数学史 | Euler's Eyes

バンブリスムス：証拠をデシバンで量る

ボンブは速かったが、海軍のエニグマのローターの順序をすべて試すほどには速くなかった。1940 年、チューリングは、機械を動かす前にその大部分を除くための、紙と鉛筆の方法を考え出した。この方法で使う用紙がバンベリーの町で印刷されていたので、同僚たちはそれをバンブリスムスと名づけた。これは統計的な方法である。そしてそれを考え出すために、チューリングは現代統計学の中心的なアイデアの一つを独自に発明しなおした。くり返す文字ドイツ語の通信を二つ、上下に並べて書き、両方が同じ文字になっている位置を数えてみよう。ドイツ語では E、N、R、I がよく使われるので、一致は文字が無作為に選ばれた場合よりずっと多い。ドイツ語の文章では、並んだ二つの文字が一致する確率はおよそ $\frac1{17}$ である。文字が無作為なら $\frac1{26}$ になる。エニグマはこの性質を奇妙なかたちで保つ。二つの通信が同じローター位置の列で暗号化されていれば、同じ位置の同じ文字は同じ文字になるので、原文の一致は暗号文でも一致のまま残る。位置が違えば、割合は $\frac1{26}$ に落ちる。だから一致を数えれば、二つの通信がそろっているという証拠が得られ、それがローターの位置についての情報をもたらした。一致一つの値打ちチューリングは問うた。一つの一致は、通信がそろっているという私の確信をどれだけ強めるべきか。答えは尤度比、つまり一方の場合に一致を見る見込みが、他方の場合の何倍か、である。 $$\frac{\text{そろっているときの一致の確率}}{\text{そろっていないときの確率}}=\frac{1/17}{1/26}=\frac{26}{17}\approx1.53.$$一致のない位置は、反対向きの、ずっと弱い証拠である。 $$\frac{16/17}{25/26}=\frac{416}{425}\approx0.979.$$ベイズの定理によれば、証拠は一つごとにオッズ（ある仮説の確率と、もう一方の仮説の確率の比）にその尤度比をかける。位置が多ければかけ算も多くなり、手でのかけ算は遅い。かけるかわりに足すチューリングは、三世紀前にネイピアがしたことをした。対数に移って、かけ算を足し算に変えたのである。彼は尤度比の常用対数をバン、その十分の一をデシバンと呼んだ。 $$\text{デシバンで表した重み}=10\log_{10}(\text{尤度比}).$$すると、一致一つは $$10\log_{10}\frac{26}{17}\approx+1.8\ \text{デシバン},$$一致のない位置一つは $$10\log_{10}\frac{416}{425}\approx-0.09\ \text{デシバン}$$の値打ちになる。第 8 号小屋の作業員は、数えて足すだけでよかった。合計が $+20$ デシバンなら、証拠によって仮説のオッズが前の $10^2=100$ 倍になったということである。感じとれる最小の証拠ブレッチリーでチューリングと働いた統計学者 I・J・グッドは、デシバンが選ばれたのは、それが人間の直感で感じとれる証拠の重みの最小の変化にほぼ等しいからだと回想している。デシベルが、耳が気づく音の大きさの最小の変化であるのと同じである。戦後、グッドはこれらの考えを発展させ、現代のベイズ統計学の確立に力を尽くした。彼が使った「証拠の重み」という言葉づかいは、チューリングのものである。練習：証拠を足し合わせる200 か所でそろえた二つの通信に一致が 14 か所ある。重みの合計は何デシバンか。そろっているという仮説はより確からしくなったか。一致が 14 か所、一致のない位置が 186 か所なので、$14\cdot1.8+186\cdot(-0.09)\approx25.2-16.7=8.5$ デシバン。正なので、そろっているほうのオッズはおよそ $10^{0.85}\approx7$ 倍になった。文字が無作為なら一致の期待値は $200/26\approx7.7$、そろっていれば $200/17\approx11.8$ である。14 はそろっているほうによく合う。練習：一致がいくつで引き分けか100 か所のうち、一致がいくつ $k$ なら重みの合計がゼロになるか。 $1.8k-0.09(100-k)=0$、すなわち $1.89k=9$ で、$k\approx4.8$。100 か所で一致が 5 以上あれば、証拠はもうそろっているほうに傾く。これは無作為の期待値 $100/26\approx3.8$ と、そろっているときの期待値 $100/17\approx5.9$ のあいだの数である。出典： I. J. Good, “Studies in the history of probability and statistics XXXVII: A. M. Turing’s statistical work in World War II”, Biometrika（1979）· Andrew Hodges, Alan Turing: The Enigma（1983）· Sharon Bertsch McGrayne, The Theory That Would Not Die（2011）。

October 16, 2026 読んだ

エヴァリスト・ガロアの遺産

この手紙は、それがふくむ考えの新しさと深さで判断するなら、おそらく人類の全文献の中で最も内容のある文書であろう。 — ヘルマン・ワイル『シンメトリー』（1952）ガロアが残した数学は六十ページほどで、その多くは急いで書かれたものでした。それが理解されるまでに半世紀かかりました。理解されたとき、それは数学とは何かという考えそのものを変えました。数や図形を研究する代わりに、それらを変えずに残す変換を研究するのです。群論ガロア理論についての最初の本、フランスのカミーユ・ジョルダンの『置換論』は 1870 年に出ました。その二年後、ドイツのフェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムで、それぞれの幾何学をその変換群によって定めることを提案しました。ユークリッド幾何学は回転と平行移動で変わらないものを研究し、射影幾何学は射影で変わらないものを研究するのです。アーベルと同じノルウェー人のソフス・リーは、彼の名がついた連続群をつくり、ガロアが代数方程式を調べたように微分方程式を調べるのに使いました。アーベルの仕事との類似は大きいのですが、ちがいもあります。アーベルは公式が存在しないことを証明しました。ガロアはなぜかを説明し、その説明はすべての方程式に同時に当てはまりました。数ではなく演算について語るこの新しい言葉の物語は、このサイトの記号論の本の章「ガロアとケイリー」でも語られています。自然の中の群物理学。 1918 年、ドイツのエミー・ネーターは、物理法則のあらゆる対称性が保存される量に対応することを証明しました。時間についての対称性はエネルギーの保存を、空間についての対称性は運動量の保存を与えます。1961 年、マレー・ゲルマンは $\mathrm{SU}(3)$ という群で素粒子を整理し、まだだれも見たことのない粒子、オメガ・マイナスを予言しました。それは 1964 年に発見されました。化学。結晶の中の原子の並び方の対称性の群はちょうど 230 種類あり、1891 年に分類されました。すべての鉱物、すべての金属、結晶化したすべてのタンパク質が、そのどれかに属します。数論。アンドリュー・ワイルズは 1995 年、楕円曲線に結びついた方程式のガロア群を調べることで、フェルマーの最終定理を証明しました。楕円曲線は、まさにアーベルの楕円関数から生まれた曲線です。計算機。有限体は誤り訂正符号と暗号の中にあります。弟アルフレッドが描き、1848 年に発表されたエヴァリスト・ガロアの肖像。彼の死から十六年後のことだった。Alfred Galois · Wikimedia Commons · パブリックドメインモンスター 5 次の公式をはばむ 60 個の元の群は単純です。より小さな部分に切り分けることができません。単純群はすべての有限群の「原子」であり、そのすべてを見つけることは 20 世紀の数学で最大の事業の一つでした。2004 年に完成した分類は、百人を超える数学者が書いた何万ページにもおよびます。いくつかの無限の系列のほかに、ちょうど 26 個の孤立した単純群があります。その最大のもの、モンスターの元の個数は $$808\,017\,424\,794\,512\,875\,886\,459\,904\,961\,710\,757\,005\,754\,368\,000\,000\,000$$で、およそ $8\times10^{53}$ です。残ったもの方程式論。方程式の群と、どの方程式が累乗根で解けるかを決める判定法。群論。その言葉自体、正規部分群の考え、群を段階に分解すること。有限体。彼の名がついた $p^n$ 個の元の体。幾何学。ヴァンツェル、クライン、リーを通じて、不可能な作図の説明と、対称性の研究としての幾何学という考え。科学。素粒子物理学、結晶学、暗号、符号。決闘のさまざまな説決闘の謎は、一世紀以上にわたって伝説を生み続けました。作家アレクサンドル・デュマは回想録で、相手をペシュー・デルバンヴィルという共和主義者だとしています。警察の密偵だったという人もいれば、葬儀で蜂起を起こすために仕組まれた決闘だったという人もいます。より最近の研究では、相手は獄中仲間のエルネスト・デュシャトレだったと考えられています。真相はおそらく永遠にわからないでしょう。けれども数学は、少なくとも、まるごと生き残りました。覚えておきたいことエヴァリスト・ガロアは 1811 年から 1832 年まで生きた。仕事はすべて 17 歳から 20 歳の間に行った。方程式の群は、根の間の成り立つすべての関係を守る根の置換からなる。群は、閉じていること、結合法則、単位元、逆元をもつ。三角形の六つの対称性は、アーベル群でない最小の群をつくる。方程式が累乗根で解けるのは、その群を素数の指数をもつ正規な段階で切り分けられるとき、そしてそのときに限る。5 次では、60 個の元の群が切り分けられない。どの素数 $p$ とどの $n$ についても、$p^n$ 個の元の体がある。九つの元の体は、3 を法として $i^2=-1$ となる $i$ で得られる。定規とコンパスでは、平方根を必要とする数しか作図できない。だから立方体は倍にできず、$60°$ の角は三等分できない。出典： Peter M. Neumann、The Mathematical Writings of Évariste Galois（2011）· Hermann Weyl、Symmetry（Princeton University Press、1952）· Mark Ronan、Symmetry and the Monster（Oxford University Press、2006）。

October 15, 2026 読んだ

ジョン・ネイピアの遺産

対数の発明は、何か月もの仕事を数日に縮めることで、いわば天文学者の寿命を倍にした。 — ピエール＝シモン・ラプラスの言葉とされるものこれほど速く広まった発明はめったにありません。十年もたたないうちに、対数はイングランド、オランダ、ドイツ、イタリアで使われていました。三世紀半にわたり、対数は人類の主要な計算の道具でした。ケプラー最初の大きな利用者はヨハネス・ケプラーでした。1617 年にネイピアの表を見て大喜びし、1619 年にはスコットランドの男爵に感謝の手紙を書きましたが、相手がすでに二年前に亡くなっていたことを知りませんでした。そして 1620 年の『天体暦』を彼に献じました。ケプラーは自分でも対数表を計算し、1627 年の『ルドルフ表』で使いました。当時最も正確な惑星の位置表で、楕円軌道を裏づけるものでした。自然対数対数の数学は独自の道を歩みはじめました。1647 年、ベルギーのグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとその弟子アルフォンス・ド・サラサは、双曲線 $y=1/x$ の下の面積が対数のようにふるまうことに気づきました。$\ln$ と書く自然対数の底は $e\approx2.71828$ で、オイラーが研究し名づけた数です。それはネイピアの二つの点による定義の中に隠れていました。今日、対数は地震のマグニチュード、音のデシベル、化学の pH、コンピューターのメモリ、アルゴリズムの計算量の中に現れます。『驚くべき対数規則の記述』の扉、エディンバラ、1614 年。著者は「マーキストン男爵、スコットランド人ヨハネス・ネペルス」と記されている。John Napier · Wikimedia Commons · パブリックドメインそのほかの貢献小数点。小数は 1585 年にフランドルのシモン・ステヴィンが提唱していましたが、記法は複雑でした。ネイピアは『ラブドロギア』と『構成』で、25.803 のように整数部分を点で区切って数を書き、この習慣を広めるのに役立ちました。球面三角形。ネイピアは覚えやすい規則、円部の規則をつくりました。天文学と航海で使われる直角球面三角形の十の公式を、二つの文にまとめるものです。ネイピアの類比は、今も球面三角法の本に出てきます。ネーパ。通信で対数的な比を測る単位は、彼にちなんでネーパ（neper）と呼ばれます。月のクレーターにも彼の名がついています。残ったもの計算。かけ算を足し算に、べきをかけ算に変える対数。道具。ネイピアの骨、プロンプチュアリ、そしてガンターとオートレッドを通じて生まれた計算尺。記法。小数点と「対数」という言葉。三角法。円部の規則とネイピアの類比。科学。ケプラーの表、航海、そしてその後三世紀の工学。城をかこむ大学ネイピアが生まれ、亡くなったマーキストン塔は今も残っています。1960 年代、エディンバラ市はそのまわりに技術カレッジを建て、ネイピアの名をつけました。今日それはエディンバラ・ネイピア大学となり、15 世紀の塔は現代的な建物にかこまれて、キャンパスの真ん中に立っています。覚えておきたいことジョン・ネイピアは 1550 年から 1617 年まで生きた。二十年の計算ののち、1614 年に対数を発表した。等比数列でかけることは、等差数列で足すことである：$2^a\times2^b=2^{a+b}$。ネイピアは二つの動く点で対数を定義した。現代の言葉では $\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln(10^7/x)$。ブリッグスとともに 10 を底とした：$\log1=0$、$\log10=1$。$\log2\approx0.30103$ は $2^{10}\approx10^3$ から出る。ネイピアの骨は、九九の一行を読み、斜めに足すことでかけ算をする。計算尺は、対数に比例する長さを足すことでかけ算をする。出典： Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor、e: The Story of a Number（1994）· ネイピアの伝記、MacTutor。

October 15, 2026 読んだ

ニールス・ヘンリック・アーベルの遺産

アーベルは数学者たちに、百五十年分の仕事を残していった。 — シャルル・エルミートの言葉とされるものアーベルが数学者として仕事をしたのは八年足らずでした。その間に、彼は代数学で最も古い問いに決着をつけ、級数に厳密さをもたらし、楕円関数を生み出し、死後何十年もたってようやく完全に理解された論文を書きました。今日、彼の名前は数学のほかのだれよりも多くの場所に見られます。アーベル群、アーベル積分、アーベル関数、アーベル多様体、アーベルの定理、アーベル総和法、アーベルの判定法。パリの論文アーベルが 1826 年にパリ科学アカデミーに提出し、コーシーがなくした著作には、巨大な結果がふくまれていました。どんな代数曲線についても、曲線に沿ったある種の積分の和は、曲線だけで決まる一定の個数の積分に帰着できる、というのです。その個数は、三十年後にリーマンが曲線の種数、つまり対応する曲面の「穴」の数と呼ぶことになるものです。今日この結果はアーベルの定理と呼ばれ、代数幾何学とリーマン面の理論はそこから育ちました。ルジャンドルはこの定理を知って、ラテンの詩人ホラティウスの言葉を借り、monumentum aere perennius、「青銅よりも長く残る記念碑」と呼んだと伝えられています。原稿の物語はほとんど小説のようです。アーベルの死後、パリ駐在のノルウェー領事がアカデミーに原稿を探すよう頼みました。コーシーがそれを見つけ、1841 年に出版されましたが、誤りがありました。印刷のあいだに原本はまた消えてしまいました。それが見つかったのはようやく 1952 年、ノルウェーの数学者ヴィゴ・ブルンによって、フィレンツェの図書館で、あるイタリア人収集家の書類の中からでした。記念碑と賞オスロの王宮公園にある、グスタヴ・ヴィーゲラン作のアーベル記念碑。1908 年に除幕され、二つの怪物のような像の上に立つ裸の若者を表している。多くの人は、二つの像を彼が打ち負かした 5 次方程式と楕円関数と読む。Wolfmann · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 19 世紀の終わり、ノーベル賞に数学部門がないと知ったノルウェーのソフス・リーは、アーベルの名を冠した賞をつくることを提案しました。この案は、1899 年のリーの死と、1905 年のノルウェーとスウェーデンの分離によって勢いを失いました。それが再び取り上げられたのは、アーベル生誕二百年の 2002 年です。ノルウェー政府はアーベル賞を創設し、2003 年にフランスのジャン＝ピエール・セールに初めて授与しました。今日、それは数学のノーベル賞にあたるものとみなされています。2015 年にはジョン・ナッシュとルイス・ニーレンバーグに贈られました。残ったもの 1929 年のノルウェーの切手。アーベルの没後 100 年を記念して発行された。ノルウェー郵便 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン代数学。 5 次の一般の公式の不可能性、アーベル方程式、可換な群。解析学。級数の厳密さ、任意の指数に対する二項級数、べき級数についてのアーベルの定理。楕円関数。積分の逆転、二重周期性、加法公式。ヤコビとともに。代数幾何学。代数関数の積分についてのアーベルの定理。リーマンの理論の根。古典幾何学。定規とコンパスによるレムニスケートの分割。円と同じ数について。遅れて届いた手紙アーベルの生涯は、すれちがいの書簡に彩られていました。ガウスが開かなかった小冊子、コーシーがなくした論文、死の二日後に届いたベルリンからの手紙。1830 年にパリ科学アカデミーが大賞を与えたとき、彼は亡くなって一年以上たっていました。ノルウェーでは彼の肖像が切手や 500 クローネ紙幣に描かれ、月のクレーターにも彼の名がついています。覚えておきたいことニールス・ヘンリック・アーベルは 1802 年から 1829 年まで生きた。仕事はすべて 19 歳から 26 歳の間に行った。 5 次以上の一般の方程式には、累乗根による公式は存在しない。これがアーベル＝ルフィニの定理である。二項級数 $(1+x)^m=1+mx+\cdots$ は $|x|<1$ で収束する。任意の $m$ についてこれを初めて証明したのはアーベルである。積分 $\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ を逆にするとレムニスケート正弦が得られる。実と虚の二つの周期をもつ関数である。レムニスケートの四分の一をそれぞれ二等分する点は、中心から $\sqrt{\sqrt2-1}$ の距離にある。作図可能な数である。操作の順序が問題にならないとき、群はアーベル群である。群がアーベル群である方程式は累乗根で解ける。出典： Arild Stubhaug、Niels Henrik Abel and his Times（Springer、2000）· アーベル賞、ノルウェー科学文学アカデミー · アーベルの伝記、MacTutor。

October 15, 2026 読んだ

アルベルト・アインシュタインの遺産

想像力は知識より大切だ。知識にはかぎりがあるが、想像力は世界を包みこむ。 — アルベルト・アインシュタイン、『サタデー・イヴニング・ポスト』のインタビュー（1929）アインシュタインは、だれもが顔を知っているただひとりの科学者です。けれども彼の遺産はポスターのなかにはありません。私たちが何も考えずに使っている道具のなかに、そして物理学者が今も答えようとしている問いのなかにあるのです。彼の予言のいくつかは、死後何十年もたってからようやく確かめられました。レーザー 1917 年、物質が光を吸収し放出するしくみを調べていたアインシュタインは、励起された原子が、自然に光子を吸収・放出するだけでなく、光子によって誘導されて、同じ向きにそっくり同じ光子をもうひとつ出すことがあると気づきました。理論上の観察でした。四十年後、それはレーザーになります。「誘導放出による光の増幅」の英語の頭文字です。バーコードの読み取り機、光ファイバー、目の手術、講義用のポインターは、どれも誘導放出の応用です。物質の新しい状態 1924 年、インドの物理学者サティエンドラ・ナート・ボースが、光子の新しい数え方を述べた論文をアインシュタインに送りました。アインシュタインはそれをドイツ語に訳して発表させ、その考えを原子に広げました。そして、絶対零度のすぐ近くでは、ある種の原子の気体が、まるですべての原子がひとつになったかのように、ただひとつの状態に凝縮すると予言しました。ボース＝アインシュタイン凝縮は 1995 年に実験室でつくられ、実現した人たちは 2001 年のノーベル賞を受けました。宇宙と「最大のあやまち」 1917 年、アインシュタインは一般相対性理論を宇宙全体にあてはめました。方程式によれば、宇宙はじっとしていることができず、膨張するか収縮するかしなければなりません。当時はだれもが静止した宇宙を信じていたので、アインシュタインは宇宙を止めておくためだけに、方程式にひとつの項、宇宙定数 $\Lambda$ を加えました。1929 年、エドウィン・ハッブルが、銀河どうしが遠ざかっていること、つまり宇宙が膨張していることを示します。物理学者ジョージ・ガモフによれば、アインシュタインはあの定数を生涯「最大のあやまち」だったと言ったそうです。話にはどんでん返しがあります。1998 年、宇宙の膨張が加速していることがわかり、いちばん簡単な説明がまさに宇宙定数だったのです。「あやまち」は方程式に戻ってきました。時空のさざ波 1916 年、アインシュタインは、加速する質量が重力波、つまり光の速さで伝わる時空そのもののさざ波を生むと予言しましたが、弱すぎて測ることはできないだろうと考えていました。2015 年 9 月 14 日、ほぼ百年後、アメリカの LIGO の検出器がそれをとらえました。13 億光年のかなたで二つのブラックホールが合体したときのものでした。その波は検出器の長さ 4 km の腕を、陽子の大きさの千分の一にもならないだけのばしたり縮めたりしました。ブラックホールアインシュタインの方程式は、時空があまりにゆがんで光さえ逃げられない領域を許します。アインシュタイン自身は、自然がそんなものをつくるのか疑っていました。今では、私たちの銀河の中心に太陽の 400 万倍の質量のブラックホールがあることがわかっており、2019 年にはイベント・ホライズン・テレスコープが、M87 銀河にあるブラックホールの影の最初の画像を公開しました。 1925 年 5 月、リオデジャネイロの植物園のアインシュタイン。作者不明 · Wikimedia Commons · パブリックドメインアインシュタインとブラジル 1925 年の訪問はあとを残しました。アインシュタインを迎えたのは、ブラジル科学アカデミーと、国立天文台の台長でソブラルの日食観測にも加わった科学者エンリケ・モリーゼでした。新聞は似顔絵やコラムを載せ、そのひとつは相対性という言葉をもじって「無相対性」という題の風刺画を掲げました。ソブラルには今、望遠鏡が据えられた場所に日食博物館があり、2019 年の百周年には、町で一週間にわたる科学の催しが開かれました。

October 14, 2026 読んだ

ベルヌーイ数：千個のべき乗を七分で足す

この表の助けを借りて、最初の千個の数の十乗を足すと 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500 になることを、私は四半時間の半分もかからずに見つけた。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第二部少年ガウスは、最初の数と最後の数を組にして、1 から 100 までの和を数秒で出したといわれます。$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ です。平方や立方の和にも、アルキメデスやアラビアの数学者のころから知られた公式があります。 $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$では四乗、五乗、十乗は？十七世紀には何人もの数学者が、こうした公式をひとつずつ求めてページを埋めていました。フランスのイスマエル・ブイヨーは 1682 年に分厚い本を出しましたが、苦心のすえに六乗までしか届きませんでした。ヤコブ・ベルヌーイは、すべてを与える規則を見つけたのです。表『推測術』の第二部で、ヤコブは公式を上から下へ並べ、じっくりながめました。 $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$規則があります。$m$ 乗の和はいつも $m+1$ 次の多項式です。最初の係数は、積分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ と同じく $\frac1{m+1}$。二番目はいつも $\frac12$。そのあとの係数は二項式 $(n+1)^{m+1}$ の係数に、ある決まった数をかけたもののように見えます。不思議な数ヤコブは、今日 $B_0,B_1,B_2,\dots$ と書かれベルヌーイ数と呼ばれる数の列がひとつあれば、すべての公式を一度に書けることに気づきました。 $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$$B_j$ はどう求めるのでしょう。かんたんなこつがあります。公式は $n=1$ でも成り立たなくてはならず、そのとき和はただの $1^m=1$ です。$n=1$ とおくと $n$ のべき乗はすべて 1 になり、 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1$$が残ります。$B_0=1$ から始めると、$m$ の値ごとに次の数が出てきます。 $m=1$：$1+2B_1=2$、よって $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$、よって $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$、よって $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$、よって $B_4=-\frac1{30}$。続けると $B_6=\frac1{42}$、$B_8=-\frac1{30}$、$B_{10}=\frac5{66}$ で、1 より大きい奇数番目はすべて 0 です。これらの数には目に見える規則がありません。$B_{12}=-\frac{691}{2730}$ で、そこから先は急速に大きくなります。

October 14, 2026 読んだ

ヨハン・ベルヌーイの遺産

ヨハン・ベルヌーイは、兄の『推測術』やニュートンの『プリンキピア』のような大著を書きませんでした。いちばん有名な本は他人の名で出ました。彼が残したのは仕事のしかたです。物理や幾何のあらゆる問題を方程式に変え、ライプニッツの微積分で解くこと。そして弟子たちを残しました。ライプニッツの闘士微積分を発明したのはニュートンかライプニッツかという争いで、ヨハンはライプニッツ側の最も戦闘的な兵士でした。1713 年のはじめ、ニュートンが会長をつとめる王立協会がニュートンに優先権を認める報告を出すと、ライプニッツは匿名のビラ『飛び紙』（Charta volans）で応じ、そこに「ある卓越した数学者」の判断を引用しました。それがヨハンでした。その後何年も、ヨハンはニュートンの方法では解けないと考えたむずかしい問題で、イギリスの数学者たちに挑みつづけました。ライプニッツは 1716 年に亡くなり、ヨハンはその後も長くひとりで戦いました。この争いのために、イギリスの数学はほぼ一世紀のあいだ大陸の数学から切り離されることになります。関数という言葉数学的な意味での関数という言葉は、1690 年代のライプニッツとヨハンの手紙のやりとりのなかで生まれました。1718 年、ヨハンは最初の定義を発表します。私は、変量の関数とは、その変量と定数とからなんらかのしかたで組み立てられた量のことだと呼ぶ。 — ヨハン・ベルヌーイ『パリ科学アカデミー紀要』（1718）彼は $x$ の関数をギリシャ文字 $\varphi$ で書き、ときにはかっこなしで $\varphi x$ と書きました。$f(x)$ と書きはじめたのは、1734 年、弟子のオイラーです。このサイトの旧関数講座に記号の年表があります。年人物記号 1694 ヨハン・ベルヌーイ $x$ によって決まる量を、たとえば $n$ のような一文字で表す 1698 ヨハン・ベルヌーイ $x$ の関数を $X$ または $\xi$ で表す 1718 ヨハン・ベルヌーイ $\varphi x$ 1734 レオンハルト・オイラー $f\left(\frac xa+c\right)$ 一派ヨハンは、同じ世紀のほかのどの先生よりも多くの重要な数学者を育てました。たとえば、ロピタル侯爵。彼の講義を最初の微積分の本にした。息子のニコラウス二世、ダニエル、ヨハン二世。ダニエルは流体力学を創始し、ベルヌーイの名を冠した定理を残した。ヨハン二世は父の講座を継いだ。レオンハルト・オイラー。その世紀最大の数学者で、土曜日ごとに指導を受けた。最小作用の原理を唱えたピエール＝ルイ・モロー・ド・モーペルテュイと、地球の形を研究したアレクシ・クレロー。オイラーを通じて、この系譜はベルリンでオイラーの後を継いだラグランジュへ、そしてそこから十九世紀と二十世紀の数学の大部分へと続いていきます。残ったもの微積分。ロピタルの定理、対数微分法、指数計算、関数の定義。曲線。懸垂線と最速降下線、そして運動と光のあいだのたとえ。変分法。最速降下線の挑戦と、等周問題をめぐるヤコブとの争いが、オイラーとラグランジュへの道を開いた。力学。仮想仕事の原理。静力学と『解析力学』の土台。教育。オイラーを筆頭とする一世代の数学者たち。全集 1742 年、75 歳のヨハンはローザンヌとジュネーヴで四巻の『全集』（Opera omnia）を出版しました。編集したのは、連立一次方程式のクラメルの公式で知られるガブリエル・クラメルです。そこには『水力学』が、息子の『流体力学』より前に見えるようヨハンが選んだ 1732 年の日付つきで収められています。

October 14, 2026 読んだ

光は電磁波である

光は、電気と磁気の現象の原因である同じ媒質の横波からなる、という推論を避けることはほとんどできない。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル「物理的な力線について」（1862）、斜体は原文のまま 1861 年の夏、本から遠く離れたグレンレアで、マクスウェルは渦と小さな歯車の模型を使ってある計算をしました。電気と磁気の力を伝える媒質をゆさぶると、その乱れは波として伝わるはずだ。速さはどれくらいか。計算から出てきた数は、磁石と電荷を使って実験室で測られる二つの定数だけで決まっていました。手もとにはその値がありませんでした。10 月にロンドンに戻って調べてみると、その数は光の速さだったのです。波動方程式今日の形の方程式で計算をやり直しましょう。電荷も電流もないところでは $\rho=0$、$\mathbf J=0$ で、方程式は $$\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$になります。三本目の回転をとると、四本目を使って $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.$$左辺では、ベクトルの恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E$ が成り立ち、一本目の方程式から最初の項は 0 です。残るのは $$\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.}$$これは波動方程式で、ダランベールの振動する弦や音と同じものです。波動方程式 $\nabla^2u=\frac1{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$ では、波の速さは $v$ です。したがってここでは $$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$その数今日の値、$\varepsilon_0\approx8.854\times10^{-12}$ F/m と $\mu_0\approx1.257\times10^{-6}$ H/m を使うと、 $$v=\frac1{\sqrt{8.854\times10^{-12}\cdot1.257\times10^{-6}}}\approx2.998\times10^8\ \text{m/s}=299\,792\ \text{km/s}.$$1862 年、マクスウェルは、ドイツのヴィルヘルム・ヴェーバーとルドルフ・コールラウシュが 1856 年にライデン瓶の放電で測った定数を使い、秒速 310 740 km を得ました。光の速さの最良の測定は、フランスのイポリット・フィゾーが 1849 年に歯車と 8 km 先の鏡で行ったもので、秒速 314 858 km でした。一方は磁石で、もう一方は鏡で、まったく関係のない道すじで得られた二つの数が、1% あまりしかちがわなかったのです。冒頭の引用の一文は、そこから来ています。マクスウェルはそれを斜体で書きました。

October 14, 2026 読んだ

平均曲率：曲面はどれだけ曲がっているか

振動する板の方程式を書くために、ソフィー・ジェルマンはかんたんそうに聞こえる問いに答えなければなりませんでした。曲面はある点でどれだけ曲がっているのか。彼女の答え、平均曲率は、今もシャボン玉、細胞膜、飛行機の外板を調べるのに使われています。曲線の曲率線から始めましょう。直線は曲がらないので、その曲率はゼロだといいます。円はどの点でも同じだけ曲がっていて、小さい円ほどよく曲がります。そこで半径 $R$ の円の曲率を $$\kappa=\frac1R$$と定めます。半径 1 cm の円の曲率は 1、半径 1 m の円なら 1 cm あたり $0.01$ です。一般の曲線では、各点でそこにいちばんよく合う円、接触円をとり、その半径の逆数を曲率とします。曲面にはたくさんの曲率がある曲面になると話はややこしくなります。缶の側面の一点を考えてみましょう。缶にそって縦に歩けば、道はまっすぐで曲率はゼロ。缶のまわりを歩けば、道は半径 $r$ の円で曲率は $\frac1r$。そのあいだの向きでは、あいだの値になります。 1760 年、オイラーはこれがいつも規則正しく起こることを示しました。各点に、曲率が最大になる向き $\kappa_1$ と最小になる向き $\kappa_2$ があり、二つはたがいに垂直です。これが主曲率です。一つめの向きと角 $\theta$ をなす向きの曲率は $$\kappa(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$$です。ソフィー・ジェルマンの考えソフィー・ジェルマンには、板が曲げにどれだけ抵抗するかを表す一つの数が必要でした。彼女の仮説は、二つの主曲率を足すことでした。今日ではその和の半分を使い、平均曲率と呼びます。 $$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}.$$この名前は正確です。$\kappa(\theta)$ をすべての向きについて平均すると、$\cos^2\theta$ と $\sin^2\theta$ の一周での平均はどちらも $\frac12$ なので、結果はちょうど $\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$ になります。平均曲率とは、すべての向きの曲率の平均なのです。半径 r の球面では、二つの主曲率はどちらも 1/r。円柱面では一つが 1/r、もう一つが 0。鞍形の面の中心では、二つは大きさが等しく符号が逆で、打ち消し合う。Euler’s Eyes 作図半径 $r$ の球面：二つの曲率はどちらも $\frac1r$ で、$H=\frac1r$。半径 $r$ の円柱面：一つの曲率が $\frac1r$、もう一つが $0$ で、$H=\frac1{2r}$。鞍形の面：一方の向きでは上がり、もう一方では下がるので、二つの曲率は符号が逆になり、中心で $H=0$。ジェルマンとガウス：和と積 1827 年、ソフィーの文通相手だったガウスは、同じ二つの曲率の別の組み合わせ、積 $K=\kappa_1\kappa_2$ を研究しました。今日ガウス曲率と呼ばれるものです。二つの数は別々のことを語っています。

October 14, 2026 読んだ

無限小のない導関数と平均値の定理

18 世紀の終わり、微積分はとてもよく役に立っていましたが、なぜうまくいくのかをきちんと説明できる人はいませんでした。ライプニッツの $dx$ は「無限に小さい」量でした。それでわり算をするためにゼロでないものとしてあつかったかと思うと、すぐあとで、無視するためにゼロであるかのようにあつかうのです。1734 年、バークリー主教はこれをあざけって、「死んだ量の亡霊」と呼びました。ラグランジュはこのことが気になっていました。1797 年、彼は副題そのものが一つの綱領になっている本を出版します。微分計算の原理をふくみ、無限小、消えゆく量、極限、流率についてのあらゆる考察から解放され、有限な量の代数的解析に帰着させたもの。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析関数論』（1797）導かれた関数ラグランジュの考えは、まともな関数ならどれもべき級数に展開できる、というものでした。変数 $x$ に増分 $i$ を与えると、 $$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots$$となり、$p, q, r, \ldots$ は $x$ の新しい関数です。ラグランジュはこのうち最初のもの、$i$ の係数を、$f$ の導かれた関数と定義し、ダッシュをつけて $f'(x)$ と書きました。$f'$ の導関数は $f''$、以下同様です。 $f(x)=x^3$ でどうなるか見てみましょう。3 乗を展開すると、 $$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ の係数は $3x^2$ なので、$f'(x)=3x^2$ です。あとで消えてしまうものでわる必要も、何かを無視する必要もありませんでした。係数を読みとるだけでよかったのです。これこそラグランジュが望んだことでした。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。残ったダッシュ今日、学校では導関数に二つの記号を使います。ライプニッツの $\frac{dy}{dx}$ と、ラグランジュの $f'(x)$ です。導関数（derivative）ということばもこの本から来ています。fonction dérivée、もとの関数から導かれた関数です。文字の上に点をつけて $\dot y$ と書いたニュートンの記号は、今日ではおもに物理で、変数が時間のときに使われています。計画がつまずいたところこの計画には欠陥があり、1823 年にコーシーがそれを指摘しました。すべての関数がそのべき級数に等しいわけではないのです。関数 $$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$はゼロの近くでとても平らなので、そこでの導関数はすべてゼロになります。ゼロのまわりでのべき級数は $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$ ですが、関数はゼロではありません。ラグランジュのように級数から出発するだけでは足りないのです。コーシーは極限の考えで微積分を立て直し、今日教えられているのは彼の版です。それでもラグランジュは、その途中で、計画が難破したあとも生き残った二つの道具を見つけていました。平均値の定理一つめは平均値の定理で、彼は自分の級数をおさえるためにそれを必要としていました。今日の形ではこうです。$f$ が $a$ から $b$ までの区間で微分可能なら、そのあいだに少なくとも一つの点 $c$ があって、

October 14, 2026 読んだ

熱方程式とド・ジョルジ＝ナッシュの正則性

1900 年、パリの国際数学者会議で、ダフィット・ヒルベルトは、20 世紀の数学を導くと彼が考えた 23 の問題を発表しました。第 19 問題は、平たく言えばこう問いかけます。変分法の「性質のよい」問題の解は、いつも滑らかな関数か。半世紀たっても、ある重要な種類の方程式について、この問いは未解決のままでした。1956 年、ナッシュは同僚からこの問題を聞き、取り組むことにしました。熱方程式いちばん簡単な例から始めましょう。とても長い金属の棒の、点 $x$、時刻 $t$ における温度を $u(x,t)$ とします。熱は熱いほうから冷たいほうへ流れ、温度はフーリエの熱方程式に従います。 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$ここで $\kappa>0$ は物質の拡散率です。この方程式は、ある点の温度は、まわりの平均より低ければ上がり、高ければ下がる、と言っています。時刻 0 にすべての熱エネルギーが一点に集中していれば、$t>0$ での解はガウス関数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}$$です。確かめましょう。$t$ で一回、$x$ で二回微分すると、 $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$両者は等しくなります。釣鐘形の曲線は時間とともに広がって低くなり、面積は 1 のままです。エネルギーは保存され、広がっていきます。幅は $\sqrt t$ に比例して増え、アインシュタインのブラウン運動で進む距離とまったく同じです。偶然ではありません。熱は分子の揺れであり、熱方程式は遠くから見たランダムウォークを記述しているのです。物質が不規則なときガウス関数にはすばらしい性質があります。初めの温度が無限に集中した尖った山であっても、どんな $t>0$ でも解は完全に滑らかです。拡散はすべてをならしてしまいます。では、物質が一様でなかったら？銅や木やガラスのかけらを無造作に貼り合わせ、かけらごとに熱の伝わり方が違う板を想像してください。方程式は $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$となり、熱伝導率 $a(x,t)$ はかけらからかけらへ急に跳ぶことがあります。求められるのは、二つの正の限界の間にあること、$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$ だけです。これほど不規則な係数では、解の公式はなく、解が導関数をもつかどうかさえはっきりしません。問いはこうです。温度は激しく変わりうるのか、それとも熱はやはりならすのか。定理ナッシュは 1957 年、熱はやはりならすことを証明しました。どんな次元でも、これらの方程式の解はヘルダー連続です。つまり、$\lambda$、$\Lambda$ と次元だけによる定数 $C$ と $0<\alpha\leq1$ があって、 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$物質がどれほど乱雑でも、温度は跳ぶことができません。ナッシュの証明はきわめて独創的でした。確率とエントロピーの考えを使い、熱を広がっていく質量として扱って、公式なしに解を制御したのです。この結果により、この種の方程式についてヒルベルトの第 19 問題は解決しました。

October 14, 2026 読んだ

素数は尽きない

素数は、示されたどんな個数の素数よりも多い。 — ユークリッド『原論』命題 IX.20 素数とは、1 と自分自身でしか割りきれない、1 より大きい整数です。2、3、5、7、11、13、……。ほかの数は、$12=2\cdot2\cdot3$ のように、すべて素数の積です。素数は算数の原子なのです。先へ進むほど、素数はまれになります。1 から 100 までには 25 個ありますが、1 000 001 から 1 000 100 までには 6 個しかありません。どこかで尽きてしまうのでしょうか。ユークリッドは、尽きないことを四行の議論で示しました。イギリスの数学者 G. H. ハーディは、それを数学全体で最も美しい議論のひとつとみなしていました。証明だれかが有限個の素数のリスト $p_1,p_2,\ldots,p_n$ をくれたとします。ユークリッドは、そのリストの外に少なくともひとつ素数があることを示します。すべてをかけて 1 を足しましょう。 $$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1.$$$N$ をリストのどの素数で割っても、積 $p_1p_2\cdots p_n$ はその素数で割りきれるので、余りは 1 です。リストのどの素数も $N$ を割りきりません。ところが $N$ は 1 より大きいので、少なくともひとつ素因数 $q$ をもちます。なぜでしょう。$N$ の 1 より大きい約数のうち最小のものをとります。それが素数でなければ、もっと小さい約数をもち、それも $N$ を割りきるので、最小だという選び方に反します。だから最小の約数は素数です。この素数 $q$ は $N$ を割りきり、リストのどの素数も $N$ を割りきりません。よって $q$ はリストにありません。どんな有限のリストもすべての素数を含むことはできないのです。 $$\boxed{\text{素数は無限にある。}}$$ユークリッドは「無限」という言葉を使いません。ギリシャ人が避けた言葉です。彼は、どんな個数の素数が与えられても、もっとある、と言います。同じことを、注意深く言ったのです。つくった数はいつも素数とはかぎらない $N$ はいつも素数だと思うのは、よくあるまちがいです。見てみましょう。

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