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『解析力学』：図のない本

1687 年のニュートンの『プリンキピア』を開くと、ほとんどすべてのページに図があります。三角形、楕円、矢印、接線。百年後の 1788 年に出版されたラグランジュの『解析力学』を開くと、図は一枚もありません。著者自身が序文でそのことを誇らしげに予告し、こう付け加えています。 解析を愛する人びとは、力学が解析の新しい一分野になるのを喜んで見るだろうし、私がこうしてその領域を広げたことに感謝してくれるだろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析力学』序文（1788） 『解析力学』（Méchanique analitique）初版の扉、パリ、1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この本はベルリンで書かれ、ほとんど完成した状態でパリに持ちこまれました。これほどむずかしい論文にお金を賭けようという出版社はなく、ある書店を説きふせて出版させ、校正刷りに目を通したのは若いアドリアン＝マリ・ルジャンドルでした。印刷された本が届いたとき、ラグランジュは気分のふさいでいた時期で、二年間それを開かなかったといわれています。 力のやっかいさ ニュートンの力学では、物体がどう動くかを知るには、それにはたらくすべての力を書き出し、矢印のように足し合わせなければなりません。たとえば振り子には、重さと糸の張力がはたらきます。重さはかんたんですが、張力はそうはいきません。それは時々刻々と変わり、前もってだれにもわかりません。おもりを糸につないでおく役目しかないのに、それでも運動にたどりつくには、まずそれを計算しなければならないのです。 ラグランジュは、こうした束縛の力がそもそも現れない方法をほしがっていました。 すべてを一つの関数で ラグランジュの考えは、系を自由に選んだ座標、いちばん自然なもので記述することでした。振り子なら、一つの数で十分です。糸が鉛直線となす角 $\theta$ です。次に、その座標を使って二つのエネルギーを書きます。 $T$：運動のエネルギー（今日いう運動エネルギー） $V$：位置によってたくわえられたエネルギー（今日いう位置エネルギー） そして、今日ラグランジアンと呼ばれる一つの関数をつくります。 $$L=T-V.$$本当の運動は、オイラー＝ラグランジュ方程式を、$x$ のかわりに時間 $t$ で満たすものです。 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ここで $q$ は座標、上に点のついた $\dot q$ はその速度で、ニュートンの記法です。これはレシピです。$L$ を書き、微分し、ゼロとおく。図も矢印もありません。 最初のテスト：自由落下 高さ $h$ にある質量 $m$ の物体では、運動のエネルギーは $T=\frac12m\dot h^2$、たくわえられたエネルギーは $V=mgh$ です。よって $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程式は $m\ddot h+mg=0$、つまり $\ddot h=-g$ となります。物体は一定の加速度 $g$ で落ちる。矢印を一本も描かずに、ガリレオの法則がふたたび得られました。

October 14, 2026 読んだ
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ソフィー・ジェルマンの定理とフェルマーの最終定理

1637 年ごろ、ピエール・ド・フェルマーはある本の余白に、$n$ が 2 より大きいとき方程式 $$x^n+y^n=z^n$$は正の整数の解をもたない、そしてそのすばらしい証明を見つけたが、この余白はせますぎて書けない、と書きこみました。これがフェルマーの最終定理です。彼の証明を見つけた人はおらず、問題は 1994 年にアンドリュー・ワイルズによってようやく解かれました。 1800 年までの状況はささやかなものでした。フェルマーが $n=4$ の場合を、オイラーが $n=3$ の場合を証明していました。素数の指数 $n=p$ だけを調べれば十分でしたが、素数ごとに専用の技法が必要で、3 より先に進めた人はいませんでした。ソフィー・ジェルマンは、無限に多くの指数について一度に何かを証明した最初の人でした。 二つの場合 ソフィーは問題を二つに分けました。解 $x^p+y^p=z^p$ があったとします。三つの数 $x$、$y$、$z$ のどれも $p$ の倍数でない場合、今日いう第一の場合と、どれかが $p$ の倍数である第二の場合です。彼女の定理は第一の場合をあつかいます。 ソフィー・ジェルマンの定理。 $p$ が奇素数で $2p+1$ も素数なら、どれも $p$ の倍数でない整数 $x, y, z$ で $x^p+y^p=z^p$ となるものは存在しない。 $2p+1$ も素数になる素数 $p$ は、今日ソフィー・ジェルマン素数と呼ばれています。$3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$ p = 5 で見る考え方 $p=5$、つまり $2p+1=11$ の場合で、証明の核心を見てみましょう。$x^5+y^5=z^5$ だとします。すべてを 11 を法として見ます。ガウスへの手紙で見たように、11 を法とする 5 乗は $0$、$1$、$-1$ のどれかにしかなりません。 三つのどれも 11 の倍数でなければ、三つの 5 乗はどれも $\pm1$ です。ところが二つの $\pm1$ の和は $-2$、$0$、$2$ のどれかで、そのどれも 11 を法として $\pm1$ ではありません。

October 14, 2026 読んだ
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ナッシュ均衡：だれも一人では得をしない

均衡点とは、ほかのプレイヤーの戦略を固定したとき、各プレイヤーの混合戦略が自分の利得を最大にするような n 組である。 — ジョン・ナッシュ、米国科学アカデミー紀要（1950） 1944 年、ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンは『ゲームの理論と経済行動』を出版しました。トランプ遊び、戦争、市場といった戦略的な決定を数学に変える大著です。フォン・ノイマンの大きな結果は、二人のゼロサム・ゲーム、つまり一方の得が他方の損になるゲーム、たとえばチェスやポーカーに当てはまるものでした。しかし人生の大部分はそうではありません。貿易協定でも、交渉でも、交通でも、両者がいっしょに得をすることも、いっしょに損をすることもあります。 1949 年、21 歳の学生が、どんなゲームにも、何人のプレイヤーにも使えるアイデアを見つけました。 アイデア ゲームでは、各プレイヤーが戦略を選び、各自の結果は全員の選択によって決まります。ナッシュ均衡とは、ほかの人が戦略を変えないとき、どのプレイヤーも一人で戦略を変えて得をすることができないような戦略の組み合わせです。 記号で書きましょう。$s_i^*$ をプレイヤー $i$ の戦略、$s_{-i}^*$ をほかの人の戦略、$u_i$ をプレイヤー $i$ の利得とすると、 $$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{すべてのプレイヤー }i\text{ とすべての戦略 }s_i\text{ について}.}$$均衡では、各自がほかの人のしていることを前提にして、できる最善のことをしています。だれも自分の選択を後悔しません。 広場かカフェか アナとブルーノは午後に会う約束をしましたが、場所を決め忘れ、二人とも携帯電話を持っていません。それぞれ広場かカフェに行けます。二人ともカフェのほうが好きですが、いちばん大事なのは会えることです。利得（先がアナ、後がブルーノ）は次のとおりです。 アナ / ブルーノ 広場 カフェ 広場 (2, 2) (0, 0) カフェ (0, 0) (3, 3) それぞれの組み合わせを調べましょう。（カフェ、カフェ）で、アナが一人で広場に変えると 3 から 0 になります。ブルーノも同じです。だれも変えたくない：均衡です。（広場、広場）でも、一人で変えるとそれぞれ 2 から 0 になります。これも均衡です！ 一方（広場、カフェ）では、アナはカフェに行けば得をするので、均衡ではありません。 このゲームには均衡が二つあり、一方は両者にとってもう一方よりよいものです。ナッシュの概念はどの組み合わせが安定かを教えてくれますが、そのどれが起こるかは教えてくれません。実際には、慣習や習慣、二人がいつも行く場所が決めます。 囚人のジレンマ ナッシュの論文と同じ 1950 年、ランド研究所の二人の研究者メリル・フラッドとメルヴィン・ドレシャーが、このアイデアを試すためのゲームを考え、数学者アルバート・タッカーがそれを二人の囚人の物語として語りました。警察が二人の共犯者を逮捕し、別々の部屋で取り調べます。それぞれ黙秘するか、相手を自白で売るかを選べます。刑期（年）は次のとおりです。 A / B 黙秘 自白 黙秘 (1, 1) (10, 0) 自白 (0, 10) (5, 5) 囚人 A の立場で考えましょう。B が黙秘するなら、A は黙秘で 1 年、自白で 0 年：自白のほうがよい。B が自白するなら、A は黙秘で 10 年、自白で 5 年：やはり自白のほうがよい。B が何を選んでも、A にとっては自白のほうがよいのです。 同じ推論が B にも当てはまります。ナッシュ均衡は（自白、自白）ただ一つで、それぞれ 5 年です。

October 14, 2026 読んだ
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ブラウン運動：原子を数える

ここで論じた運動が実際に観察できるなら、古典熱力学は顕微鏡で見分けられる空間についてはもはや厳密に成り立つとはみなせず、原子の実際の大きさを正確に決めることが可能になる。 — アルベルト・アインシュタイン『物理学年報』（1905 年 5 月） 1905 年になっても、多くの物理学者や化学者は原子が存在するのかを疑っていました。化学はこの仮説のもとでとてもうまくいっていましたが、原子を見た人はいませんでした。オーストリアの物理学者エルンスト・マッハやドイツの化学者ヴィルヘルム・オストヴァルトのような重要な科学者たちは、原子は計算に便利な言い方にすぎないと考えていました。アインシュタインはそれを見る方法を、いや、ほとんど見る方法を見つけました。顕微鏡で見えるほど大きなものへの、原子の影響を通して見るのです。 止まらない花粉 1827 年、スコットランドの植物学者ロバート・ブラウンは、ある植物の花粉から出た小さな粒が水に浮いているのを顕微鏡で観察しました。粒は止まることなく、あてもなくジグザグに動いていました。ブラウンははじめ生命のしわざだと思いましたが、ガラスや石の粉でも同じことが起こりました。どちらも生きているはずがありません。動きは決してやみませんでした。だれにも説明できませんでした。 アインシュタインは説明を示しました。粒は四方八方から、たえず水の分子にぶつかられているのです。衝突は一秒に何兆回もあって、ほとんどつりあっています。けれども完全にではありません。ある瞬間、たまたま片側からの衝突が多くなると、粒は小さく跳びます。見えない群衆に押しまわされるビーチボールのようなものです。 ランダムウォーク 話を単純にしましょう。粒が時間 $\delta t$ ごとに、右か左に大きさ $a$ の一歩を進むとします。どちらに進む確率も半分で、一歩一歩はそれまでの歩みと無関係です。$N$ 歩のあとの位置は和 $$x_N=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_N,\qquad \xi_i=\pm a$$です。平均すると、粒はどこにも行きません。右への歩みと左への歩みが打ち消しあい、$\langle x_N\rangle=0$ です。でも、それは粒が止まっているという意味ではありません！正しい問いは、粒がふつう どれくらい遠く まで行くかであり、そのためには位置の二乗を見ます。 $$x_N^2=\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\neq j}\xi_i\xi_j.$$$\xi_i^2$ はどれも $a^2$ です。ちがう歩みの積 $\xi_i\xi_j$ は同じ確率で $+a^2$ か $-a^2$ なので、平均は 0 です。残るのは $$\langle x_N^2\rangle=Na^2.$$典型的な距離、つまりこの値の平方根は $a\sqrt N$ です。100 歩のあと、粒はふつう出発点から 10 歩のところに、10 000 歩のあとは 100 歩のところにいます。$N=t/\delta t$ と書き、$D=\frac{a^2}{2\,\delta t}$ を 拡散係数 と呼ぶと、 $$\boxed{\langle x^2\rangle=2Dt.}$$距離は 時間の平方根 で増えます。二倍遠くまで行くには、四倍待たなければなりません。かきまぜない紅茶では、角砂糖が全体を甘くするのにとても時間がかかるのはこのためです。 平面上のランダムウォーク。大きさ 1 の歩みを、でたらめな方向に 2 000 歩。これだけ歩いても、粒子は出発点から約 45 歩、2 000 の平方根ほどしか離れていない。Euler’s Eyes 作図 アインシュタインの式 アインシュタインの決定的な一歩は、顕微鏡で測れる $D$ を、液体と分子の性質に結びつけたことでした。粘性 $\eta$、絶対温度 $T$ の液体のなかの半径 $r$ の球について、彼は

October 14, 2026 読んだ
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ロピタルの定理：侯爵に売られた講義

私はベルヌーイ両氏の見識、とりわけ現在フローニンゲンの教授である若いほうの方の見識に多くを負っていることを認める。私は遠慮なく彼らの発見と、ライプニッツ氏の発見を使わせてもらった。 — ロピタル侯爵『無限小解析』序文（1696） 1691 年、ギヨーム・ド・ロピタル侯爵は 30 歳で、爵位と城と、ひとつの情熱をもっていました。発表されたばかりで、フランスではほとんどだれも読めなかったライプニッツの微積分を理解することです。微積分をほとんどだれよりもよく知っていたスイスの若者ヨハン・ベルヌーイがパリに現れると、侯爵は彼を家庭教師として雇いました。 ヨハンがスイスに戻ったあとも、講義は手紙で続きました。1694 年 3 月 17 日、ロピタルは変わった提案を書き送ります。年に 300 リーヴルの年金を払う。条件は、ヨハンが質問に答え、自分の発見を送り、それをほかのだれにも伝えないこと。新婚で職のなかったヨハンは受け入れました。 『曲線の理解のための無限小解析』（パリ、1696）の扉。最初の微分学の本。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 二年後、『曲線の理解のための無限小解析』がパリで出版されました。表紙に著者名はありませんでしたが、だれもがロピタルの本だと知っていました。それは歴史上 最初の微分学の本 で、明快でよく整理されており、ほぼ一世紀のあいだヨーロッパで微積分を教えるのに使われました。その第 9 章に、$\frac00$ の形の極限を計算する規則がありました。 問題：0 を 0 で割る $x$ がある点 $a$ に近づくとき、分子と分母がともに 0 に近づくなら、分数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ はどこに向かうのか。そう知りたいことはよくあります。たとえば $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$$x=0$ を代入すると $\frac00$ になり、意味をなしません。分数はどんな値に近づくこともあり、どこにも近づかないこともあります。二つの関数が 0 に向かう 速さ を比べなければなりません。 ヨハンの考え $a$ の近くでは、微分可能な関数はその接線に似ています。 $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$$f(a)=g(a)=0$ なら、残るのは $$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$$\frac00$ の原因だった因子 $(x-a)$ が消えます。規則はこう言います。$f(a)=g(a)=0$ で、右辺の極限が存在すれば、 $$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$正弦では、$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。新しい商もまた $\frac00$ なら、規則をもう一度使います。

October 14, 2026 読んだ
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土星の環は固体ではありえない

したがって、存在しうる唯一の環の系は、たがいにつながっていない無数の粒子からなり、それぞれの距離に応じた異なる速さで惑星のまわりを回るものである。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル『土星の環の運動の安定性について』（1859） 1610 年、ガリレオは望遠鏡で土星を見て、この惑星には「耳」があると思いました。1655 年、ホイヘンスはそれが惑星にふれない薄く平らな環であることに気づきました。それから二百年たっても、環が 何で できているのかはわかりませんでした。レコード盤のような固い円盤なのか。液体なのか。石の雲なのか。 1855 年、ケンブリッジ大学はこの問いを アダムズ賞 の題にしました。海王星の存在を予言した天文学者ジョン・クーチ・アダムズをたたえてつくられた賞です。応募者は、どんな環なら安定していられるかを明らかにしなければなりませんでした。当時 24 歳のマクスウェルはこの問いに二年を費やしました。応募したのは彼ひとりでした。 環の上のケプラー 円軌道を回るどんな物体についてもわかっていることから始めましょう。質量 $M$ の惑星の重力が向心力になります。 $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$遠いほど遅いのです。これはケプラーの第三法則で、惑星は太陽のまわりでこれにしたがっています。土星では $GM\approx3.79\times10^{16}$ m³/s² です。主な環は、惑星の中心から約 74 600 km から約 136 800 km まで広がっています。すると、 土星の中心からの距離 軌道速度 一周の時間 74 600 km（内側のふち） 22.5 km/s 5.8 時間 92 000 km 20.3 km/s 7.9 時間 117 600 km 18.0 km/s 11.4 時間 136 800 km（外側のふち） 16.7 km/s 14.3 時間 内側のふちは 6 時間たらずで一周し、外側のふちは 14 時間以上かかります。 固体の環ではだめな理由 かたい円盤では、どの点も同じ時間で一周します。円盤は車輪のように全体で回るのです。だから各点の速さは距離とともに 大きくなり、$v=\omega r$ となります。ところが重力は速さが 小さくなる こと、$v=\sqrt{GM/r}$ を求めます。すべての点で両方を同時に満たす方法はありません。

October 14, 2026 読んだ
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最初の命題：正三角形

与えられた有限の直線の上に、正三角形をつくること。 — ユークリッド『原論』命題 I.1 定義、公準、公理のあと、『原論』は小さくて美しい問題で始まります。線分 $AB$ があります。定規とコンパスだけで、三辺がすべて $AB$ に等しい三角形をつくりたい。本の 465 の命題の最初のもので、ほかのすべての命題がどう進むのかを、わずかな行で示してくれます。 作図 ユークリッドは最初の三つの公準だけを使います。 $A$ を中心、$AB$ を半径として円を描く（公準 3）。 $B$ を中心、同じ半径 $BA$ でもうひとつ円を描く（公準 3）。 二つの円は点 $C$ で交わる。 直線 $CA$ と $CB$ を引く（公準 1）。 三角形 $ABC$ が求める三角形です。 命題 I.1 の作図。緑の円の中心は A、青い円の中心は B。どちらも半径 AB で、C で交わる。Euler’s Eyes 作図 証明 つくるだけでは足りません。三角形が正三角形であることを 証明 しなければなりません。証明は三段階で、それぞれ根拠を挙げます。 $C$ は $A$ を中心とする円の上にあるので、$AC=AB$。円の定義により、半径はすべて等しい。 $C$ は $B$ を中心とする円の上にあるので、$BC=BA$。同じ理由による。 $AC$ と $BC$ はどちらも $AB$ に等しいので、$AC=BC$。公理 1、同じものに等しいものはたがいに等しい、による。 したがって

October 14, 2026 読んだ
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調和級数と助けを求める声

無限の級数が有限の和に収められ、限りないもののなかに限りが見てとれるように、果てしなさの魂は微小なもののなかに宿り、最も狭い限界のなかに限界はない。 — ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689） 1689 年から 1704 年にかけて、ヤコブ・ベルヌーイはバーゼルで 無限級数、つまり無限に多くの項をもつ和についての論文を五編発表しました。新しく、危険な主題でした。こうした和のなかには、 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$$のように、ある数になるものがあります。止まらずに増え続けるものもあります。むずかしいのは、それぞれがどちらなのかを見分けることです。常識はあてにならないからです。 調和級数 整数の逆数の和を考えましょう。 $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音楽家はこれを 調和 級数と呼びました。$\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ は、ある音の倍音を出す弦の長さだからです。項はどんどん小さくなり、0 に近づきます。直観では、和はどこかで止まりそうです。ところがこの和は、だまされるほどゆっくり増えます。 項の数 和の近似値 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 100 に達するには $10^{43}$ 項以上が必要です。それでもヤコブは、この和が どんな 数をも超えることを示しました。 ヤコブの証明 彼は級数を、平方数で終わるかたまりに分けました。ある数 $a$ をとり、$\frac1a$ から $\frac1{a^2}$ までの項を考えます。$\frac1a$ をわきに置くと $a^2-a$ 個の項が残り、どれも最小の項 $\frac1{a^2}$ 以上です。したがって $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$このようなかたまりは、どれも 1 以上です。あとはつなげていくだけです。$\frac12$ から $\frac14$ まで、$\frac15$ から $\frac1{25}$ まで、$\frac1{26}$ から $\frac1{676}$ まで、というふうに。 $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$かたまりは無限にあり、どれも 1 以上なので、和はどんな数をも超えます。和は 発散 します。 ヤコブは、弟ヨハンが自分より先に別の証明を見つけていたことを認め、同じ論文にそれを載せました。二人とも、フランスのニコル・オレームが 1350 年ごろ、項を 1、2、4、8……個ずつのまとまりに分けて同じことをしていたとは知りませんでした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 14, 2026 読んだ
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組合せ：書き出さずに数える

ブラジルの宝くじ「メガセナ」では、60 個の数から 6 個を選びます。異なる選び方は何通りあるでしょうか。全部書き出していたら一生かかります。五千万通り以上あるのです。でも書き出さずに数えることはできますし、パスカルがその方法を示しました。 順番を気にせずに選ぶ 小さな例から始めましょう。5 人のグループから委員を 2 人選ぶ方法は何通りでしょうか。 順番が問題になるなら、1 人目は $5$ 通り、2 人目は $4$ 通りで、$5\cdot4=20$ 通りです。でも委員会では「アナとブルーノ」も「ブルーノとアナ」も同じなので、どの組も二回ずつ数えられています。委員会は $20/2=10$ 通りです。 一般に、$n$ 個のものから順番を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数は $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$です。ここで $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ です。「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数」と読みます。委員会の場合は $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$ です。 なぜ三角形の数になるのか パスカルは、$\binom nk$ がちょうど算術三角形の数 $C(n,k)$ であることに気づきました。理由は同じ足し算の規則です。 グループの中から一人、たとえばアナを選んでおきます。$n$ 人から選んだ $k$ 人の委員会は、アナを含むか、含まないかのどちらかです。含むなら、残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選べばよく、含まないなら、$k$ 人全員が残りの $n-1$ 人から選ばれます。したがって $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$これはまさに三角形の規則です。どちらも端は同じ $1$ で始まり、同じ規則に従うので、同じ表になります。 メガセナ これで大きな計算も簡単です。 $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$一口の当選確率は五千万分の一あまりです。毎週一口ずつ買っても、当たるまでに平均で百万年近く待つことになります。 和の累乗 同じ考え方で、三角形のもう一つの登場の仕方も説明できます。 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$を展開すると、結果の各項は、三つのかっこのそれぞれから $a$ か $b$ を一つずつ選んでできます。$a^2b$ を得るには、三つのうちちょうど一つのかっこで $b$ を選べばよく、その選び方は $\binom31=3$ 通りです。だから $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$となり、一般には $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$です。$a=b=1$ とすると左辺は $2^n$ になり、またしても $n$ 行目の和です。この公式は指数が整数のときに成り立ちます。十年後、ニュートンは指数が分数のときどうなるかを発見しました。一般化された二項式を見てください。

October 11, 2026 読んだ
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極大と極小：面積が最大の長方形

24 メートルの柵で、できるだけ広い長方形の土地を囲みたいとします。辺の長さをどう選べばよいでしょうか。細長い長方形は柵の無駄が多く、正方形のほうがよさそうです。でも、どうやって証明しますか？ フェルマーは 1636 年ごろ、こうした問題を解く方法を発明しました。ニュートンより 30 年以上、ライプニッツが微積分を発表するより 50 年近く前のことです。 フェルマーの問題 フェルマーの最初の例はまさにこれでした。長さ $b$ の線分を $x$ と $b-x$ の二つに分け、積 $x(b-x)$ をできるだけ大きくせよ。これが私たちの土地です。柵が 24 メートルなら、隣り合う 2 辺の和は $12$ で、面積は $$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

October 11, 2026 読んだ
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積の法則：一つの計算に二つの変化

$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます…… ライプニッツも同じ予想をしました。 ライプニッツの検証と失敗 文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。 これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。 自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。 大きくなる長方形 $u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。 新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。 $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。 小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、 $$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。 極限を使った書き方 今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。 $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって

October 11, 2026 読んだ
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流率：瞬間の変化をどう測るか

ある車が、90 キロ離れた別の街まで 1 時間で着きました。平均の速さは時速 90 キロです。でも速度計は、一瞬ごとに違う数字を示していました。速度計はいったい何を測っているのでしょうか。速さは距離を時間で割ったものですが、一瞬のあいだには距離も進まず、時間も経ちません。ゼロをゼロで割っても答えは出ません。 これこそ、1665 年にニュートンが答えようとした問いでした。その答えが流率法です。 流れる量 ニュートンは、変化する量を、川の水のように時間とともに流れるものと考えました。流れる量を流量（フルーエント）、それが流れる速さを流率（フラクション）と呼びました。流率を表すには、文字の上に小さな点を打ちました。1704 年に出版された『曲線の求積について』で、彼はこう書いています。 $x$、$y$、$z$ を流量とし、その流率をそれぞれ $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$ で表す。 — アイザック・ニュートン『曲線の求積について』（1704） $x$ が位置なら、$\dot x$ は速度です。言いかえれば、速度は空間から「流れ出る」のです。二つの点 $\ddot x$ は流率の流率、つまり加速度を表します。 ニュートンの計算 $y=x^2$ がどう変化するかを調べるため、ニュートンはごく短い時間を流しました。それを $o$ と書きます。その間に $x$ は $x+\dot x\,o$ に、$y$ は $y+\dot y\,o$ になります。関係 $y=x^2$ は変わらず成り立つので、 $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$両辺から $y=x^2$ を引いて $o$ で割ると、 $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$ここで大胆な一歩です。$o$ は「無限に小さい」ので、ニュートンは最後の項を捨てました。残るのは $\dot y=2x\dot x$、つまり $y$ は $x$ の $2x$ 倍の速さで変化する、ということです。 消え去った量の亡霊 $o$ で割っておきながら、その後 $o$ をゼロとみなす。この一歩は多くの人を悩ませました。1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』を出版して微積分を攻撃し、現れたり消えたりするこの量は「消え去った量の亡霊」ではないかと問いました。批判はもっともでした。答えが出たのは 19 世紀、コーシーとワイエルシュトラスによる極限の定義によってです。

October 11, 2026 読んだ