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四つの平方数で足りる

好きな正の整数を一つとって、平方数 $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ の和として、できるだけ少ない項で書いてみましょう。 $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$それ自身が平方数のものもあれば、二つ必要なもの、三つ必要なものもあります。7 は四つ必要で、ほかに方法はありません。五つ必要な数はあるでしょうか。1770 年、ラグランジュはないことを証明しました。 すべての正の整数は、四つの整数の平方の和である。 ゼロも平方数に数えれば、これは $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ となる $a, b, c, d$ がいつも存在するということです。 十五世紀にわたる予想 250 年ごろ、アレクサンドリアのギリシア人ディオファントスは、ある数が四つの平方数の和に書けることを、問題のなかで説明なしに使っています。1621 年、フランスのクロード＝ガスパール・バシェはディオファントスの『算術』のラテン語版を出版し、この主張をはっきり書きました。彼は 325 まで確かめたが証明はわからない、と述べています。 ピエール・ド・フェルマーが有名な書きこみをしたのは、このバシェの本の余白でした。フェルマーは自分の無限降下法で証明したと宣言しましたが、いつものとおり、それを見せることはありませんでした。 オイラーの四十年 オイラーはおよそ四十年にわたって証明を試み、最後までたどりつけませんでした。けれども 1748 年に、いちばん大事な部品を見つけます。四つの平方数の和どうしの積は、また四つの平方数の和になることを示す恒等式です。 $$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)\\ &\quad=(ae+bf+cg+dh)^2\\ &\qquad+(af-be+ch-dg)^2\\ &\qquad+(ag-bh-ce+df)^2\\ &\qquad+(ah+bg-cf-de)^2. \end{aligned}$$魔法のように見えますが、両辺を展開するだけです。交差する積はすべて二つずつ打ち消し合います。たとえば $7=2^2+1^2+1^2+1^2$、$15=3^2+2^2+1^2+1^2$ です。恒等式から $$\begin{aligned}105&=7\cdot15=10^2+1^2+0^2+(-2)^2\\&=100+1+0+4.\end{aligned}$$この結果は強力です。どんな数も素数の積です。それぞれの素数が四平方和なら、恒等式によってその積も四平方和になります。したがって、定理は素数について証明すれば十分なのです。 ラグランジュの証明 ここで、1770 年、すでにベルリンにいたラグランジュが登場します。彼の証明は二段階からなり、どちらもフェルマーの降下法の仲間です。 第一段階。 どんな奇素数 $p$ についても、$x^2+y^2+1$ が $p$ の倍数になる $x$ と $y$ が存在します。理由は数え上げです。$x$ を $0$ から $\frac{p-1}2$ まで動かすと、数 $x^2$ は $p$ でわったとき $\frac{p+1}2$ 個の異なる余りを残し、数 $-1-y^2$ も同じです。$\frac{p+1}2+\frac{p+1}2=p+1$ は可能な余り $p$ 個より多いので、鳩の巣原理により、二つのリストのあいだで余りがどこかで重なります。したがって $p$ のある倍数、たとえば $mp$ は四平方和 $x^2+y^2+1^2+0^2$ になります。

October 14, 2026 読んだ
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指数計算：x の x 乗を微分する

ライプニッツの微積分は、$x^3$ や $x^{1/2}$ のように指数が決まったべき乗なら微分できました。$x^n$ の導関数は $nx^{n-1}$ です。ところが 1694 年、ライプニッツへの手紙で、ヨハン・ベルヌーイは奇妙なものをもちだしました。 $$y=x^x$$という式です。底 と 指数が同時に変わります。指数が決まっていないので $x^n$ の規則は使えません。底が決まっていないので $a^x$ の規則も使えません。1697 年、ヨハンは『学術紀要』に「指数計算の原理」を発表し、こうしたべき乗の扱い方を示しました。指数がいろいろな値を走りぬけるので、彼はそれを 走るべき （percurrent）と呼びました。 対数のこつ べき乗を、微分のしかたを知っている積に変えるのが考えどころです。$x>0$ として、両辺の自然対数をとります。 $$\ln y=x\ln x.$$両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律で $\dfrac{y'}y$。右辺は積の微分で $1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$。したがって $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1$ で、 $$\boxed{\frac{d}{dx}\,x^x=x^x\,(\ln x+1).}$$関数そのものではなくその対数を微分するこの技法は、対数微分法 と呼ばれるようになりました。$f>0$ の任意の $y=f(x)^{g(x)}$ に使えます。 $$\ln y=g\ln f\quad\Longrightarrow\quad y'=f^{\,g}\left(g'\ln f+g\,\frac{f'}f\right).$$かっこのなかの二つの項は、二つの変化を数えています。指数の変化 $g'\ln f$ と、底の変化 $g\frac{f'}f$ です。底が決まっていれば第一項だけが残って $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ に戻り、指数が決まっていれば第二項だけが残って $nx^{n-1}$ に戻ります。 x の x 乗がいちばん小さくなるところ $x^x$ はいつも正なので、導関数の符号は $\ln x+1$ の符号です。$x<\frac1e$ では負、$x>\frac1e$ では正になります。関数は $x=\frac1e\approx0.368$ まで減り、それから増えます。最小値は $$\left(\frac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx0.692.$$つまり、どんな正の数も、自分自身で累乗して $0.692$ より小さくなることはありません。たとえば $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707$、$0.3^{0.3}\approx0.697$ で、どちらも少し上です。

October 14, 2026 読んだ
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推測術：チャンスを数える

あることを推測するとは、その確率を測ることである。それゆえ私たちは、推測術、すなわち確率術を、事物の確率をできるかぎり正確に測る技術と定める。それによって、判断と行動において、よりよく、より満足でき、より安全で、より熟慮されたと思われるものを、いつも選び、したがうことができるように。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 1654 年、パスカルとフェルマー は、途中で打ち切られた勝負の賭け金をどう分けるかについて手紙をやりとりしました。1657 年には、オランダのクリスティアーン・ホイヘンスがサイコロ遊びの計算についての十五ページの小冊子を出版しました。どれも客間の問題でした。サイコロ、トランプ、賭け。 ヤコブ・ベルヌーイが求めたのは、ずっと大きなものでした。彼にとって確率とは 確実さ の尺度であり、0（不可能）と 1（確実）のあいだの数で、法廷で証言を量り、人がどれだけ生きるかを予測し、保険を評価し、薬が効くかどうかを判断するのに役立つはずのものでした。その方法を示す本を、彼は二十年かけて書きました。題は Ars conjectandi、『推測術』です。 『推測術』の扉。ヤコブの死から八年後の 1713 年、バーゼルで出版された。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 四部からなる本 『推測術』は四部からなります。第一部はホイヘンスの本を再録し、原文より長いヤコブの注釈をつけたものです。第二部は 組合せ論 の完全な講義で、順列、組合せ、そしてそのなかに、今ではヤコブの名がついている べき乗の和 があります。第三部はそれらすべてを何十もの遊びに応用します。未完の第四部は、市民生活、道徳、経済における確率を扱い、そこに 黄金の定理 があります。 ベルヌーイ試行 この本のいちばん単純なアイデアが、統計学で最もよく使われるもののひとつになりました。結果が二つしかない実験を考えます。硬貨が表か否か、患者が治るか否か、部品が不良か否か。一方の結果を 成功、その確率を $p$、他方を 失敗、その確率を $q=1-p$ と呼びます。この言葉はただのラベルです。工場では、数える「成功」が不良品の発見かもしれません。 今日、このような実験は ベルヌーイ試行 と呼ばれます。ヤコブの問いはこうです。いつも同じ条件で、ある結果がほかの結果に影響しないようにして試行を $n$ 回くり返すとき、ちょうど $k$ 回成功する確率はいくらか。 公式を一歩ずつ 小さな例から始めましょう。サイコロを 3 回投げ、「成功」は 6 の目、$p=\frac16$ とします。6 がちょうど二回出る確率はいくらでしょうか。 ありうる並びのひとつは 6、6、ほか です。その確率は、各回の確率の積です。 $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$けれども 6 が二回出る順番はほかにもあります。6、ほか、6 と ほか、6、6 です。同じ因数が順番を変えて現れるだけなので、どれも確率は $\frac5{216}$ です。順番は 3 通りなので、 $$P(\text{6 が二回})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$順番の数は、どの 回が成功になるかを選ぶ方法の数、つまり 3 回から 2 回を選ぶ数 $\binom32=3$ です。一般に、成功 $k$ 回、失敗 $n-k$ 回の並びはそれぞれ確率 $p^kq^{n-k}$ をもち、そうした並びは $\binom nk$ 通りあります。足し合わせると、

October 14, 2026 読んだ
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正方形と長方形でする代数

直線が任意に分けられるならば、全体の上の正方形は、それぞれの部分の上の正方形と、二つの部分にはさまれた長方形の二倍との和に等しい。 — ユークリッド『原論』命題 II.4 ギリシャ人には、未知数を表す文字も、プラスやマイナスの記号も、等号もありませんでした。$a\cdot b$ のことを話したいときは、辺が $a$ と $b$ の 長方形 の話をし、$a^2$ のことを話したいときは、辺が $a$ の 正方形 の話をしました。べき乗に使う「平方」や「立方」という言葉はここから来ています。『原論』の第二巻はまるごとこのやり方で書かれていて、面積についての事実として述べられ証明された代数の恒等式でできています。歴史家はそれを 幾何学的代数 と呼びます。 和の平方 引用の命題 II.4 はこう言います。線分を $a$ と $b$ の二つに分ける。線分全体の上の、辺 $a+b$ の正方形は、$a$ の上の正方形と、$b$ の上の正方形と、辺 $a$ と $b$ の長方形二つの和に等しい。四つに分けた大きな正方形の図を見れば十分です。今日の記法では、 $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$学校で暗記する公式を、ユークリッドは 描いた のです。そして証明はその図そのものです。四つの部分が、あまりも不足もなく大きな正方形を埋めつくしています。 平方の差 命題 II.5 は、知られている最も古い『原論』の断片、オクシリンコスのパピルスに書かれていたものです。今日のことばでは、長さ $2m$ の線分をまんなかで切り、さらに任意の点で $m+d$ と $m-d$ に分けると、 $$(m+d)(m-d)+d^2=m^2$$となる、と言っています。これは恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$、平方の差 です。ユークリッドは、長方形の一部を切りとって小さな正方形のとなりにはめこみ、正方形をつくることで証明します。 平方完成 ユークリッドから千年後の 820 年ごろ、中央アジアのホラズム地方の出身で、バグダードの知恵の館で働いていた数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミー が、未知の量をひとつ含む問題の解き方についての本を書きました。その題名には「復元」を意味する al-jabr という言葉があり、それが 代数（algebra）という言葉の起源になりました。著者の名前は アルゴリズム という言葉の起源です。このサイトの旧二次方程式講座は、彼の例のひとつを紹介していました。 ひとつの平方とその根の十倍が三十九に等しい。平方はいくつか？ 今日のことばでは $x^2+10x=39$ です。フワーリズミーは、ユークリッドがしたであろうのとまったく同じく、面積でそれを解きました。 x² + 10x = 39 の幾何学的な解き方。一辺 x の黄色い正方形と、辺が x と 5 の二つの緑の長方形をあわせると 39 になる。一辺 5 の赤い小さな正方形が、一辺 x + 5 の正方形を完成させる。Euler’s Eyes 作図 一辺 $x$ の正方形を描く。面積は $x^2$。 「根の十倍」$10x$ を、辺が $x$ と $5$ の二つの長方形に分け、正方形の二辺にそれぞれくっつける。L 字形の図全体の面積は $x^2+10x=39$。 大きな正方形を完成させるには、すみに一辺 $5$、面積 $25$ の小さな正方形が足りない。それを加えると、大きな正方形の面積は $39+25=64$。 面積 $64$ の正方形の一辺は $8$。ところが大きな正方形の一辺は $x+5$ なので、$x+5=8$、$x=3$。 今日の記法では、こうなります。

October 14, 2026 読んだ
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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

October 11, 2026 読んだ
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フェルマー数：予想と反例

数学者たちはずっと、素数だけを生み出す公式を夢見てきました。1640 年、フェルマーはそれを見つけたと思いました。 5 つ続いた素数 フェルマーは次の形の数を調べました。 $$F_n=2^{2^n}+1.$$指数は 2 のべき、$1,2,4,8,16,\ldots$ です。最初のいくつかを計算すると、 $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$5 つとも素数です。$65\,537$ を手で確かめる（平方根まで割ってみる）だけでも、もう大変な作業でした。フェルマーはフレニクル・ド・ベシーへの手紙で、この形の数はすべて素数だと確信していると書きましたが、証明はないことも認めていました。 大きすぎる数 次の数は $$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$10 桁の数です。素数かどうかを調べるには、17 世紀に手作業で約 6 万 5000 まで割ってみなければなりません。フェルマーはその計算をしませんでした。 ほぼ 100 年後の 1732 年、若きレオンハルト・オイラーが計算しました。そして見つけたのです。 $$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$フェルマーの予想はまちがっていました。すべての数についての主張は、反例が一つあれば崩れます。 なぜ 641 なのか オイラーはやみくもに割ってみたわけではありません。$F_5$ の約数は $64k+1$ という特別な形でなければならないことを知っていて、それで探す範囲が大きく狭まりました。この形の素数の候補の 5 番目が 641 です。 割り算をしないで割り切れることを確かめる、エレガントな方法もあります。641 は二通りに書けることに注目しましょう。 $$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$641 を法として、一つ目の形から $5\cdot2^7$ の余りは $-1$。4 乗すると $5^4\cdot2^{28}$ の余りは $1$。二つ目の形から、$5^4$ の余りは $-2^4$ と同じ。入れ替えると、 $$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$したがって $2^{32}+1$ の余りは 0、つまり 641 の倍数です。計算の全体はオイラーのシリーズにあります。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 素数は今も 5 つだけ コンピュータによって、$F_5$ から $F_{32}$ までのフェルマー数はすべて合成数であることがわかっています。最初の 5 つ以外にフェルマー素数を見つけた人はいません。今では多くの数学者が、フェルマーの予想とは逆のこと、つまりフェルマー素数はこの 5 つしかないのではないかと考えています。

October 11, 2026 読んだ
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二進法の算術：0 と 1 で数を表す

私たちはなぜ 10 ずつ数えるのでしょう？ おそらく指が 10 本あるからです。10 という数に特別なところはなく、どんな数でもどんな基数でも書けます。ライプニッツはこの考えを極限まで推し進めて問いました。すべての数を書くには、最低いくつの数字が必要か？ 答えは二つ、0 と 1 です。 位ごとに 2 倍 二進法で書かれた 0 から 32 までの数。ライプニッツが 1703 年にパリ科学アカデミーの紀要に発表した論文『二進法算術の解説』の表。ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 十進法では、位の値は 1、10、100、1000……で、各数字はその値を何回使うかを表します。二進法では、位の値は 1、2、4、8、16、32……で、各数字ははい（1）かいいえ（0）しか表せません。 $$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$添え字 $_2$ は、その数が二進法で書かれていることを示します。8 桁、つまり 8 ビットでは、位の値は 1 から 128 まで。書ける最大の数は $$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$ゼロも含めると $2^8=256$ 通りの数になります。コンピュータで 0 から 255 までのものが多いのはそのためです。 8 つのビットをオン・オフしてください 128 64 32 16 8 4 2 1 位の重みをオンにして、二進数の表記と十進数の和を追ってください。左に 0 を補っても値は変わらず、8 ビットの長さが保たれます。 コントロールを使うには JavaScript を有効にしてください。例と計算は本文にもあります。

October 11, 2026 読んだ
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ニュートン法：接線で根に近づく

解の公式がない方程式もあります。$e^x+x-3=0$ には 2 次方程式のような公式はありませんし、3 次方程式の公式は面倒すぎてほとんど誰も使いません。そんなときは近似します。値を予想し、どれだけずれているかを調べ、予想を修正する。問題は、どうすればうまく修正できるかです。 ニュートンの例 1669 年の『解析について』で、ニュートンは次の方程式を選びました。 $$y^3-2y-5=0.$$試してみると、$2^3-2\cdot2-5=-1$ なので、根は $2$ の近くにあります。そこで彼は $y=2+p$ とおきました。$p$ は足りない修正分です。代入すると、 $$(2+p)^3-2(2+p)-5=p^3+6p^2+10p-1=0.$$$p$ は小さいので、$p^2$ や $p^3$ はさらに小さい。ニュートンはそれらを捨てて $10p-1=0$ を残し、$p=0.1$ を得ました。新しい予想は $y=2.1$。同じ考えを $y=2.1+q$ でくり返すと $q\approx-0.0054$、以下同様です。数ステップで $y\approx2.09455148$ に到達しました。 ニュートン、ラフソン、シンプソン ニュートンは毎回代入をやり直し、そのたびに新しい多項式を作っていました。1690 年、ジョゼフ・ラフソンはつねにもとの方程式を使う、より実用的な形を発表しました。今日教わる導関数を使った形は、1740 年にトマス・シンプソンが示したものです。そのため、この方法はニュートン–ラフソン法とも呼ばれます。 幾何学的な考え方：接線をたどる $p^2$ と $p^3$ を捨てることは、曲線をその接線で置き換えることと同じです。接点の近くでは接線は曲線とほとんど重なり、直線が軸と交わる点を求めるのは簡単です。 予想値 $x_n$ から出発すると、その点での $f$ のグラフの接線は $$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$これが横軸と交わるのは $y=0$ のときです。$x$ について解くと、新しい予想が得られます。 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$言葉で言えば、新しい予想 = 予想 − f(予想) ÷ f′(予想)。 ニュートンの方程式に、$f(y)=y^3-2y-5$、$f'(y)=3y^2-2$ として適用すると、 ステップ $y$ 0 2 1 2.1 2 2.0945681 3 2.0945514817 4 2.0945514815 1 ステップごとに、正しい小数の桁数がほぼ倍になります。

October 11, 2026 読んだ
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エニグマ：1.59×10²⁰ 通りの鍵と一つの欠陥

アメリカの国家安全保障局の国立暗号博物館に展示されている、ローター三つのエニグマ。上がローター、中ほどがランプ、下がキーボード、手前がプラグボード。National Security Agency · Wikimedia Commons · パブリックドメイン エニグマは、木の箱に入ったタイプライターのように見えた。操作員がキーボードで文字を押すと、ランプ盤で別の文字が光る。二人めの操作員が光った文字を書きとめ、その文字列がモールス信号で無線送信された。受け手の側では、同じように設定した同じ機械で操作員が暗号文を打ち込み、ランプでもとの文を読んだ。 キーとランプのあいだで、電流は迷路を通った。プラグボード、中で配線が交差した三つのローター、電流を送り返すリフレクター、ふたたび三つのローター、そしてふたたびプラグボード。しかもキーを押すたびに最初のローターが一つ回り、迷路全体が変わった。 鍵を数える ドイツ軍がエニグマを信頼したのは、設定の可能な数の多さのためだった。1939 年の陸軍型について、パスカルが教えてくれた組合せ論で数えてみよう。 ローター。 5 個入りの箱から 3 個を選び、順序も区別する。 $$5\cdot4\cdot3=60.$$初期位置。 各ローターは 26 文字のどれかから始まる。 $$26^3=17\,576.$$プラグボード。 10 本のケーブルが文字を二つずつつなぎ、入れ替える。26 文字から 10 組をつくる方法は何通りか。26 文字を $26!$ 通りのどれかの順に一列に並べ、最初の 20 文字で二つずつ組をつくる。残りの 6 文字はつながず、その順序は関係ないので $6!$ で割る。10 組の順序も関係ないので $10!$ で割る。各組の中の順序も関係ないので $2^{10}$ で割る。結果は $$\frac{26!}{6!\cdot10!\cdot2^{10}}=150\,738\,274\,937\,250.$$合計。 かけ合わせると $$60\cdot17\,576\cdot150\,738\,274\,937\,250\approx1.59\times10^{20}.$$ローターのリング設定を数えなくても、約 1.59×10²⁰ 通りの鍵がある。毎秒百万通り試しても、すべてを試すにはおよそ五百万年かかる。 欠陥 リフレクターには実用上の利点があった。同じ設定のまま、機械で暗号化も復号もできたのである。しかし生まれつきの欠陥ももたらした。電流はいつも別の道を通って戻ってくるので、どの文字も自分自身には暗号化されない。A はけっして A にならない。 ささいなことに見えるが、これが決定的だった。暗号解読者たちは、多くの通信に予想できる語が含まれていることを知っていて、それを crib（カンニング）と呼んだ。6 時の天気予報は WETTERVORHERSAGE で始まり、多くの報告は KEINE BESONDEREN EREIGNISSE、「特記事項なし」と書かれていた。クリブが暗号文のどこにあるかを見つけるには、それを暗号文に沿ってずらしていき、どこかの文字が真下の暗号文の文字と一致する位置をすべて捨てればよかった。 Q F Z W R W I K T Y R E S X B F O G K U H Q W E T T E R V O R H E R S A G E ← S の上に S：ありえない W E T T E R V O R H E R S A G E ← 一致なし：ありうる 最初の位置では、クリブの S が暗号文の S の上に来てしまうが、エニグマはけっしてそうしない。この位置は捨てられる。4 文字先では、どの文字も一致せず、この位置は候補として残る。

October 16, 2026 読んだ
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アーベル群：順序が問題にならないとき

靴下をはいてから靴をはくのと、靴をはいてから靴下をはくのとでは、結果がちがいます。3 を足してから 5 を足すのと、5 を足してから 3 を足すのとは同じです。二つの操作の順序を変えても結果が変わらないとき、それらは可換であるといいます。すべてが可換な構造を表すために数学者が使う言葉は、アーベルへの敬意を表したものです。アーベル的（abelian）です。 最後の論文 一般の 5 次方程式に公式がないことを証明したあと、アーベルはどんな方程式なら公式があるのかを知りたいと考えました。1829 年、『クレレ誌』に発表した最後の論文の一つで、彼は特別な種類の方程式を調べました。すべての根が、そのうちの一つ $x$ から、互いに可換な有理関数 $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ によって得られる方程式です。 $$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$アーベルは、こうした方程式がつねに累乗根で解けることを証明しました。それらはアーベル方程式と呼ばれるようになり、のちに、順序が問題にならない群がアーベル群と呼ばれるようになりました。 1 のべき根 最も重要な例は方程式 $x^n=1$ です。その根の一つは $$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$$で、ほかの根はすべてそのべき乗です：$\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$。ある根を別の根に移す関数はべき乗 $\theta_a(x)=x^a$ で、これらは可換です。 $$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$アーベルの定理により、$x^n=1$ はどの $n$ についても累乗根で解けます。これは、ガウスが正十七角形の作図に使ったのと同じ構造です。正多角形の頂点は $x^{17}=1$ の根なのです。 群と可換性 現代の言葉では、群とは、合成したり、取り消したり、組み合わせたりでき、しかもつねにその集まりの中にとどまる操作の集まりです。どの二つの元についても $a\circ b=b\circ a$ となるとき、その群はアーベル群です。 アーベル群の例はいたるところにあります。 整数と足し算：$3+5=5+3$。 円の回転：$30°$ 回してから $50°$ 回すのは、$50°$ 回してから $30°$ 回すのと同じ。 時計の算術：12 時間の時計で、9 時の 5 時間後は 2 時です。$9+5\equiv2\pmod{12}$ と書きます。ここでも足す順序は関係ありません。 アーベル群でない群もあります。三角形の対称性が最も小さな例です。三角形を回してから裏返すのと、裏返してから回すのとでは結果がちがいます。ルービックキューブも例です。前の面を回してから上の面を回すのは、その逆と同じ効果にはなりません。ガロアが 5 次方程式に公式がない理由を説明したのは、アーベル群でない群を調べることによってでした。 可換だとなぜ助かるのか アーベルの証明の背後にある直観は、アーベル群では操作を一つずつ、どんな順序でも行うことができ、一つの操作がほかの操作の成果をこわさない、ということです。各ステップは累乗根を一つとることに対応し、根は順番にとっていくことができます。五つの根の 120 通りの置換の群のように、アーベル群でなく、しかも複雑すぎる群では、ステップどうしが邪魔し合い、累乗根だけでは最後までたどり着けないのです。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 アーベルのぶどう 英語圏の数学者の間には古い冗談があります。「紫色で可換なものは何？ アーベルのぶどう。」英語で an abelian grape（アーベルのぶどう）が an abelian group（アーベル群）と似た音になるのです。「abelian」という形容詞はあまりにもよく使われるので、多くの本では小文字で書かれます。それは、ほんのわずかな数学者しか受けていない栄誉です。

October 15, 2026 読んだ
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立方体の倍積と角の三等分：不可能な作図

ギリシア人は、ユークリッドの『原論』の道具である定規とコンパスでは、だれにも解けなかった三つの作図問題を残しました。 立方体の倍積：与えられた立方体の 2 倍の体積をもつ立方体の辺を作図する。 角の三等分：任意の角を三つの等しい部分に分ける。 円の正方形化：与えられた円と同じ面積の正方形を作図する。 伝説によれば、疫病がはやったとき、デロスの神託はアテネの人々に、立方体の形をしたアポロンの祭壇を 2 倍にせよと命じました。人々は辺を 2 倍にしましたが、体積は 8 倍になり、疫病はおさまりませんでした。二千年にわたって数学者たちは挑みました。答えが出たのは 19 世紀、ガウスとガロアの考えによってでした。それは不可能なのです。 定規とコンパスにできること 長さ 1 の線分から始めます。定規とコンパスを使えば、相似な三角形によって長さを足し、引き、かけ、割ることができます。そして、半円の中の相乗平均で平方根をとることもできます。しかし、それだけです。 理由は解析幾何学にあります。作図の新しい点はどれも、二本の直線の交点、直線と円の交点、二つの円の交点のどれかです。直線の方程式は 1 次、円の方程式は 2 次です。これらの交点を求めるのに、2 次方程式より高い次数の方程式は決して必要ありません。だから作図の各ステップで加わるのは、せいぜい平方根一つなのです。 定規とコンパスで作図できる長さは、1 から四則演算と平方根で書ける。とくに、それが有理数の範囲で因数分解できない方程式の根であれば、その方程式の次数は 2 のべき乗である。 デロスの立方体 辺 1 の立方体を 2 倍にするとは、体積 2 の立方体の辺 $x$ を作図することです。 $$x^3=2,\qquad x=\sqrt[3]2\approx1.2599.$$方程式 $x^3-2=0$ は有理数の根をもたず、より低い次数の有理数係数の多項式に因数分解できません。次数は 3 で、2 のべき乗ではありません。したがって $\sqrt[3]2$ は作図できません。デロスの祭壇は、定規とコンパスでは 2 倍にできないのです。 60° の角 かんたんに三等分できる角もあります。直角は三つの $30°$ の角に分けられ、$30°$ は正三角形で作図できます。しかし問題が求めているのはどんな角にも使える方法で、反例が一つあれば十分です。$60°$ をとりましょう。これを三等分するとは、$20°$、つまり長さ $x=\cos20°$ を作図することです。余弦の 3 倍角の公式 $$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$で、$\theta=20°$、$\cos60°=\frac12$ とすると、 $$4x^3-3x=\frac12\qquad\Longrightarrow\qquad8x^3-6x-1=0.$$ありうる有理数の根は $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac18$ だけで、どれも当てはまりません。よって方程式は因数分解できず、次数は 3 です。$60°$ の角は定規とコンパスで三等分できません。 ヴァンツェルとガロア この二つの証明は 1837 年、理工科学校の学生だった 23 歳のフランス人ピエール・ヴァンツェルが、リウヴィルの雑誌に発表しました。ヴァンツェルはガウスとラグランジュの考えを使いました。ガロアの著作が出版されるのは九年後のことです。今日、この議論はガロア理論で説明されます。方程式の次数は、その根がつくり出す数の世界の大きさを測り、定規とコンパスは二段ずつしか登れないのです。

October 15, 2026 読んだ
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計算尺：すべる対数

対数表を使うには、まだ数を探し、足し、もう一度探さなければなりません。ネイピアから数年後、イギリス人たちは、対数を定規の上に置き、足し算を手で行えることに気づきました。 ガンターの目盛り 1620 年、ブリッグスのグレシャム・カレッジの同僚だった天文学者エドマンド・ガンターは、各数 $x$ が 1 の目盛りから $\log x$ に比例する距離にある定規を描きました。 $$x\text{ の位置}=L\cdot\log x.$$1 は始まりに、10 は終わりにあり、2 は全長の $0.301$、3 は $0.477$、5 は $0.699$ のところにあります。数は右へ行くほど詰まっていきます。かけ算をするには、ディバイダーを 1 から $a$ まで開き、その開きを $b$ から移します。距離が足されるので、先端は $a\times b$ に来ます。 $$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$オートレッドの二本の尺 1622 年ごろ、牧師で数学者のウィリアム・オートレッドはディバイダーを不要にしました。同じ目盛りを二本並べ、一方を他方の上ですべらせるのです。$2\times3.5$ を計算するには、下の尺の 1 を上の尺の 2 の下に合わせ、下の尺の 3.5 の上にある上の尺の数を読みます。7 です。これが最初の計算尺でした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 割り算は同じ計算を逆にするだけです。$8\div2.5$ なら、下の尺の 2.5 を上の尺の 8 の下に合わせ、下の尺の 1 の上を読むと 3.2。計算尺は小数点の位置を教えてくれません。答えが 3.2 なのか 32 なのか 0.32 なのかは、計算する人が知っていなければなりません。ブリッグスの対数の指標とまったく同じです。 20 世紀の計算尺。中央の目盛りが互いにすべり、透明なカーソルが読み取りを助ける。Jacek Halicki · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 三百五十年 計算尺には、平方、平方根、正弦、対数の目盛りが加わり、正確に読むための細い線の入ったガラスのカーソルがつきました。正しい桁は三桁で、ほとんどすべての工学にはそれで十分でした。橋も、飛行機も、発電所も、ロケットも、計算尺で設計されました。アポロ計画の技術者たちは計算尺を使い、宇宙船にも一本積まれていました。計算尺は、1972 年に関数電卓が登場すると、数年のうちに姿を消しました。

October 15, 2026 読んだ