Hero Image
画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズによる。コモンズが提供する縮小画像を、圧縮以外の編集をせずに使っている。 16 歳のチューリング、アーサー・レジナルド・チャフィン撮影とされるパスポート写真：出典ページ · パブリックドメイン。 1951 年のチューリング、エリオット＆フライ写真館の肖像：出典ページ · パブリックドメイン。 キングズ・カレッジの礼拝堂、Martinvl 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブレッチリー・パークの館、DeFacto 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ローター三つのエニグマ、アメリカ国家安全保障局：出典ページ · パブリックドメイン。 復元されたボンブ、Mike Peel 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パイロット ACE、Philafrenzy 撮影：出典ページ · CC BY 2.0。 マンチェスターの「ベビー」の複製、Parrot of Doom 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 サックヴィル公園の像、David Dixon 撮影：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 大型のフグの皮膚、Chiswick Chap 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 チューリングの模様とチーター、Philip Ball 作成の図：出典ページ · CC BY 4.0。 このサイトで作成した図 表紙、対話型のチューリング機械、反応拡散のシミュレーションは、このコースのために作成した。シミュレーションはグレイ＝スコット・モデルを 200×200 の格子で計算したもので、文字を含まないので、サイトのすべての言語で使える。対話型の機械は四つの言語すべてで動作する。 記録 ファイル data/turing_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュ値を記録している。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に挙げている。 アラン・チューリングの全トピック · ← アラン・チューリングの遺産

October 16, 2026 読んだ
Hero Image
パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 11, 2026 読んだ
Hero Image
パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 11, 2026 読んだ
Hero Image
第1章：参考文献と図版出典

さらに学ぶために Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 全 2 巻. Chicago: Open Court, 1928–1929. それぞれの記号の起源についての基本文献。この章のほとんどの年代は、この本で確かめられる。 Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. この本と同じテーマを、わかりやすく書いた歴史。 Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers. London: Harvill Press, 1998. 記数法とゼロについて。 Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. ディオファントスからヴィエトへの移り変わりについて。 Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics. 第 3 版. Hoboken: Wiley, 2011. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. 四元数とベクトルの争いについて。 Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. サインと三角法の名前の歴史について。 Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. バークリー、コーシー、極限について。 Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 1990 年代から更新されているページで、それぞれの記号の知られているかぎり最初の使用例がわかる。 MacTutor 数学史アーカイブ、セント・アンドルーズ大学：アル＝フワーリズミー、フィボナッチ、レコード、ヴィエト、ハリオット、オートレッド、ケイリー、ブール、フレーゲ、ペアノの伝記。 このサイトの以前の記事のうち、幾何学、三角法、平方根、二次方程式、対数、導関数、連鎖律、積分、極限、関数、微分方程式、群、行列、ベクトル、四元数についての記事が、この章を書き直す土台になりました。radix quadrati の話、平方完成の図、ラテン語で書いたピタゴラスの定理、斜辺や分・秒の語源、$\Sigma$ から $\int$ への移行、$1=2$ の証明、フックの法則、「熱のカノン」と誤差の伝わり方、logarithmus から $\log$ への略記、導関数と関数の語源、穴のあいた文として関数を読むこと、三角形の動きの群の九九表、四元数とベクトルの争い、そして生きた記法と不毛な記法という考えは、それらの記事から来ています。

October 13, 2026 読んだ
Hero Image
+、−、×、=：記号の小さな歴史

数学でいちばん単純な記号は、いちばん若い記号でもあります。ユークリッドは $+$ を一度も書きませんでした。アル＝フワーリズミーは $=$ を一度も書きませんでした。すでに文字を使っていたヴィエトでさえ、aequatur（等しい）を略さずに書いていました。子どもが小学校一年で習う演算記号のほとんどは、15 世紀末から 17 世紀末までの約二百年のあいだに、ヨーロッパで生まれたのです。 1489ヨハネス・ヴィトマンが、ライプツィヒの商業算術の本で $+$ と $-$ を印刷する。 1525クリストフ・ルドルフが、代数の本『コス』で平方根に $\surd$ を使う。 1557ロバート・レコードが『知恵の砥石』で $=$ を考案する。 1591フランソワ・ヴィエトが、既知の量にも未知の量にも文字を使う。 1631ウィリアム・オートレッドがかけ算に $\times$ を使う。同じ年、トマス・ハリオットの遺作が出版され、$<$ と $>$ が現れる。 1637ルネ・デカルトが累乗を指数で書く：$x^3$、$x^4$。 1659ヨハン・ラーンがわり算に $\div$ を使う。 1698ライプニッツが、$\times$ と文字 $x$ を混同しないよう、かけ算に点 $\cdot$ を提案する。 プラスとマイナス：倉庫の目印 $+$ と $-$ がはじめて印刷物に登場するのは 1489 年、ヨハネス・ヴィトマンが商人のために書いた算術の手引き書です。そこではまだ演算というより、超過と不足の目印でした。商品の箱が決められた重さより重ければ $+$、軽ければ $-$ と書かれたのです。もっとも有力な説は、$+$ がラテン語の et（「と」）の略記で、急いで書くうちに十字になった、というものです。 それ以前のイタリアでは、$\bar{p}$（plus）と $\bar{m}$（minus）と書いていました。上に線を引いたこれらの文字は、ドイツの記号と百年以上も共存しました。 等号：双子の平行線 ロバート・レコードはロンドンの医師で、ほとんどすべてがラテン語で書かれていた時代に、英語で数学の本を書いていました。1557 年、『知恵の砥石』（The Whetstone of Witte）の中で、毎行 is equalle to（は等しい）と書くのにうんざりした彼は、こう説明しています。 『知恵の砥石』（1557）で、レコードが等号を紹介している箇所。平行線の長さに注目。ロバート・レコード · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 「は等しい」という言葉を何度も繰り返すわずらわしさを避けるため、私は仕事でよくやるように、一組の平行線、つまり同じ長さの双子の線を、このように置くことにする：═══。二つのものが、これ以上等しくあることはできないのだから。 — ロバート・レコード『知恵の砥石』（1557） レコードの理由は記号論的な理由であり、しかもよい理由です。この記号は、それが表すものに似ているのです。まったく同じ二本の線が、等しさという考えそのものを描いています。彼はすぐあとに、新しい記号を使った最初の方程式を書いています。 等号を使った最初の方程式。今なら 14x + 15 = 71 と書く。14 のすぐあとの記号は、レコードが未知数（「根」）を表すのに使った記号で、ϑ はふつうの数を示す。ロバート・レコード、1557 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン レコードの記号が勝つまでには長い時間がかかりました。八十年後のデカルトもまだ別の記号を使っていましたし、大陸では $=$ が差や平行を表すのに使われたこともありました。ライプニッツとその追随者たちが採用した 1700 年ごろになって、ようやく標準になったのです。

October 13, 2026 読んだ
Hero Image
ゼロと位取り：計算できる数字

$\text{XLVII}$ に $\text{XII}$ をかけてみてください。私たちの数字に直さずに、です。 どこから手をつければいいのかさえわかりません。$\text{XLVII}$ の $\text{X}$ は十ですが、$\text{L}$ の前にあるので引き算になり、$\text{XL}=40$ です。$\text{V}$ はどこにあっても五です。一の位の列も十の位の列もなく、それぞれの記号が、自分の形に値をぶらさげています。同じ計算を $47\times 12$ と書けば、二行で終わります。 $$47\times 12 = 47\times 10 + 47\times 2 = 470 + 94 = 564.$$答えはローマ数字で $\text{DLXIV}$ です。ローマ人が計算下手だったわけではありません。彼らは単に数字そのもので計算しなかったのです。計算はそろばんや線を引いた台の上の小石で行い、数字は結果を書きとめるためだけに使いました。小石はラテン語で calculus といいます。英語の calculation（計算）はここから来ています。 数字の値は位置で決まる 私たちが使っているのは位取りの仕組みです。同じ形でも、置かれた位置によって値が変わります。$205$ の $2$ は二百、$25$ の $2$ は二十、$2$ の $2$ は二です。 ゼロが十の位を守っている。ゼロがなければ、205 は 25 になってしまう。この本のために作成した説明図。 記号論のことばで言えば、数字 $2$ 単独では不完全な記号です。その意味を完成させるのは位置であり、ある位が空のとき、その位置を守るのがゼロです。$205$ のような書き方の値は、三つの形のどれかにあるのではなく、それらを組み立てる規則の中にあります。 $$205 = 2\cdot 10^2 + 0\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0.$$だから位取り記数法は、生きた記法の完璧な例なのです。学校で習うたし算・ひき算・かけ算・わり算の規則（「くり上がり」「くり下がり」）は、この書き方が一の位の下に一の位を、十の位の下に十の位をそろえるからこそ存在します。計算は、そろばんなしで、紙の上そのもので行われるのです。 ゼロまでの長い旅 バビロニア人は紀元前 1800 年ごろには、すでに 60 進法の位取りで数を書いていました（1 時間が 60 分なのはそのためです）。けれども何世紀ものあいだ、空いた位を表す記号がありませんでした。$1$ と $60$ が同じ見た目になることもあり、読む人は文脈から推測していました。数の途中の空きを示す区切りの記号が粘土板に現れるのは、紀元前 300 年ごろになってからです。世界の反対側では、マヤの人々も貝殻のような形のゼロにたどりついていました。

October 13, 2026 読んだ
Hero Image
ラディクス・クアドラティ：数学にも書き方がある

生徒に「9 の平方根は？」と聞けば、たいてい「3」と答えるでしょう。では、なぜ「根」と呼ぶのか、なぜ「平方」なのかと聞くと、話はたいていそこで終わってしまいます。名前は中身のないラベルになり、記号 $\sqrt{\phantom{9}}$ は、数から何かを「引き抜く」奇妙なかぎ形になってしまいました。 けれども、この名前はかつて物語のすべてを語っていました。ギリシアの幾何学者は、求める数をただ辺（pleurá）と呼んでいました。面積 9 の正方形の辺は 3 です。アラビアの代数学者はそれを、正方形が「生えてくる」根という意味で jidhr と呼び、中世のラテン語訳者は radix と書きました。たとえば次の文は、 $$\textit{radix quadrati 4 aequalis 2}$$何の謎もなく、こう言っていたのです。面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい。 面積 1 の小さな正方形 9 個で、辺が 3 の正方形ができる。9 の平方根は、この正方形の辺である。この本のために作成した説明図。 ラテン語からかぎ形へ ある日だれかが、文を記号に置きかえようと決めたわけではありません。計算を手で写す人たちは、いちばんよく繰り返す言葉を略し、その略記は世代ごとに短くなっていきました。次の流れは模式的なものですが、中世の写本から 16 世紀の印刷本までに書き方がたどった道筋に沿っています。 radix quadrati が √ になるまで（クリックで進む） radix quadrati 4 aequalis 2：「面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい」。 rad. quad. 4 aeq. 2：写字生が、よく繰り返す言葉を略す。 R. q. 4 aeq. 2：ほとんど R の字だけが残る。16 世紀のカルダーノやボンベリもまだこれを使っていた。 $r\,4 = 2$：ドイツ語の文献では、引きのばした小文字の r が根を表す。 $\sqrt{4}=2$：r の線がのびて数を「のみこむ」。1525 年にクリストフ・ルドルフがこの記号を印刷し、1637 年にデカルトが、根号の中の数をおおう横線を加えた。 記号は速さを手に入れ、記憶を失いました。今日 $\sqrt{4}$ を読む人には、もう正方形は見えません。だから、生徒が「$\sqrt{4}$ は $2$ なのか $-2$ なのか」とたずねたとき、いちばんはっきりした答えは古い名前から出てきます。辺の長さが負になることはありません。$\sqrt{a}$ はつねに負でない値を表す、という現代の約束は、記号が忘れてしまった幾何学の直接の遺産なのです。

October 13, 2026 読んだ