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ラグランジュの未定乗数：制約つきの最適化

現実の決定のほとんどは、制約つきの最大・最小問題です。工場は最大の利益をあげたいが、原料の量にはかぎりがある。缶は 350 ml を入れながら、アルミニウムをできるだけ使いたくない。振り子は、おもりが糸につながっているかぎり、好きなように動く。ラグランジュは、こうした問題すべてに通用する一つの方法を見つけました。それは 1788 年の『解析力学』に、力学系の束縛をあつかうために登場し、1797 年の『解析関数論』に、計算の一般的な規則として登場します。 囲い ギリシア人もすでに解けた問題から始めましょう。20 メートルの柵で、いちばん面積の大きい長方形はどれでしょうか。辺を $x$、$y$ とすると、 $$f(x,y)=xy\qquad\text{を制約}\qquad g(x,y)=x+y=10$$のもとで最大にしたいのです。ここでは $y=10-x$ と解いて $x(10-x)$ を最大にするのはかんたんです。けれども多くの問題では、制約は複雑な方程式で、何も解き出せません。ラグランジュは、そうする必要がまったくない方法をほしがっていました。 新しい文字 ラグランジュのレシピは、今日 $\lambda$ と呼ばれる新しい未知数、乗数を加え、$f$ の導関数が $g$ の導関数に比例することを要求するものです。 $$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$囲いの場合、$\frac{\partial f}{\partial x}=y$、$\frac{\partial f}{\partial y}=x$ で、$g$ の導関数はどちらも $1$ です。方程式は $$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10$$となり、$x=y=5$。最良の長方形は 5 × 5 の正方形で、面積は 25 m² です。何も解き出す必要はありませんでした。制約は方程式が一つ増える形で、$\lambda$ は未知数が一つ増える形で入ってきたのです。 なぜうまくいくのか 下の図は、面積 $xy$ が一定の値 9、16、25、36 になる曲線と、制約の直線 $x+y=10$ を示しています。直線にそって進むと、面積がだんだん大きい曲線を通り、面積 25 の曲線までいきます。そこを過ぎると、面積はまた小さくなります。面積 36 の曲線は直線にふれることさえありません。 最適な点では、制約の直線と面積 25 の曲線が交わらずにふれ合う。つまり接している。Euler’s Eyes 作図 最適な点では、直線と最大面積の曲線は接しています。もし交わっていたら、直線にそってもう少し進み、もっと面積の大きい曲線に入れるはずです。接している曲線は同じ向きをもつので、そこでは $f$ と $g$ の導関数が比例します。乗数 $\lambda$ はその比例の係数なのです。

October 14, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを使い、大きなものは幅 1 200 ピクセルに縮小しましたが、それ以外の編集はしていません。 1921 年のアインシュタインの肖像、おそらく Herman Mishkin 撮影、ノーベル財団が使用：元のページ · パブリックドメイン。 1904 年ごろ、ベルンのアインシュタイン、Lucien Chavan 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 国立博物館のアインシュタイン、リオデジャネイロ、1925 年 5 月 7 日、作者不明：元のページ · パブリックドメイン。 リオデジャネイロ植物園のアインシュタイン、1925 年 5 月、作者不明：元のページ · パブリックドメイン。 ソブラルの観測隊の機器、1919 年、Charles Davidson 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 1919 年の日食の乾板、ダイソン、エディントン、デイヴィッドソンの報告より：元のページ · パブリックドメイン。 ブログの図 表紙、光時計の図、2 000 歩のランダムウォークは、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。光時計の図は、このサイトの旧相対性理論講座の図をもとに描きなおしたもので、宇宙飛行士と宇宙線の粒子の例もその講座から来ています。ランダムウォークは、方向をでたらめに選んでコンピュータで生成しました。 記録 ファイル data/einstein_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 アルベルト・アインシュタインの全トピック · ← アルベルト・アインシュタインの遺産

October 14, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ヨハン・ベルヌーイの肖像、アムステルダム国立美術館所蔵の版画：元のページ · CC0。 ギヨーム・ド・ロピタルの肖像：元のページ · パブリックドメイン。 『無限小解析』の扉、パリ、1696 年：元のページ · パブリックドメイン。 ダニエル・ベルヌーイの肖像、Johann Rudolf Huber の原画による Johann Jakob Haid の版画：元のページ · パブリックドメイン。 鎖とアーチ、ジョヴァンニ・ポレーニの図、Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano、1748 年：元のページ · パブリックドメイン。 ブログの図 表紙と、同じ二点を結ぶサイクロイドと直線の図は、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。図は縮尺どおりで、二つの軸は同じ単位を使っています。遺産の記事にある関数の記号の表は、このサイトの旧関数講座の表をもとに作りなおしたものです。 記録 ファイル data/johann_bernoulli_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ヨハン・ベルヌーイの全トピック · ← ヨハン・ベルヌーイの遺産

October 14, 2026 読んだ
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第五公準とほかの幾何学

私は無から、奇妙な新しい宇宙をつくりだしました。 — ボヤイ・ヤーノシュ、父への手紙（1823 年 11 月 3 日） ユークリッドの最初の四つの公準は短く、明らかです。直線を引く、それを延ばす、円を描く、すべての直角は等しい。五つ目はちがいます。 一本の直線が二本の直線と交わり、同じ側の内角の和が二直角より小さいならば、その二本の直線を限りなく延長すると、その側で交わる。 長いうえに、だれにも確かめられないことを語っています。限りなく 延ばした二本の直線がどうなるか、です。ユークリッド自身もこれを疑わしく思っていたようで、できるかぎり使うのを避け、命題 I.29 になってはじめて使っています。 プレイフェアの形 もっと覚えやすい形があり、1795 年にスコットランドのジョン・プレイフェアが広めました。直線の外の一点を通って、その直線に平行な直線はただ一本ある。ほかの公準のもとでは、二つの形は同値です。一方を認める人は、もう一方も認めなければなりません。 三角形の角 第五公準の最も有名な帰結は命題 I.32、三角形の内角の和は二直角、つまり $180°$ に等しい です。このサイトの旧三角法講座は、これを第一の「規範」と呼んでいました。 $$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$証明はこうです。三角形 $ABC$ の頂点 $C$ を通って、底辺 $AB$ に平行な線を引きます。この平行線が辺 $CA$、$CB$ となす角は、錯角 なので、三角形の角 $\alpha$ と $\beta$ に等しくなります（I.29）。角 $\gamma$ とあわせて、三つの角は平行線の上にならび、平角 $180°$ をつくります。錯角が等しいという段階こそ、第五公準が入ってくるところです。 二千年の証明の試み 二千年のあいだ、数学者たちは、第五公準は公準ではなく定理であるべきだ、ほかの四つから証明できるはずだ、と考えていました。プトレマイオス、プロクロス、ペルシャのウマル・ハイヤーム、同じくペルシャのナスィールッディーン・トゥースィー、イギリスのジョン・ウォリスが挑みましたが、みな失敗しました。どの「証明」も、どこかに公準そのものと同値な仮定を隠しもっていたのです。 1733 年、イエズス会の司祭ジローラモ・サッケーリは別の道を試しました。公準が まちがっている と仮定して、矛盾にいたろうとしたのです。彼は、角の和が $180°$ より小さい三角形など、奇妙な定理を何十も導きました。矛盾はひとつも見つかりませんでしたが、矛盾は必ずあるはずだと信じていた彼は、その結果を「直線の本性に反する」と宣言し、『あらゆる汚点から清められたユークリッド』という題で本を出しました。発見まであと一歩だったのに、それが見えなかったのです。 新しい幾何学 十九世紀のはじめ、三人がそれぞれ独立に、欠けていた一歩を踏みだしました。第五公準のない幾何学も ユークリッドの幾何学と同じくらい矛盾がない と認めることです。ガウスは 1820 年ごろそこにたどりつきましたが、反響をおそれて発表しませんでした。ロシアのニコライ・ロバチェフスキーは 1829 年、カザン大学の雑誌に発表しました。数学者の息子だったハンガリーのボヤイ・ヤーノシュは、1832 年、父の本の付録として発表しました。 ボヤイの父ファルカシュは、生涯をかけて第五公準を証明しようとしていました。息子が同じ道を進んでいると知ると、あきらめてくれと頼む手紙を書きました。「後生だから、平行線のことはほうっておきなさい。みだらな情熱のように忌みきらいなさい。それはおまえの時間も、健康も、心の平安も、人生の幸福も、すべて奪いかねないのだから」。ヤーノシュはあきらめず、1823 年、この記事の冒頭の言葉で返事をしました。 この 双曲幾何学 では、直線の外の一点を通る平行線は 無限に あり、三角形の角の和はいつも $180°$ より 小さく なります。三角形が大きいほど、和は小さくなります。 球面の幾何学 反対の場合もあります。球の表面では、「直線」つまり最短の道は、赤道や子午線のような 大円 です。二つの大円はいつも交わるので、平行線はありません。赤道と、北極から $90°$ 離れて出る二本の子午線でできる三角形を考えましょう。三つの角はどれも直角で、和は

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの原理：水で力を何倍にもする

ゾウとハイヒールをはいた女性。やわらかい地面に深く沈むのはどちらでしょうか。女性のほうかもしれません。ゾウは五十倍も重いのですが、その重さは四本の大きな足に広がっています。女性の重さは、細いヒールの先に集中しています。 地面を沈ませるのは力ではなく圧力です。圧力とは、力をそれがかかる面積で割ったものです。 $$p=\frac FA.$$圧力の単位はパスカルです。$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$、つまり 1 ニュートンの力が 1 平方メートルに広がった圧力です。これはとても小さな圧力で、海面での大気の圧力は約 $100\,000$ Pa です。 液体についての論文 1653 年ごろ、パスカルは『流体の平衡について』を書きました。出版されたのは彼の死後の 1663 年です。そこには、今日パスカルの原理と呼ばれる規則が書かれています。 閉じこめられて静止している液体の一点に加えられた圧力の増加は、液体のすべての点と容器の壁に、等しく伝わる。 歯みがきのチューブの真ん中を押すと、口から中身が出てきます。指の圧力がそこまで届いたのです。風船に水を入れ、何か所か穴をあけて押すと、すべての穴から、あらゆる方向に水が噴き出します。 破裂した樽 パスカルが有名な実演をしたという話があります。水をいっぱいに入れてしっかり閉じた樽のふたに、高さ約 10 メートルの細くて長い管を差し込みました。バルコニーに上がって管に水を注ぐと、1 リットルあまりで樽が破裂したというのです。 この場面が本当にそのとおりだったかはわかりませんが、計算するとありえたことがわかります。高さ $h$ の液柱の底での圧力は $$p=\rho gh,$$です。$\rho$ は液体の密度、$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ です。高さ 10 メートルの水なら、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ として $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$大事なのは水柱の高さで、水の量ではありません。管の断面積が $1\ \text{cm}^2$ なら、10 メートルの水はたった $1$ リットルです。ところが、この $98\,000$ Pa は樽のふた全体に伝わります。ふたの面積が $0.2\ \text{m}^2$ なら、ふたにかかる力は $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$2 トンのものの重さに相当します。細い管の中のたった 1 リットルの水が、自動車が載っているような力でふたを押すのです。 水圧機 パスカルは、この原理を使えば力を何倍にもできることに気づきました。水を満たした二つの円筒が底でつながり、それぞれピストンでふさがれているとします。一方は細く、もう一方は太い。細いピストンを力 $F_1$ で押すと、圧力は $F_1/A_1$ だけ増え、その同じ増加が太いピストンに伝わります。 $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 小さなピストンを押す一人の人は、百倍広いピストンを押す百人の人の力に等しくなる。 — ブレーズ・パスカル『流体の平衡について』 小さいほうの面積が $2\ \text{cm}^2$、大きいほうが $8\ \text{cm}^2$ なら、比は $4$ です。小さいピストンに $50$ N の力をかけると、大きいピストンでは $200$ N になります。車を持ち上げる油圧ジャッキも、足一本の力で車を止めるブレーキも、ショベルカーも、この仕組みで動いています。

October 11, 2026 読んだ
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無限降下法：より小さな解が矛盾を導く

各段に正の整数が書かれた階段を想像してください。下りていくことはできます。10、7、4、2、1……でもいつかは階段が終わります。どんどん小さくなる正の整数の無限の列は存在しません。 当たり前に思えます。フェルマーはこの当たり前のことを、数論でもっとも強力な道具の一つに変えました。無限降下法です。 使い方 ある方程式が正の整数の解をもたないことを証明するには、 解があると仮定する。 そこから、やはり正の整数で、しかもより小さい、別の解を作る。 くり返す。新しい解からさらに小さな解が得られ、それが永遠に続く。 これは不可能である。正の整数の階段には終わりがあるからだ。したがって、1 の解は存在しなかった。 フェルマーはこの方法を誇りにしていました。1659 年、数学者ピエール・ド・カルカヴィへの手紙で、数についての結果のほとんどはこの方法で証明したと述べています。 例：2 の平方根 $\sqrt2$ が分数でないことは、ギリシア人がすでに知っていました。無限降下法を使うと、短く美しい証明が得られます。 $\sqrt2=\dfrac ab$（$a$、$b$ は正の整数）と仮定します。2 乗すると、 $$a^2=2b^2.$$右辺は偶数なので、$a^2$ は偶数です。奇数の 2 乗は奇数なので、$a$ は偶数でなければなりません。$a=2c$ とおいて代入すると、 $$4c^2=2b^2\qquad\Longrightarrow\qquad b^2=2c^2.$$何が起きたか見てください。$(b,c)$ は $(a,b)$ と同じ方程式を満たしています。つまり $\sqrt2=\dfrac bc$。しかもこの新しい分数の数はより小さい。$a^2=2b^2<4b^2$ なので $a<2b$、したがって $c=\dfrac a2

October 11, 2026 読んだ
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カルクレムス：推論を計算するという考え

私たちの推論を正す唯一の方法は、それを数学者の推論のように手でつかめるものにして、誤りが一目でわかるようにすることである。そして人々の間で論争が起きたときには、ただこう言えばよい。計算しよう！ と。そうすれば、それ以上の手間なしに、どちらが正しいかがわかる。 — ライプニッツ『発見の技法』（1685） ライプニッツは法律家であり、外交官であり、哲学者でした。宗教の間、国の間、哲学の学派の間で、決して終わらない議論を一生見てきました。一方、数学者は $2+2$ が 4 かどうかで議論しません。計算するだけです。もし推論も、数のように計算できたら？ 思考のアルファベット 計画は二つの部分からなっていました。 一つ目は普遍言語で、ライプニッツはそれを characteristica universalis（普遍記号法）と呼びました。そこでは単純な観念がそれぞれ記号をもち、複雑な観念は、単語が文字の組み合わせであるように、それらの記号の組み合わせになります。ライプニッツはこれを 20 歳のとき、1666 年の『結合法論』で考え始めていました。 二つ目は推論計算、calculus ratiocinator です。記号を操作して、足し算をするように機械的に正しい結論を導くための規則です。そんな世界では、議論は紙と鉛筆で決着がつくでしょう。 素数としての概念 ライプニッツは実際に、数を使った方式を試しました。考え方はこうです。単純な概念それぞれに素数を割り当て、複合的な概念には、その部分の素数の積を割り当てる。 たとえば古典的な定義では「人間は理性的な動物である」。動物 $=2$、理性的 $=3$ とすれば、人間 $=2\times3=6$ です。 すると「すべての人間は動物である」という文は算術の問題になります。2 は 6 を割り切るか？ 割り切るので、この文は真。では「すべての動物は人間である」は？ 6 は 2 を割り切るか？ 割り切らないので偽。概念についての推論が、割り算の問題になったのです。 この方式には深刻な問題がありました。否定や「ある〜は」という文をうまく扱えなかったのです。ライプニッツはそれを知っていて、別の形も試し続けました。しかし中心となる考え、論理は代数になりうるという考えは、すでに打ち出されていました。 今日の記号での例 今日、私たちは論理記号で推論を書きます。ある図形についての三つの命題を考えましょう。 $P$：その図形は正方形である。 $Q$：その図形は長方形である。 $R$：その図形の対角線は同じ長さである。 $P\Rightarrow Q$（すべての正方形は長方形）かつ $Q\Rightarrow R$（すべての長方形の対角線は等しい）なら、$P\Rightarrow R$。結論は議論の形から出てくるので、正方形について考える必要はありません。これこそライプニッツが望んだことです。記号だけを見て推論を確かめること。 しかし記号は奇跡を起こしません。前提がまちがっていれば、計算がどれほど正しくても結論はまちがいうるのです。また、含意を逆にするのはよくある誤りです。「すべての正方形は長方形である」から、すべての長方形が正方形であることは出てきません。 組み合わせることと解釈すること 三つの命題がそれぞれ真か偽なら、組み合わせは $2^3=8$ 通り。000、001、010、011、100、101、110、111。これは 0 から 7 までの二進法表記です。ライプニッツが感じとっていた論理と 0・1 の数との結びつきは、2 世紀後に中心的なものになります。 一部が実現した夢 ライプニッツの論理学の著作は、19 世紀までほとんどすべて未発表のままでした。それでも、この考えは戻ってきました。 1854 年、ジョージ・ブールは『思考の法則』を出版し、論理を 0 と 1 の代数に変えた。 1879 年、ゴットロープ・フレーゲは論理のための完全な記号言語を作った。それはライプニッツが思い描いたものにとても近かった。 1936 年、アラン・チューリングは、規則で記述されたどんな計算でも実行できる抽象的な機械を描いた。 しかし 1931 年、クルト・ゲーデルは、どんな規則の体系も数学のすべての真理を決定することはできないことを証明しました。ライプニッツの夢の全体は不可能なのです。それでも、その可能な部分はすべてのコンピュータの中にあります。規則に従って記号を操作する機械です。

October 11, 2026 読んだ
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光と色：プリズムは虹を作らない

ニュートンの時代にはすでに、太陽の光がガラスのプリズムを通ると色の帯ができることが知られていました。広く受け入れられていた説明はアリストテレスとデカルトに由来するもので、白い光は純粋であり、ガラスがそれを変化させ、少しずつ暗くするのだ、というものでした。変化が小さければ赤、大きければ青や紫になる、と。 ニュートンは疑いました。もしかすると色はもともと白い光の中にあって、プリズムはそれを分けているだけではないか？ 暗い部屋 1666 年、ニュートンは部屋を暗くし、窓の雨戸に小さな穴をあけて、細い太陽光線を入れました。その通り道にプリズムを置くと、反対側の壁に赤から紫までの色の帯が現れました。 最初の驚きはその形でした。穴は丸いので、「変化」説によれば丸い色のしみができるはずです。ところが帯は幅の 5 倍も長かったのです。ニュートンにとって、これは色ごとに曲がる角度が違うことを意味していました。紫がいちばん大きく、赤がいちばん小さく曲がるのです。 決定実験 これだけではまだ何も証明できません。プリズムが色を「作り」続けているのかもしれないからです。そこでニュートンは、彼が experimentum crucis、つまり決定実験と呼んだものを行いました。 板に穴をあけて、帯のうち一つの色、たとえば赤だけを通し、その光を2 つ目のプリズムに通しました。ガラスが色を作るのなら、2 つ目のプリズムは赤を新しい虹に変えるはずです。そうはなりませんでした。赤は赤のまま、ただ曲がって出てきただけで、しかもいつも同じ角度でした。青も同じで、曲がる角度が大きいだけでした。 結論：それぞれの色は白い光の成分であり、固有の屈折の度合いをもっている。プリズムは色を作るのではなく、分けるのだ。議論を完結させるため、ニュートンはレンズと 2 つ目のプリズムで色を再び集め、もう一度白い光を得ました。 説明図：プリズムは白い光にもともと含まれている色を分ける。線は色ごとの経路を示し、縮尺は正確ではない。ブログのオリジナル図版。 危険な実験 ニュートンは自分の体で視覚を調べました。ノートには、太い針を眼球と眼窩の骨の間に差し込み、目の奥を押して、現れる色の輪を観察したと書いています。別のときには鏡に映した太陽を長く見つめすぎて、視力が戻るまで何日も暗闇にこもらなければなりませんでした。決してまねしないでください。 屈折を数で表す 今日、屈折はスネルの法則で表されます。これはニュートン以前に発見されていました（イブン・サフル、スネル、デカルトがそれぞれ独立に到達）。 $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$角度は面に垂直な線（法線）から測り、$n$ は各媒質の屈折率です。今日の言葉で言えば、ニュートンの発見はガラスの屈折率が色によって違うということです。普通のガラスでは、赤に対して約 $1.51$、紫に対して約 $1.53$。差は小さくても、色を扇形に広げるには十分です。 たとえば、空気（$n_1=1$）から $\theta_1=45°$ でガラスに入る光線を考えます。赤では $\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.51}\approx0.468$ で $\theta_2\approx27.9°$、紫では $\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.53}\approx0.462$ で $\theta_2\approx27.5°$。プリズムの最初の面だけで、すでに 0.5 度の差がつきます。 なぜ七色なのか？ スペクトルは連続していて、色と色の間に自然な境目はありません。ニュートンははじめ五色を数えました。その後、音階の七つの音と対応させたくて、橙と藍を加えて七色にしたのです。今でも虹は七色だと言われるのはそのためです。 鏡の望遠鏡 ニュートンが 1668 年につくった最初の反射望遠鏡の複製。1924 年にロンドンの科学博物館のためにつくられた。Science Museum Group · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 この発見には実用的な結果がありました。当時の望遠鏡はレンズを使っていましたが、レンズもプリズムと同じように色ごとに光の曲げ方を変えます。星は縁に色がにじんでぼやけて見えました。ニュートンは、単純なレンズではこの問題を解決できないと結論し、主レンズをすべての色を同じように反射する曲面鏡に置き換えました。 1668 年、彼は金属の鏡を自分で磨いて、長さ約 15 cm の、実際に使える最初の反射望遠鏡を作りました。1671 年に王立協会で披露されたこの装置が、彼を有名にしました。ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡を含め、今日の大型望遠鏡は反射式です。

October 11, 2026 読んだ
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形態形成：ヒョウの斑点を方程式で

胚は、ほとんど同じ細胞のかたまりとして始まる。それなのに、最後には片手に五本の指ができ、シマウマには縞が、ヒョウには斑点ができる。はじめにすべてが一様なら、形はどこから来るのか。1952 年、発表した最後の大きな論文「形態形成の化学的基礎」で、チューリングは数学的な答えを提案した。生物学者がそれを確かめるには何十年もかかった。 二つの物質、二つの速さ 考え方は、チューリングがモルフォゲンと呼んだ二つの化学物質が組織の中を広がっていくところを想像することである。今日ではふつう次のように説明される。 活性化因子：自分自身の生成を促し、もう一方の生成も促す。 抑制因子：活性化因子を抑える。 二つは互いに反応し、拡散する。つまり、水に落としたインクのように、濃いところから薄いところへ広がる。決定的なのは、抑制因子のほうが活性化因子より速く広がることである。 ある一点に、たまたま活性化因子が少し多く現れたらどうなるかをたどってみよう。そこでは活性化因子も抑制因子もたくさんつくられる。遅い活性化因子はその場に集まったままでいる。速い抑制因子は両側へ逃げていき、近くにもう一つ活性化因子の山ができるのを妨げる。その結果、山のまわりに山のない帯ができ、その先にまた山、また帯と続く。間隔のそろった斑点や縞が、何もないところから生まれるのである。 計算 チューリングは方程式を書き、一様な状態の近くで線形化した。一直線に並んだ組織で、$u$ と $v$ を活性化因子と抑制因子のずれとすると、 $$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}&=a\,u+b\,v+D_u\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\\ \frac{\partial v}{\partial t}&=c\,u+d\,v+D_v\frac{\partial^2v}{\partial x^2}. \end{aligned}$$$a$、$b$、$c$、$d$ を含む項が反応、$D_u$ と $D_v$ を含む項が拡散である。波長 $\frac{2\pi}k$ の小さな波が育つか消えるかを見るために、$e^{\lambda t}\cos kx$ という形の解を試す。$q=k^2$ とおくと、行列 $$\begin{pmatrix}a-D_uq&b\\c&d-D_vq\end{pmatrix}$$が得られ、この行列の行列式が負になると波は育つ。 具体的な数をとろう。$a=1$、$b=-1$、$c=2$、$d=-1.5$。拡散がなければ（$q=0$）、行列式は $1\cdot(-1.5)-(-1)\cdot2=0.5>0$、トレースは $-0.5<0$ である。一様な状態は安定で、化学反応だけでは模様はまったく生まれない。 ここで拡散を入れ、抑制因子を 10 倍速くする。$D_u=1$、$D_v=10$ とすると、 $$\det(q)=(1-q)(-1.5-10q)+2=10q^2-8.5q+0.5.$$根は $q\approx0.064$ と $q\approx0.786$ である。そのあいだでは行列式は負になり、その波長の波は育つ。いちばん速いのは中央の $q=0.425$ で、波長は $\frac{2\pi}{\sqrt{0.425}}\approx9.6$ である。ふつうは違いをならしてしまう拡散が、ここでは違いを生み出す。だからこの現象は拡散誘導不安定性と呼ばれる。 反応拡散モデルの計算機シミュレーション。チューリングのモデルの親戚であるグレイ＝スコット・モデルを使っている。無作為に散らばった斑から出発して、反応の定数を二つ変えるだけで、同じ方程式が規則正しい斑点（左）や曲がりくねった縞（右）を生む。このサイトのために作成したシミュレーション · Euler’s Eyes 計算から動物へ (a) 1952 年にチューリングが計算した、細胞の環の上の模様。(b) マンチェスターの計算機で計算して得た、平らな組織の上の斑点。(c) チーターの毛皮。Philip Ball · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 チューリングは計算の一部をマンチェスターの計算機で行い、得られた模様の一つは、ある種の動物に似た不規則なまだら模様だった。どの物質がモルフォゲンなのかを彼は知らず、当時の生物学には確かめる手段がなかった。この考えは何十年も、ほとんど忘れられていた。

October 16, 2026 読んだ
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ソフィー・ジェルマンの画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取得しました。コモンズが提供する縮小画像を使い、肖像は PNG から JPEG に変換しただけです。 ソフィー・ジェルマンの肖像、彼女を記念するメダルをベルト・シェガレが描いた素描、1896 年発表：出典ページ · パブリックドメイン。 『弾性曲面の理論についての研究』の図、ソフィー・ジェルマン、1821 年、チューリッヒ工科大学図書館所蔵本：出典ページ · パブリックドメイン。 弓で鳴らすクラドニ板、1879 年の版画：出典ページ · パブリックドメイン。 ペール・ラシェーズ墓地の墓、Pierre-Yves Beaudouin 撮影、2015 年：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図 表紙、正方形の板の節線、そして球面・円柱面・鞍形の面の曲率の図は、オリジナルの図です。節線は本文で説明した単純化したモデルで計算したもので、実際の板の写真を再現したものではありません。 記録 ファイル data/germain_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ソフィー・ジェルマンの全トピック · ← ソフィー・ジェルマンの遺産

October 14, 2026 読んだ
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ユークリッドの遺産

彼は下院議員になってから、ユークリッドの六巻を学び、ほぼものにした。 — エイブラハム・リンカーン、自伝的覚え書き（1860） 『原論』は、聖書についで、歴史上最も多く書き写され、訳され、印刷された本のひとつです。1482 年にヴェネツィアで最初の印刷版が出て以来、版は千を超えます。二千年以上のあいだ、「幾何学を学ぶ」とは「ユークリッドを学ぶ」ことでした。 1482 年にヴェネツィアでエアハルト・ラトドルトがつくった『原論』の最初の印刷版。ラテン語訳。図は本文のわきの余白にある。昔の読者がページを書きこみで埋めている。Folger Shakespeare Library · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 一冊の本の多くの顔 このサイトの旧三角法講座は、ユークリッドの見せ方を変えたいくつかの版を集めていました。 年 人物 版 1120 年ごろ バースのアデラード アラビア語からラテン語への翻訳 1482 エアハルト・ラトドルト 最初の印刷版、ヴェネツィア 1570 ヘンリー・ビリングズリー 最初の英訳。折ると立体になる紙の図つき 1607 マテオ・リッチと徐光啓 最初の六巻の中国語訳、北京 1698 ザムエル・ライヤー Euclides… mit algebraischen Zeichen、代数記号で書いたユークリッド 1847 オリヴァー・バーン The First Six Books of the Elements of Euclid、文字を色に置きかえた版 バーン の版は、これまでに印刷された最も美しい本のひとつです。「三角形 $ABC$」と書くかわりに、彼は三角形を黄、赤、青で描き、証明は小さな色つきの図の連なりになります。当時は売れませんでしたが、今では博物館の所蔵品であり、デザイナーたちのインスピレーションの源です。 ナスィールッディーン・トゥースィーの版による『原論』のアラビア語版。1594 年にローマで印刷された。ハーヴァード大学ホートン図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 方法 定理よりも大切だったのは 方法 でした。アイザック・ニュートンは『原論』にならって『プリンキピア』（1687）を書きました。定義、運動の法則と名づけた公理、そして一つひとつ証明される命題です。スピノザは『エチカ』（1677）を「幾何学的秩序にしたがって」書き、神と魂について定義と公理と命題を立てました。アメリカの独立宣言は、公理のように自明とされる真理から始まり、そこから独立の権利を導いています。

October 14, 2026 読んだ
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ラグランジュの遺産

ラグランジュは数学の諸科学にそびえる高いピラミッドである。 — ナポレオン・ボナパルト、同時代人の伝えるところによる ラグランジュは、パスカルのような早熟の天才の逸話も、オイラーほどの量の著作も残しませんでした。彼が残したのは別のもの、数学をするやり方です。ほかの人が図を描くところで、彼は計算しました。ほかの人が問題ごとに技法を見つけるところで、彼はすべての技法を説明する規則を探しました。彼のしたことのほとんどは、今も彼の名とともに教科書にのっています。オイラー＝ラグランジュ方程式、ラグランジアン、ラグランジュ点、ラグランジュの定理、ラグランジュの剰余項、ラグランジュの乗数。 ニュートンについて ラグランジュはだれよりもニュートンを尊敬していましたが、そこには隠そうとしない少しのうらやましさもまじっていました。伝記作者ドランブルは、彼がよく口にしていたことばを書きとめています。 ニュートンはかつて存在したもっとも偉大な天才であり、またもっとも幸運な人でもあった。世界の体系を打ち立てられるのは、ただ一度きりなのだから。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ドランブルによる（1814） メートルと 10 進法 1790 年からメートル法をつくった委員会で、ラグランジュはあらゆる単位の10 進の分割を支持し、約数の多い 12 進法を好む人びとに反対しました。12 の約数の多さはそれほど大事ではないことを示そうとして、なかば冗談に、素数である 11 を底にすることまで提案したといわれています。すべて 10 ずつに分けられるメートル、リットル、グラムには、彼の仕事も少しふくまれているのです。 点を通る多項式 1795 年、パリの高等師範学校の講義で、ラグランジュは与えられた点を通る多項式を求める公式を示しました。三点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ に対しては、 $$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$考えはかんたんです。それぞれの分数は自分の点では $1$、ほかの二点では $0$ になるので、$P(x_0)=y_0$、$P(x_1)=y_1$、$P(x_2)=y_2$ となります。イギリスのエドワード・ウェアリングが 1779 年にすでに同じ公式を発表しており、オイラーも知っていましたが、名前はラグランジュ補間として残りました。今日では電卓やコンピュータの数値計算法のなかに、さらには秘密を何人かに分けて預ける暗号の方法のなかにもあります。 残ったもの 物理学。 『解析力学』は力学を解析学の一分野にしました。相対性理論、量子力学、標準模型は、今もラグランジアン $L=T-V$ の形で書かれています。 変分法。 オイラーとともに、ラグランジュは最良の曲線を選ぶ数学をつくりました。光学からロケットの制御まで使われています。 天文学。 ラグランジュ点には宇宙望遠鏡がおかれ、何千ものトロヤ群小惑星がすみついています。 数論。 四平方定理は、ウェアリングの問題と、ルジャンドルやガウスが引きついだ二次形式の研究への道を開きました。 代数学。 根の置換についての考察は、ルフィニ、アーベル、ガロアの仕事と群論を準備しました。 解析学。 記号 $f'(x)$、導関数ということば、平均値の定理、ラグランジュの剰余項は、どの微積分の授業にも出てきます。 ラグランジュが生まれた町トリノにある彼の像。Twice25 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 あちこちに残る名前 ラグランジュはパリのパンテオンに葬られており、その名はエッフェル塔に刻まれた 72 人の名の一つです。トリノには彼の名のついた広場と通りと像があり、イタリアとフランスは、彼がイタリアの数学者なのかフランスの数学者なのか、今も言い合っています。月にはラグランジュというクレーターがあります。彼が 28 歳のときにその秤動を説明した、あの月です。そして 1006 Lagrangea という小惑星もあります。 イタリア人か、フランス人か？ ラグランジュはフランス系の家に生まれたトリノの人で、最初の論文はラテン語とイタリア語で、その後のほとんどはフランス語で書きました。イタリアで 30 年、プロイセンで 20 年、フランスで 26 年を過ごしています。イタリア人は彼をジュゼッペ・ルイージ・ラグランジャと呼び、フランス人はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュと呼びます。

October 14, 2026 読んだ