺序无关紧要的时候

先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，结果不一样。先加 3 再加 5，和先加 5 再加 3，结果一样。当两个操作的先后顺序不改变结果时，我们说它们可交换。数学家用来称呼一切都可交换的结构的那个词，是为了纪念阿贝尔：阿贝尔的（abelian）。 最后的论文 证明了一般五次方程没有公式之后，阿贝尔想知道哪些方程有公式。1829 年，在他发表于《克雷勒杂志》的最后几篇文章之一中，他研究了一类特殊的方程：所有的根都可以由其中一个根 $x$ 通过有理函数 $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ 得到，而这些函数彼此可交换： $$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$阿贝尔证明这类方程总能用根式求解。它们后来被称为阿贝尔方程，再后来，顺序无关紧要的群被称为阿贝尔群。 单位根 最重要的例子是方程 $x^n=1$。它的一个根是 $$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n,$$其余的根都是它的幂：$\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$。把一个根变成另一个根的函数是幂函数 $\theta_a(x)=x^a$，它们可交换： $$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$由阿贝尔定理，$x^n=1$ 对每个 $n$ 都可以用根式求解。这正是高斯用来作出正十七边形的结构：正多边形的顶点就是 $x^{17}=1$ 的根。 群与交换性 用现代语言说，群是一组可以复合、可以撤销、可以组合的操作，而结果始终留在这组操作之内。如果对任意两个元素都有 $a\circ b=b\circ a$，这个群就是阿贝尔群。 阿贝尔群的例子随处可见： 整数与加法：$3+5=5+3$。 圆的旋转：先转 $30°$ 再转 $50°$，与先转 $50°$ 再转 $30°$ 相同。 时钟算术：在 12 小时制的钟上，9 点再过 5 小时是 2 点。我们写作 $9+5\equiv2\pmod{12}$，加数的顺序同样无关紧要。 也有不是阿贝尔群的群。三角形的对称是最小的例子：先转动三角形再翻转它，与先翻转再转动结果不同。魔方是另一个例子：先转前面再转上面，效果与反过来不同。正是通过研究非阿贝尔群，伽罗瓦解释了五次方程为什么没有公式。 为什么可交换有帮助 阿贝尔证明背后的直觉是：在阿贝尔群中，操作可以一个一个地、以任意顺序进行，而不会互相破坏。每一步对应于开一次方，而这些根可以依次开出。在一个过于复杂的非阿贝尔群里，比如五个根的 120 种置换构成的群，各个步骤互相妨碍，仅靠根式无法走到终点。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 阿贝尔葡萄 英语国家的数学家中流传着一个老笑话：“什么东西是紫色的而且可交换？阿贝尔葡萄。“因为英语里 an abelian grape（阿贝尔葡萄）听起来像 an abelian group（阿贝尔群）。“abelian"这个形容词太常用了，许多书都用小写字母书写，这是很少有数学家享有的荣誉。 练习：在 12 小时的时钟算术中，解 7 + x ≡ 3。再解 5 · x ≡ 1。第一个：$x\equiv3-7=-4\equiv8$，从 7 点往后走 8 小时就到了 3 点。第二个，逐个试：$5\cdot5=25=2\cdot12+1$，所以 $x\equiv5$。在时钟上，5 是它自己的逆元。

October 15, 2026 阅读
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位移电流：缺失的一项

麦克斯韦的四个方程中，有三个在他之前就以某种形式为人所知：高斯定律、磁场定律和法拉第定律。第四个，安培定律，也是已知的，但它是 不完整的。麦克斯韦给它加上的只是一项：$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$。看起来微不足道。正是这一项让电和磁变成了光。 安培定律 1826 年，法国人安德烈-马里·安培找到了电流与其周围磁场之间的规律。用今天的语言说：沿着导线周围的一条闭合路径，把磁场沿路径的分量加起来，结果与穿过以这条路径为边界的 任意 曲面的电流 $I$ 成正比： $$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$“任意"这个词很重要。想一想捕蝶网的网圈：网可以短也可以长，但穿过网圈的导线也穿过网。穿过网的电流与网的形状无关。 打破规则的电容器 现在在电路里接一个 电容器：两块平行金属板，中间隔着空气或真空。电容器充电时，电流 $I$ 沿一根导线流到一块板上，另一股电流从另一块板流出。但两板之间没有电流：那里没有导线，只有空隙。 在电容器前面，绕导线取一条圆形路径。如果网是 平的，切过导线，穿过它的电流是 $I$。如果网是 长的，像一个口袋从两板之间穿过而不碰到导线，穿过它的电流就是 零。同一条路径，同一个磁场积分，两个不同的答案。在这种情况下，安培定律不可能是对的。 两板之间变化的东西 两板之间没有电荷通过，但有东西在变化：电场。当极板积累电荷 $Q$ 时，面积为 $A$ 的两板之间的电场增大： $$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$穿过极板面积的电场通量为 $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$，它的变化率为 $$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I.$$恰好等于导线中流来的电流！麦克斯韦提出，变化的电场就像电流一样起作用。他称之为 位移电流，$I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$，并把它加进安培定律： $$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$现在两张网的结果一致了。穿过平网的只有导线中的电流 $I$。穿过长网的没有电流，但有两板之间变化的电场，它贡献的量完全相同。 为什么叫"位移”？ 这个名字来自 1861 年的力学模型。麦克斯韦设想，即使在真空中也存在一种介质——以太，当电场变化时，其中的带电粒子会稍稍 位移，就像被拉伸的弹簧。这种微小的位移就是一种真实的电流。以太并不存在，迈克耳孙、莫雷和 爱因斯坦 后来证明了这一点，但这一项比模型活得更久：即使力学解释是错的，自然界仍然遵守这个方程。 电荷守恒 这一项必须存在还有另一个理由。在微分形式下，未经修正的安培定律是 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。但旋度的散度总是零，所以它会迫使 $\nabla\cdot\mathbf J=0$：电流永远不能在任何地方积累，任何电容器都无法充电。加上麦克斯韦的一项， $$0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E).$$由高斯定律，$\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}$，剩下 $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$这就是 电荷守恒：一个区域里的电荷只有在电流流入时才会增加。麦克斯韦的修正正好是让方程组遵守这一原理所需要的。 自我维持的一项 位移电流有一个惊人的推论。由法拉第定律，变化的磁场产生电场。由修正后的安培定律，变化的电场产生磁场。于是两种场可以相互维持，一个产生另一个，完全不需要电荷和电流，并在真空中传播。这就是波。在 下一篇 中，我们来计算它的速度。 练习：一个电容器在 2 毫秒内积累了 6 微库电荷。两板之间的平均位移电流是多少？导线中的平均电流为 $\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{6\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}=3\times10^{-3}$ A，即 3 mA。两板之间的平均位移电流也是 3 mA，尽管没有一个电子穿过两板之间的空间。

October 14, 2026 阅读
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克拉德尼图形与振动板奖

在一块从中心固定的金属板上撒上沙子，用小提琴弓擦过它的边缘。金属板开始“歌唱”，而沙子像有了自己的意志一样，从一些地方逃开，聚到另一些地方，画出线条、十字、星形和对称的曲线。换一个音，图案就变了。这就是克拉德尼图形。 如何激发克拉德尼板：板从中心固定，用小提琴弓擦过边缘。出自 1879 年一本书中的版画。作者不详，1879 · Wikimedia Commons · 公有领域 看得见的声音 德国人恩斯特·克拉德尼在 1787 年出版的《关于声音理论的发现》一书中发表了这些图形。定性的解释很简单。板振动时，几乎所有的点都在上下运动，把沙子抛开。但有些线保持不动：这就是节线。沙子滑到那里就停住了。图案是板上不动之处的地图。 克拉德尼带着他的金属板周游欧洲。1808 年，他在巴黎向拿破仑演示，皇帝着了迷，向科学院提供了一枚一千克重的金质奖章，奖给能给出解释这些图形的弹性曲面数学理论的人。 为什么这么难 对于振动的弦，数学早已准备好了。1747 年达朗贝尔写出了弦的方程，欧拉和丹尼尔·伯努利解释了弦振动时发出的音，其频率是最低音频率的整数倍：$f, 2f, 3f, \ldots$ 弦是一条线，把它拉回来的力取决于它倾斜了多少。 板则不同。它抵抗的是被弯曲，就像一把金属尺，而且它同时在两个方向上弯曲。欧拉曾试图研究钟，丹尼尔的侄子雅各布·伯努利曾把板想象成交叉梁组成的网格，都没有成功。评审委员拉格朗日认为当时的方法还不够。只有一个人参赛。 三次尝试 索菲·热尔曼从一个假设出发：板抵抗的力与它的曲率成正比，而在曲面上，这意味着把两个主方向上的曲率相加。1811 年，她提交了论文。论文中有计算错误，奖项没有颁发。但拉格朗日根据她的假设修正了计算，得到了板的微小位移 $z(x,y,t)$ 的正确方程： $$\begin{aligned}&\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\Bigg(\frac{\partial^4 z}{\partial x^4}+2\,\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\,\partial y^2}\\&\qquad\qquad+\frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\Bigg)=0.\end{aligned}$$注意其中的四阶导数。弦的方程只有二阶导数。更高的阶数正是抵抗弯曲的标志。 竞赛重新开放。1813 年，索菲证明了这个方程能再现克拉德尼的几种图形，获得荣誉提名。1816 年，第三次参赛，她获奖了。评审仍然指出了物理论证和板边缘条件上的缺口，这些直到 1850 年才由古斯塔夫·基尔霍夫解决。但这个方程，今天写作 $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\,\Delta^2 z=0$，正是工程师至今用来计算楼板、机翼和吉他面板的方程。 画出图形 对于正方形板，节线的一个经典近似由下面这样的组合给出： $$\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)\pm\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)=0,$$其中 $x$ 和 $y$ 在 0 和 1 之间。下图就是用这个公式画的：每个正方形是一块板，浅色的线就是沙子会聚集的地方。 简化模型中正方形板的节线，取几组 m、n 和符号的值。沙子聚集在浅色的线上。Euler’s Eyes 绘图 吉他与小提琴 制琴师至今仍在使用克拉德尼图形。他们在还没装上的小提琴或吉他面板上撒上粉末，用扬声器让它振动，观察图案。如果节线不在应在的位置，就在这里那里刨掉一点木头，再试一次，直到面板“唱”得正好。

October 14, 2026 阅读
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只弯不拉：嵌入定理

拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。 19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。 问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。 大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。 一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱： $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是 $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为 $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。 平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。 纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。 平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。 一张揉皱的纸 纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。

October 14, 2026 阅读
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广义相对论：从电梯到索布拉尔日食

我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：一个人如果自由下落，他就感觉不到自己的重量。我吃了一惊。这个简单的想法给我留下了深刻的印象，它推动我走向一种引力理论。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，谈 1907 年的一个想法 1905 年的相对论有一个缺陷：它没有包括引力。牛顿定律说，太阳隔着 1.5 亿千米瞬间吸引地球；而相对论说，没有什么比光传得更快。爱因斯坦花了八年时间试图解决这个问题。出发点是他所说的"一生中最快乐的想法"。 下坠的电梯 设想你在一部缆绳断了的电梯里。你和电梯里的一切以相同的加速度一起下落。如果你松手放开一个苹果，它就飘在你面前。在电梯里，就好像没有引力一样。空间站上的宇航员时时刻刻都在体验这一点：他们飘浮不是因为远离地球，而是因为在绕着地球下落。 反过来也一样：在远离一切的太空中，一枚以 $9.8$ m/s² 加速的火箭里，你会感到双脚紧压着地板，和在地球上一模一样。在一个小舱室里做的任何实验，都无法区分引力和加速度。这就是 等效原理。 现在在加速的火箭里水平打开一支手电筒。在光穿过舱室的过程中，火箭向上运动，光到达对面舱壁的位置比出发点略低：在火箭里，光走的是一条曲线。既然引力与加速度无法区分，那么 引力也会使光弯曲。 引力就是几何 爱因斯坦把这个想法推到了极致：引力不是一种力，而是 空间和时间的形状。像太阳这样的大质量物体使周围的时空弯曲，自由下落的物体——包括光——只是沿着这个弯曲空间中尽可能直的线，即 测地线 运动。地球绕太阳转，不是因为被拉着，而是因为它在被太阳弯曲的空间里"走直线"。 要把这一点写出来，爱因斯坦需要弯曲空间的几何，那是 高斯 开创、黎曼推广的，而他并不熟悉。他请朋友马塞尔·格罗斯曼帮忙，经历了多年的尝试和失败。1915 年 11 月 25 日，他向普鲁士科学院提交了 场方程： $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左边的 $G_{\mu\nu}$ 描述时空的 曲率；右边的 $T_{\mu\nu}$ 描述那里的 物质和能量。物理学家约翰·惠勒总结道：“物质告诉空间如何弯曲；空间告诉物质如何运动。” 这是十个相互交织的方程，解起来很难；但在弱场下，它们又回到了牛顿的引力。 第一个检验：水星 水星的轨道不是一个完全固定的椭圆：椭圆本身在缓慢地绕太阳转动。这种转动几乎全部可以用其他行星的吸引来解释，但还剩下 每世纪 43 角秒，牛顿物理学解释不了。有人提出在水星和太阳之间有一颗看不见的行星，叫作"火神星"。 1915 年 11 月，爱因斯坦用他的方程计算了这个效应，得到的恰好是每世纪 43 角秒。他写信告诉一位朋友，他好几天都"高兴得忘乎所以"，感到心跳加快。 第二个检验：偏折的光 对于掠过太阳的一束光，理论预言的偏折角为 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$取 $GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²，太阳半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m， $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$这相当于从 3 千米外看一枚硬币的视大小。要测出它，就得拍摄出现在太阳旁边的恒星，再与几个月后夜里太阳移到天空别处时这些恒星的位置作比较。但太阳旁边的星星只有在 日全食 时才看得见。 英国考察队在塞阿拉州索布拉尔架设的望远镜，为 1919 年 5 月 29 日的日食做好了准备。Charles Davidson · Wikimedia Commons · 公有领域 索布拉尔，1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日的日食条件理想：太阳正好位于一群明亮的恒星——毕星团前面。全食带经过巴西北部和非洲沿岸。英国皇家天文学会派出两支考察队：阿瑟·爱丁顿去了几内亚湾的普林西比岛，安德鲁·克罗姆林和查尔斯·戴维森去了塞阿拉州的 索布拉尔。里约热内卢国家天文台的天文学家也在索布拉尔，研究日冕。

October 14, 2026 阅读
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欧几里得算法：最大公约数

欧几里得算法是所有算法的老祖宗，因为它是流传至今的最古老的非平凡算法。 — 高德纳，《计算机程序设计艺术》第二卷（1969） 你有两根杆子，一根长 252 厘米，一根长 105 厘米，想找一把最长的尺，能把两根都恰好量整数次。用今天的话说，你要的是 最大公约数 $\gcd(252,105)$。可以把每个数的约数都列出来，再找最大的公共约数，但数一大，这就行不通了。在《几何原本》第七卷中，欧几里得教了一个快得多的方法。 用大的减去小的 欧几里得在命题 VII.1 和 VII.2 中的想法很简单：能量尽两根杆子的尺，也能量尽它们的 差。所以，不必找 252 和 105 的公共度量，可以改找 105 和 $252-105=147$ 的，再找 105 和 $147-105=42$ 的。总是用大的减去小的，直到两者相等： $$(252,105)\to(147,105)\to(42,105)\to(42,63)\to(42,21)\to(21,21).$$两个数都变成了 21。这就是最大公约数。希腊人把这个过程称为 antanairesis，“辗转相减”。（中国古代《九章算术》中的"更相减损术"与此相同。） 用除法的版本 多次减去同一个数，就是除法。把重复的减法合并成带余除法，算法就更短了： $$\begin{aligned}252&=2\cdot105+42\\105&=2\cdot42+21\\42&=2\cdot21+0\end{aligned}$$最后一个非零余数就是最大公约数： $$\boxed{\gcd(252,105)=21.}$$为什么行得通 如果 $a=qb+r$，那么： 每个同时整除 $a$ 和 $b$ 的数，也整除 $r=a-qb$； 每个同时整除 $b$ 和 $r$ 的数，也整除 $a=qb+r$。 数对 $(a,b)$ 和 $(b,r)$ 的公约数完全相同，所以 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。那么算法为什么会 结束？因为余数是每一步都在减小的正整数，$42>21>0$，而正整数不可能无限地减小下去。总有一刻余数为零，而 $\gcd(d,0)=d$。 这个算法很快。法国人加布里埃尔·拉梅在 1844 年证明，除法的次数永远不会超过两个数中较小者位数的五倍。对一百位的数，最多只需 500 次除法。 倒推回去 这些计算还能把最大公约数写成两个数的 组合。从下往上倒推： $$\begin{aligned}21&=105-2\cdot42\\&=105-2\cdot(252-2\cdot105)\\&=5\cdot105-2\cdot252.\end{aligned}$$验算：$525-504=21$。一般地，对任意 $a$ 和 $b$，存在整数 $x$ 和 $y$ 使 $ax+by=\gcd(a,b)$。这就是 裴蜀等式，而倒推的过程叫作 扩展欧几里得算法。

October 14, 2026 阅读
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置换根：拉格朗日定理

1770 年，代数学有一个停滞了两个多世纪的问题。二次方程有求根公式，卡尔达诺在 1545 年也发表了三次和四次方程的解法。到了五次，谁也找不到任何东西。最优秀的数学家都试过，每一种直到四次都管用的方法，到了五次就卡住了。 拉格朗日没有再去尝试一种新方法。他提出了一个不同的问题：旧方法为什么管用？ 我打算在这篇论文中考察迄今为止找到的各种方程代数解法，把它们归结为一般原理，并先验地说明这些方法为什么对三次和四次方程有效，而对更高次的方程失效。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，《关于方程代数解法的思考》（1771） 这篇论文有 200 多页，由柏林科学院在 1770 年和 1771 年发表。 把根打乱 核心想法是考察由方程的根构成的表达式，看看当根互换位置时这些表达式会怎样。 先从二次开始。方程 $x^2+bx+c=0$ 的根是 $x_1$ 和 $x_2$，自韦达以来人们就知道 $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$交换 $x_1$ 和 $x_2$，这两个表达式不变。正因为如此，它们可以用系数写出来。而差 $x_1-x_2$ 会变：变成 $x_2-x_1$，即它的相反数。它取两个值。但它的平方又只取一个值，于是可以用系数写出来： $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4c.$$现在只需开方：$x_1-x_2=\pm\sqrt{b^2-4c}$。知道了和与差，根立刻就出来了，结果正是二次方程求根公式。公式里的 $\pm$，恰好就是 $x_1-x_2$ 可能取的两个值的符号。 四次的秘密 拉格朗日对三次和四次方程做了同样的分析。在四次方程中，设根为 $x_1, x_2, x_3, x_4$，费拉里的技巧相当于考察表达式 $$t=x_1x_2+x_3x_4.$$打乱四个根共有 $4!=24$ 种方式，但 $t$ 只取三个值： $$\begin{gathered}x_1x_2+x_3x_4,\\ x_1x_3+x_2x_4,\\ x_1x_4+x_2x_3.\end{gathered}$$这三个值是一个三次方程的根，其系数可由原方程的系数算出。既然三次方程已经会解，就能求出 $t$，进而求出根。四次方程之所以可解，是因为存在一个取值少于四个的根的表达式。 对于五次方程，拉格朗日寻找一个取值很少的五个根的表达式，没有找到。他怀疑这个问题无解，但无法证明。意大利人保罗·鲁菲尼在 1799 年给出了几乎完整的证明，说明不存在一般的求根公式；挪威人尼尔斯·阿贝尔在 1824 年彻底解决了这个问题。几年后，埃瓦里斯特·伽罗瓦把拉格朗日的想法发展成一整套理论，即群论。 定理 在这项分析中，拉格朗日证明了一个今天以他命名的结果： 如果把一个含 $n$ 个字母的表达式按所有 $n!$ 种可能的方式打乱，它所取的不同值的个数整除 $n!$。 例如，四个字母的表达式 $t$ 取 3 个值，3 整除 24。两个字母的表达式 $x_1-x_2$ 取 2 个值，2 整除 $2!=2$。

October 14, 2026 阅读
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虚功原理

在任意力的任何平衡中，无论这些力以何种方式施加，正能量之和都等于负能量之和。 — 约翰·伯努利致皮埃尔·瓦里尼翁的信（1717 年 1 月 26 日） 从阿基米德起，每一种简单机械都有自己的一套解释。杠杆遵循力臂定律；斜面遵循斯蒂文发明的力的分解；滑轮靠关于绳子的推理；螺旋又是另一回事。1717 年，约翰·伯努利在给法国朋友皮埃尔·瓦里尼翁的信中证明，这些定律全都是 同一个原理 的特例。 想法：只动一点点 设想一台处于平衡的静止机械。现在设想你在思想中让它移动一段极小的距离，同时遵守它的约束：杠杆绕支点转动，绳子不伸长，木块不离开斜面。这种想象中的位移叫作 虚位移，因为它并不真的发生。 在每个受力 $F_i$ 的点上，该点沿力的方向移动了一点点 $\delta s_i$。乘积 $F_i\,\delta s_i$ 就是这个力的 虚功。约翰称之为 能量，这是这个词第一次以接近今天的含义出现。原理说： $$\boxed{\ \text{平衡时，}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ 对一切虚位移成立。}\ }$$帮助运动的力所做的功，等于阻碍运动的力所做的功。静止的机械不能无中生有地产生功。 阿基米德的杠杆 一根杠杆上，重物 $P_1$ 和 $P_2$ 分别距支点 $a$ 和 $b$。让杠杆转过一个极小的角 $\delta\theta$。$P_1$ 一侧下降 $a\,\delta\theta$，$P_2$ 一侧上升 $b\,\delta\theta$。下降的重物做正功，上升的做负功： $$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$这就是阿基米德定律，不需要任何相似三角形的图形：$\delta\theta$ 直接约掉了。 滑轮 在一组滑轮中，重物 $W$ 由 $n$ 段绳子吊着，一个人用力 $F$ 拉绳子的自由端。如果重物上升 $\delta h$，$n$ 段绳子每段都缩短 $\delta h$，这些绳子全都从自由端出来，自由端移动 $n\,\delta h$。所以 $$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$用四段绳子，只需 25 千克的力就能提起 100 千克。但要在距离上付出代价：重物上升 1 米，就得拉动 4 米绳子。

October 14, 2026 阅读
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黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

October 14, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 11, 2026 阅读