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シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配

シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。 この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。 彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） 第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目 ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。 そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。 そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。 正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって $$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。 $$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。 賭けているだけで気づけるか？ ほとんど無理です。49.1% と 50% の差はとても小さく、確実に気づくには何千回も賭ける必要があります。そのため歴史家たちは、ド・メレが疑ったのは財布ではなく計算のほうだったと考えています。正しいと信じていた二つの規則が違う答えを出したので、どちらが間違っているのかを知りたかったのです。

October 11, 2026 読んだ
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フェルマーの小定理：べきと余り

数 2 をどんどん大きなべきにしていきましょう。それぞれを 7 で割って、余りを書きとめます。 べき $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ 値 2 4 8 16 32 64 7 で割った余り 2 4 1 2 4 1 $2^6$ で余りは 1 になります。今度は 3 と素数 5 で試しましょう。$3^4=81$ は 5 で割ると 1 余ります。10 と素数 13 では、$10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$ も 13 で割ると 1 余ります。 偶然でしょうか？ いいえ。これがフェルマーの小定理です。 定理の内容 $p$ が素数で、$a$ が $p$ の倍数でない整数なら、$a^{p-1}$ を $p$ で割った余りは 1 である。1801 年にガウスが作った合同式の記号では、 $$a^{p-1}\equiv1\pmod p.$$「小」という名前は、最終定理と区別するためだけのものです。実際には、小定理のほうがずっと役に立ちます。 底 a： 素数 p： 235711131719232931 底と素数を選んでください。底が素数の倍数のときは、指数 p − 1 の形の前提が成り立ちません。 コントロールを使うには JavaScript を有効にしてください。例と証明は本文にもあります。

October 11, 2026 読んだ
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積分記号 ∫：和から累積へ

1675 年 10 月 29 日、ライプニッツはパリで面積の問題に取り組んでいました。それまで彼は、イタリアのカヴァリエリにならって、図形のすべての線の和を表すのに omn.（ラテン語 omnia「すべて」の略）と書いていました。ページの途中で、彼はこう書きました。 omn. のかわりに ∫ と書くと便利だろう。 — ライプニッツ、1675 年 10 月 29 日の手稿 記号 $\int$ は、summa（和）の頭文字である長い S です。当時、長い s は手書きではふつうの文字でした。それ以来、この記号が取って代わられたことは一度もありません。 薄切りを足し合わせる ライプニッツの考えは、領域をごく細い縦の薄切りに分けることでした。一枚一枚はほとんど高さ $y$、幅 $dx$ の長方形で、面積は $y\,dx$。全体の面積はすべての薄切りの和です。 $$\int y\,dx.$$この記号は一度にすべてを語ります。高さ（$y$）に微小な幅（$dx$）を掛けたものを全部足せ（$\int$）。和の範囲は下と上に書きます。$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ は $x=a$ から $x=b$ までの薄切りの和です。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 「積分」と名づけたのは誰？ ライプニッツは自分の発明を calculus summatorius、つまり和の計算と呼んでいました。積分（integral）という言葉は 1690 年のヤコブ・ベルヌーイの論文に現れました。ライプニッツとヨハン・ベルヌーイはどちらの名前を使うか話し合い、最終的に「積分」に落ち着きましたが、記号はライプニッツの S のままでした。 差を足し合わせると全体に戻る 伝記で紹介した、ホイヘンスがライプニッツに出した問題を覚えていますか？ そこでは差の和がほとんど打ち消し合いました。 $$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$ある量の小さな変化をすべて足し合わせると、残るのは全体の変化、つまり最後の値から最初の値を引いたものだけです。ライプニッツは、無限に小さな差でも同じことが起こると気づきました。$dF=f(x)\,dx$ なら、 $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$言いかえれば、$\int$ と $d$ は互いを打ち消し合うのです。足し算と引き算のように。これが微積分の基本定理を、もっとも短く書いたものです。ニュートンは流率の道を通って同じ結論に達しました。

October 11, 2026 読んだ
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面積と積分：流率の逆の道

曲線で囲まれた図形の面積を測ることは、数学でもっとも古い問題の一つです。紀元前 250 年ごろ、アルキメデスは放物線の切片の面積が、その中に描いた三角形の面積の $\frac43$ であることを示しました。天才的な成果ですが、いわばオーダーメイドで、新しい曲線ごとに新しいアイデアが必要でした。 17 世紀には、フェルマー、カヴァリエリ、ウォリスらが、多くの $n$ について $y=x^n$ の下の面積をすでに計算できました。欠けていたのは一般的な規則です。そしてもう一つ欠けていたのが、ニュートンとライプニッツがそれぞれのやり方でたどり着いた洞察でした。面積を求めることと変化率を求めることは、互いに逆の操作である。 面積は増えていく量 曲線 $y=f(x)$ の下で、$0$ からある点 $x$ までの面積を考え、$A(x)$ と書きます。右端を $x$ から $x+h$ まで押し広げると、面積は細い帯の分だけ増えます。 この帯はほとんど高さ $f(x)$、幅 $h$ の長方形です。したがって $$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$帯が細いほど近似はよくなります。極限をとると、 $$A'(x)=f(x).$$ニュートンの言葉で言えば、面積の流率は曲線の高さです。面積は、高さが与える速さでちょうど増えていきます。面積を求めるには、流率が $f$ になる関数を見つければよい。つまり逆向きにたどればよいのです。 厳密にするには、帯を二つの長方形ではさみます。一つはその区間での $f$ の最小の高さ、もう一つは最大の高さをもつ長方形です。$f$ が連続なら、$h\to0$ のときどちらの高さも $f(x)$ に近づき、帯はその間にはさみ込まれます。 『解析について』の規則 1669 年、ニュートンは『解析について』（De analysi）という短い論文を書きました。その第一の規則は、今日の記号で言えば、$y=ax^{m/n}$ の下で $0$ から $x$ までの面積が $$\frac{an}{m+n}\,x^{(m+n)/n}$$であるというものです。複雑に見えますが、おなじみの規則です。$x^k$ の下の面積は $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$。たとえば $y=x^2$ の $0$ から $2$ まででは、 $$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$アルキメデスなら、この数にたどり着くのに一つの証明がまるごと必要でした。この規則なら 1 行です。 面積としての対数 この規則を一般化された二項式と組み合わせて、ニュートンは誰も計算できなかった面積を求めました。双曲線 $y=\dfrac{1}{1+x}$ はべきの和になります。 $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$あとは各べきの下の面積を項ごとに求めるだけです。 $$\int_0^x\frac{dt}{1+t}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$この面積が自然対数 $\ln(1+x)$ です。$x=0.1$ とすると、4 項で $0.0953083$、正しい値は $0.0953102$ です。

October 11, 2026 読んだ
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万能機械：プログラムもデータである

どのチューリング機械も一つのことしかしない。1 を足す機械は 1 を足し、$\frac17$ を書く機械は $\frac17$ を書く。別の計算をするには別の機械が要る。1936 年には、それが当たり前だった。機械式計算機も、パンチカードの集計機も、潮汐予測機も一つの仕事のためにつくられ、仕事を変えるには機械を替えるか配線をし直すしかなかった。 同じ論文で、チューリングはその必要がないことを示した。 機械を読む機械 どんな機械の規則の表も、文章としてテープに書くことができる。そこでチューリングは特別な機械 $U$、万能機械を記述した。$U$ は次のように動く。 テープの上で、機械 $M$ の記述と、そのあとに続く入力 $x$ を受け取る。 記述の中から、$M$ の現在の状態と、$M$ が読んでいるはずの記号に対応する規則を探す。 テープのうち $M$ のテープを表す部分でその規則を実行し、新しい状態を書きとめて 2 に戻る。 こうして $U$ は、表さえ与えられれば、どんな機械でも一歩ずつまねする。記号で書けば、 $$U(\langle M\rangle,x)=M(x)\quad\text{すべての機械 }M\text{ とすべての入力 }x\text{ について}.$$代償は遅さである。$M$ の一歩ごとに、$U$ は探したり写したりするのに何歩もかかる。しかし $U$ が計算できるものは、すべての機械を合わせて計算できるものとちょうど同じである。 メモリの中のプログラム 実際上の帰結は、プログラム内蔵という考え方である。仕事ごとに機械をつくるかわりに、機械は一台だけつくり、仕事はデータとして、数を入れるのと同じメモリに入れる。仕事を変えることは、文章を変えることになる。携帯電話でアプリを開くときに起きているのはまさにそれである。装置はいつも同じで、変わるのはそれが読む記述のほうである。 さらに、プログラムがデータなら、プログラムがほかのプログラムを読み、書き、書き換えることもできる。コンパイラーやオペレーティングシステムがしているのはそれであり、ある意味では、停止問題の証明で自分自身の記述を受け取った機械 $D$ もそうである。 パイロット ACE。チューリングの設計を縮小した版で、国立物理学研究所でつくられ、1950 年に動きだした。現在はロンドンの科学博物館にある。Philafrenzy · Wikimedia Commons · CC BY 2.0 紙から金属へ 戦後の 1945 年から 1946 年にかけて、チューリングは国立物理学研究所で、プログラム内蔵式計算機 ACE（自動計算機関）の完全な設計を書いた。大胆な設計だった。水銀遅延線のメモリ、毎秒百万パルスの速さ、そして機械が自分の命令を書き換えるようにプログラムできるという考えまで含まれていた。官僚主義と技術者不足のせいで建造は遅れた。縮小版のパイロット ACE がようやく動いたのは 1950 年で、しばらくのあいだ世界で最も速い計算機の一つだった。 その間、マンチェスターでは、フレデリック・ウィリアムズとトム・キルバーンが、1948 年 6 月 21 日、ベビーというあだ名の機械で、電子メモリに保存した最初のプログラムを動かした。チューリングは数か月後にマンチェスターに来て、それに続く機械の仕事にかかわった。

October 16, 2026 読んだ
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ガロアの虚数：有限体

1830 年 6 月、18 歳のガロアは、パリの科学紀要に『数の理論について』という短い論文を発表しました。その中で彼は、有限個の数しかない世界のために新しい数を発明し、それを虚数と呼びました。一世紀以上のあいだ、この論文は珍品のように見えていました。今日、それはすべての携帯電話の中にあります。 余りで数える 時計の算術では、決まった数で割った余りだけを使って数えます。5 なら $0, 1, 2, 3, 4$ しかなく、計算は「一周して」戻ってきます。 $$3+4=7\equiv2,\qquad3\cdot4=12\equiv2\pmod5.$$5 を法とするかけ算の表を見てみましょう。 $\times$ 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 どの行にも 1 が現れます。つまり 0 でないどの数にも逆元があるのです：$2\cdot3\equiv1$、$4\cdot4\equiv1$。割り算ができます！ たった 5 個の数で、有理数と同じように四則演算がそろった完全な算術ができるのです。このような構造を体といいます。 6 ではうまくいきません。$2\cdot3=6\equiv0$ なので、2 は逆元をもてません。もし $2x\equiv1$ なら、3 をかけて $0\equiv3$ となってしまいます。$n$ で割った余りが体をつくるのは、$n$ が素数のとき、そしてそのときに限ります。 三つの数の世界の i 3 を法とすると $0, 1, 2$ しかありません。方程式 $x^2+1=0$、つまり $x^2\equiv2$ には解がありません：$0^2=0$、$1^2=1$、$2^2=4\equiv1$。実数で $x^2=-1$ に解がないのと同じ状況です。

October 15, 2026 読んだ
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ネイピアの骨：棒でかけ算をする

対数は天文学の大きな計算のためのものでした。ふだんの計算のために、ネイピアは別のものを発明し、亡くなった年の 1617 年に、小さな本『ラブドロギア』（Rabdologia）で発表しました。ギリシア語の rhabdos（棒）と lógos（計算）から来た名前で、棒による計算という意味です。 棒 一本一本の棒は「骨」とも呼ばれました。いちばん高価なものは象牙でできていたからです。上端に 0 から 9 までの数字が一つあり、その下に、斜線で区切られた九つの小さなます目に、その 1 倍から 9 倍までが書かれています。十の位は斜線の上、一の位は下です。たとえば 7 の棒には $0/7$、$1/4$、$2/1$、$2/8$、$3/5$、$4/2$、$4/9$、$5/6$、$6/3$ とあります。 ケンブリッジのウィップル博物館にある、17 世紀のネイピアの骨と箱。Marsupium · Wikimedia Commons · パブリックドメイン かけ算のしかた $425\times6$ を計算するには、4、2、5 の棒を並べて 6 行目を見ます。 $$4\times6=24\ \to\ 2/4,\qquad2\times6=12\ \to\ 1/2,\qquad5\times6=30\ \to\ 3/0.$$次に、右から左へ斜めに足します。最初の斜めの列には 0 しかありません。二つ目には 3 と 2 があり、5 になります。三つ目には 1 と 4 があり、5。最後の列には 2 だけです。結果は $$425\times6=2550.$$斜めの列は、ふつうのかけ算の「繰り上がり」を自動的にしてくれます。それぞれの積の十の位が、次の積の一の位と同じ斜めの列に入るからです。斜めの列の和が 9 を超えたら、足し算と同じように、超えた分を次の列に送ります。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 何桁もある乗数 $425\times36$ のように何桁もある数をかけるには、6 行目と 3 行目を一つずつ読み、位をそろえて足します。

October 15, 2026 読んだ
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定規とコンパスでレムニスケートを分ける

1694 年、ヤコブ・ベルヌーイは、横に寝かせた 8 の字の形の曲線を調べ、lemniscus、つまりリボン結びと名づけました。焦点を点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ にとると、それは二つの焦点までの距離の積が $\frac12$ になる点の集まりです。方程式は $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$で、極座標では $r^2=\cos2\theta$ です。一世紀半後、アーベルはこの曲線について、ユークリッドの本から出てきたような定理を証明しました。どんな数 $n$ なら、定規とコンパスだけでレムニスケートを長さの等しい $n$ 個の弧に分けられるのか。 ベルヌーイのレムニスケート r² = cos 2θ と、それを長さの等しい八つの弧に分ける七つの点。曲線は中心を二度通る。Euler’s Eyes 作図 弧の長さ まず、曲線の一部分の長さはいくらでしょうか。極座標では、小さな弧は $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$ を満たします。$r^2=\cos2\theta$ を微分すると、 $$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4}$$なので、$d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$ であり、 $$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$したがって、中心から、中心からの距離が $r$ の点までの弧の長さは $$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$これはレムニスケート積分で、レムニスケート正弦を定義するのと同じ積分です。言いかえれば、中心から弧に沿って $s$ の距離にあるレムニスケート上の点は、中心から $\operatorname{sl}(s)$ の距離にあります。レムニスケート正弦は、正弦が円に対してすることを、レムニスケートに対してするのです。中心から先端までの弧は $\frac\varpi2\approx1.3110$、曲線全体は $2\varpi\approx5.2441$ です。 1751 年のクリスマス 1718 年、イタリアの伯爵ジュリオ・ファニャーノは、レムニスケートの弧を定規とコンパスで2 倍にする方法を見つけました。ある弧が与えられたとき、その 2 倍の長さの弧を作図するのです。ほとんどだれも気にとめませんでした。1751 年 12 月 23 日、ベルリン科学アカデミーはファニャーノの著作をオイラーに渡し、意見を求めました。オイラーはそこにあるものをすぐに見抜き、ファニャーノの公式をこれらの積分の加法公式へと一般化しました。一世紀近くのち、ヤコビはその日を楕円関数の誕生日と呼びました。 八つに分ける ファニャーノの公式を、レムニスケート正弦で書きましょう。 $$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$曲線を八等分するには、中心から先端までの弧を二等分する点を見つければ十分です。先端は $r=1$ にあるので、$\operatorname{sl}(2u)=1$ となる $s=\operatorname{sl}(u)$ を探します。 $$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$両辺を 2 乗し、$w=s^2$ とおくと、

October 15, 2026 読んだ
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E = mc²：質量に隠れたエネルギー

電気力学の論文から、もうひとつの帰結が思いうかびました。相対性原理とマクスウェルの方程式から、質量は物体に含まれるエネルギーの直接の尺度でなければなりません。この考えはおもしろくて魅力的です。でも、神さまがこれを笑って、私をからかっているのかどうかはわかりません。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年夏） 1905 年 9 月、相対性理論の論文の三か月後、アインシュタインは『物理学年報』にわずか三ページの補足を送りました。題名は問いの形でした。「物体の慣性はそのエネルギー含量によるか？」。答えはイエスで、言葉とちがう文字で書かれたその結論が、物理学で最も有名な式です。 $$\boxed{E=mc^2.}$$簡単にした議論 アインシュタインは、止まっている物体が、同じ瞬間に、反対向きに二つの等しい光のパルスを出すところを考えました。それぞれのエネルギーは $\frac E2$ です。パルスは打ち消しあうので、物体は止まったままです。ここまではふしぎなことはありません。物体はエネルギー $E$ を失いました。 同じ場面を、小さな速さ $v$ で通りすぎる人が見るとします。この観測者にとって、物体は前もあとも同じ速さ $v$ で動いています。けれども相対性理論によれば、前に出た光は少しエネルギーが大きく、うしろに出た光は少し小さく見え、$v$ が小さいとき合計は $$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)$$になります。この観測者にとっても、全エネルギーは保存されなければなりません。物体は $E$ のほかに $E\frac{v^2}{2c^2}$ を余分に失っており、それは運動のエネルギー $\frac12mv^2$ から出たとしか考えられません。速さは変わっていないので、変わったのは 質量 です。 $$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$どんな形であれエネルギー $E$ を失った物体は、質量 $\frac E{c^2}$ を失います。アインシュタインは結論しました。「物体の質量はそのエネルギー含量の尺度である」。質量とは、たくわえられたエネルギーなのです。 それはどれくらいか 数 $c^2$ は巨大です。$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。だから小さな質量が莫大なエネルギーにあたります。たった 1 グラムで、 $$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$TNT 火薬約 2 万 1 千トン分のエネルギーで、広島の原爆より大きく、人口約 1 万人の町が一年に使う電気のすべてにあたります。 逆に、日常のエネルギーにあたる質量はばかばかしいほど小さなものです。1 リットルの水を 20 °C から 100 °C に温めると、水は約 335 000 J を得て、質量は $$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$およそ 10 億分の 4 グラム増えます。どんな秤も気づきません。だから何世紀ものあいだ、質量はぴったり保存されるように見えたのです。

October 14, 2026 読んだ
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ソフィー・ジェルマンの恒等式：素数に見えるものを因数分解する

素数に見えて、そうでない数があります。たとえば 629 は偶数でも、一の位が 5 でも、3 の倍数でもありません。けれども $629=5^4+4$ で、この形が正体をあかします。ソフィー・ジェルマンの名がついた恒等式で因数分解できるのです。 恒等式 どんな数 $a$、$b$ についても、 $$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$これを見つけるこつは、2 次方程式の解の公式のときと同じ、平方完成です。$a^4+4b^4$ は $a^2+2b^2$ の 2 乗にほとんど等しく、足りないのは真ん中の項 $4a^2b^2$ だけです。その項を足して引くと、 $$\begin{aligned}a^4+4b^4&=\left(a^4+4a^2b^2+4b^4\right)-4a^2b^2\\&=\left(a^2+2b^2\right)^2-(2ab)^2.\end{aligned}$$これで二つの平方の差になったので、$u^2-v^2=(u+v)(u-v)$ で仕上がりです。 例では $a=5$、$b=1$ として、 $$5^4+4=(25+2+10)(25+2-10)=37\cdot17=629.$$素数に見えたもの この恒等式は、無害に見える多くの数が合成数であることを一度に示します。たとえば $n>1$ なら $n^4+4$ はいつも合成数です。$a=n$、$b=1$ とすれば、二つの因数 $n^2+2n+2$ と $n^2-2n+2$ はどちらも 1 より大きいからです。$n=1$ だけは例外で、そのとき二つめの因数は $1$ になり、$1^4+4=5$ は素数です。 もっと意外な例は 2 のべきから出てきます。数 $2^{10}+1=1025$ は $1+4\cdot4^4$ と書けるので、$a=1$、$b=4$ として、 $$2^{10}+1=(1+32+8)(1+32-8)=41\cdot25.$$$2^{4k+2}+1$ の形の数に対するこの種の因数分解は、19 世紀に巨大な数を割るのに使われました。1869 年、フランスのフォルチュネ・ランドリーは 18 けたの数 $2^{58}+1$ を手計算で因数分解しました。まもなくレオン＝フランソワ＝アントワーヌ・オーリフイユは、ソフィー・ジェルマンの恒等式を使えば最初の分解が一行ですむことを示しました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 数学オリンピックの問題 ソフィー・ジェルマンの恒等式は、数学オリンピックでお気に入りの道具の一つです。$4^{545}+545^4$ は素数か、と問う古典的な問題があります。コンピュータなしでは答えられそうにありませんが、この恒等式を使えば、数行で素数でないことがわかります。二つめの練習問題を見てください。

October 14, 2026 読んだ
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ナッシュ交渉解

古典的な経済問題に新しい扱いを与える。この問題は交渉や双方独占など、さまざまな形で現れる。 — ジョン・ナッシュ「交渉問題」（1950） 1948 年、まだカーネギー工科大学の学部生だったナッシュは、国際経済学の授業を受けました。彼が生涯で受けた唯一の経済学の授業です。そこから一つの問いを持ち帰りました。二人が交渉するとき、合意から生まれる利益をどう分けるのか。経済学者たちは、答えは双方の心理や手腕やはったりしだいで、一般には何も言えないと考えていました。ナッシュは、合意がいくつかのもっともな要請を満たさなければならないなら、ありうる答えは一つしかないことを示しました。論文はプリンストンに来る前に書かれ、1950 年に雑誌『エコノメトリカ』（Econometrica）に発表されました。 問題 二人、1 と 2 が合意を結べるとします。ありうる合意はそれぞれ、各自に効用で測った利得 $u_1$、$u_2$ をもたらします。合意しなければ、各自は元からもっていたものを保ちます。これが決裂点 $(d_1,d_2)$ です。合意に意味があるのは、各自に少なくとも合意しない場合と同じだけを与えるときだけです。 四つの要請 ナッシュは解に四つの性質を求めました。 効率性。 二人にとって同時によりよい別の合意があってはならない。 対称性。 状況が対称で、二人の可能性も決裂点も同じなら、二人の取り分は等しい。 不変性。 ある人の効用を別の尺度で測っても、セ氏をカ氏に換えるように、解は変わらない。 無関係な選択肢からの独立性。 ある問題の解がより小さな問題でも可能なら、それはやはり解である。だれも選ばない選択肢を取り除いても、合意は変わらない。 ナッシュの定理によれば、四つの性質をすべてもつ規則はただ一つです。決裂点からの利得の積 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$を最大にする合意を選ぶことです。 1000 円を分ける 二人が 1000 円を分けます。単位を 100 円として、合計を 10 としましょう。合意できなければ、だれも何も得られません：$d=(0,0)$。簡単のため、効用はお金そのものとします。1 が $x$ を受け取れば、2 は $10-x$ を受け取り、積は $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大は $x=5$ です。それぞれ 5、つまり 500 円ずつ。対称な場合なので、驚くことではありません。 よい代わりの選択肢をもつ人が多くを得る 今度は 1 に代わりの選択肢があるとします。合意できなくても、よそで 4 を得られ、2 は相変わらず何も得られません。決裂点は $(4,0)$ です。決裂点からの利得は $x-4$ と $10-x$ で、積は $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 決裂点からの利得の積 (x − 4)(10 − x)。x = 4 では 1 が合意から何も得ないので 0、x = 10 では 2 が何も得ないので 0 になる。最大値 9 は x = 7 にある。Euler’s Eyes 作図 最大は $x=7$ です。1 が 7、2 が 3 を受け取ります。どちらも合意しない場合より3 多く得ています。ナッシュ解は余剰を等分します。余剰とは、各自がすでに確保していた分を超えて合意が生み出す価値です。だから、よい代わりの選択肢をもつ人は多くを得るのです。それはただでもらえるものではなく、交渉の出発点なのです。

October 14, 2026 読んだ
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マクスウェルの方程式：ファラデーの力線からベクトルへ

はじめは、これほどの数学の力がこの主題に向けられるのを見て、ほとんどおびえたほどでした。それから、主題がそれにとてもよく耐えているのを見て驚きました。 — マイケル・ファラデー、マクスウェル宛の手紙（1857 年 3 月 25 日） 1820 年までは、電気と磁気は別々の主題でした。電気は火花を飛ばし、髪の毛を逆立てる。磁気は方位磁針を北に向ける。その年、コペンハーゲン大学の講義で、デンマークのハンス・クリスティアン・エルステッドは電池を導線につなぎ、近くの磁針が動くのを見ました。電流が磁気を生んだのです。 ファラデーの力線 マイケル・ファラデー（1791–1867）。力線を思い描いた鍛冶屋の息子。作者不明、1850 年代 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ロンドンでは、13 歳で学校をやめて製本屋の見習いになった鍛冶屋の息子マイケル・ファラデーが、この発見をさらに進めました。1821 年、彼は最初の電動機をつくりました。磁石のまわりを回る導線です。1831 年には、エルステッドの逆を発見しました。導線の近くで 動く 磁石は電流を生む。これが 電磁誘導 で、発電所の発電機にも自転車のダイナモにも使われている原理です。 ファラデーは算数より先の数学を知りませんでした。考えるとき、彼は磁石や電荷のまわりの空間が、磁石のまわりに鉄粉が描く線のような 力線 で満たされていると想像しました。大切なのは磁石ではなく力線でした。数学者たちはこの考えを素朴だと思いました。彼らにとって、力はニュートンの重力のように離れたところに直接はたらくものだったのです。 マクスウェルはファラデーの力線を本気で受けとめました。1855 年、24 歳で「ファラデーの力線について」を発表し、図を方程式に翻訳しました。1861 年と 1862 年の「物理的な力線について」では、空間の力学模型を考えました。回転する流体の管が、歯車のようにはたらく小さな玉で仕切られている模型です。奇妙な模型でしたが、足場としては役に立ちました。それを使って、マクスウェルは 変位電流 と 波の速さ を見つけたのです。1865 年の「電磁場の動力学的理論」で彼は足場をとりはずしました。残ったのは方程式だけで、二十の未知数についての 二十本 の方程式が、成分ごとに書かれていました。 四元数か、ベクトルか 二十本の方程式は読みにくいものでした。もっとよい記法が必要で、候補がありました。アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンの 四元数、四つの部分をもつ数 $q=w+ai+bj+ck$ です。マクスウェルの学校時代の友人ピーター・ガスリー・テイトは四元数の大の擁護者で、1870 年から 1871 年にかけての手紙で、『論』に四元数を使うようマクスウェルを説得しようとしました。 マクスウェルが受けいれたのは半分だけでした。磁場のように向きをもつ量をうまく表せる三成分の部分 $ai+bj+ck$ は気に入りましたが、四つ目の部分 $w$ には物理的な意味が見いだせなかったのです。『電気磁気論』（1873）では、スカラー部分とベクトル部分を分け、四元数はひかえめに使いました。1871 年の論文では、場についての演算に、今も使われている名前をつけました。ある点のまわりで場がどれだけ回っているかを測る curl（回転）と、ある点に場がどれだけ集まるかを測り、今日の発散の逆にあたる convergence（収束）です。 『電気磁気論』第一巻の扉（オックスフォード、1873）。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 次の一歩は、『論』を独学で読んだ二人によって踏みだされました。16 歳で学校をやめた電信技手のイギリス人オリヴァー・ヘヴィサイドと、イェール大学のアメリカ人ジョサイア・ウィラード・ギブズは、四元数を捨て、それぞれ独立に、内積と外積をもつ現代の ベクトル解析 をつくりました。1884 年から 1885 年にかけて、ヘヴィサイドはマクスウェルの二十本の方程式を 四本 に書きなおしました。今日どの教科書にも出てくるのは、この形です。

October 14, 2026 読んだ