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ブレーズ・パスカルの生涯

年表 16236 月 19 日、フランスのオーヴェルニュ地方のクレルモンに生まれる。 1626母アントワネット・ベゴンが亡くなる。ブレーズは 3 歳。 1631父エティエンヌ・パスカルが三人の子どもを連れてパリへ移る。 163512 歳で、三角形の内角の和が二直角に等しいことを独力で再発見する。 164016 歳で『円錐曲線試論』を発表。六角形の定理が含まれていた。 1642ルーアンで徴税官をしていた父を助けるため、計算機の製作を始める。 1647『真空に関する新実験』を発表。デカルトが訪ねてくる。 1648義兄フロラン・ペリエがピュイ・ド・ドームに登り、空気の重さを測る。 1654賭けの問題についてフェルマーと手紙を交わし、『算術三角形論』を書く。11 月 23 日に「火の夜」を体験する。 1656偽名で『プロヴァンシアル』の刊行を始める。 1658サイクロイドの問題を解き、それについての懸賞を出す。 1662パリで乗合馬車の路線を開く。8 月 19 日、39 歳で亡くなる。 1670友人たちが、彼のメモをまとめた『パンセ』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1623–1631 クレルモンオーヴェルニュのクレルモンに生まれる。三歳で母を亡くす。 1631–1639 パリ父が家で教育し、メルセンヌの集まりに連れて行く。16 歳で『円錐曲線試論』を書く。 1640–1647 ルーアン父はノルマンディーの徴税官。父を助けるためにブレーズはパスカリーヌを作り、真空の実験を行う。 1648 ピュイ・ド・ドームパスカルに頼まれ、義兄フロラン・ペリエが気圧計を持って山に登り、山頂では空気が軽いことを示す。 1647–1662 パリ賭けについてのフェルマーとの往復書簡、火の夜、『プロヴァンシアル』、サイクロイド、乗合馬車。1662 年、39 歳で亡くなる。 1655 ポール・ロワイヤル・デ・シャン火の夜のあと、妹ジャクリーヌのいる修道院にたびたび滞在し、イエズス会に対してポール・ロワイヤルを擁護する。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1623–1631 · クレルモン1631–1639 · パリ1640–1647 · ルーアン1648 · ピュイ・ド・ドーム1647–1662 · パリ1655 · ポール・ロワイヤル・デ・シャン クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 ブレーズ・パスカルの肖像。作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ所蔵。彼の死後に描かれた複製です。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 幾何学の本を隠した父 ブレーズ・パスカルは 1623 年、フランス中部のクレルモンで生まれました。3 歳のときに母が亡くなり、数学好きの裁判官だった父エティエンヌは、ジルベルト、ブレーズ、ジャクリーヌの三人の子どもを自分で教育することにしました。1631 年、一家はパリに移ります。

October 11, 2026 読んだ
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ピエール・ド・フェルマーの生涯

年表 1607 ごろフランス南部のボーモン＝ド＝ロマーニュに生まれる。正確な年は議論がある。 1626オルレアン大学で法学の学位を取得。 1629–1631ボルドーでヴィエトの著作を学び、失われたギリシア幾何学の書物を復元する。 1631トゥールーズ高等法院の評定官となり、名前に「ド」をつける権利を得る。 1636マラン・メルセンヌとの文通を始める。すでに解析幾何学と極大・極小の方法を手にしていた。 1637このころ、ディオファントス『算術』の余白に「最終定理」の書き込みをする。 1640小定理と、$2^{2^n}+1$ の形の数についての予想を伝える。 1652ペストで死にかけ、死亡したと報じられる。 1654ブレーズ・パスカルと手紙を交わし、ともに確率論を創始する。 1662最短時間の原理から屈折の法則を導く。 16651 月 12 日、カストルで死去。 1670息子サミュエルが、父の余白の書き込み入りでディオファントス『算術』を出版。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ c. 1607 ボーモン＝ド＝ロマーニュ皮革商の家に生まれる。正確な生年は今も議論されている。 1626 オルレアンオルレアン大学で法学の学位を得る。 1629–1631 ボルドーヴィエトの著作を学び、失われたギリシア幾何学の本を復元する。極大・極小の方法はすでに手にしていた。 1631–1665 トゥールーズ高等法院の評定官。余暇にメルセンヌやパスカルに手紙を書き、ディオファントスの余白に「最終定理」を書き込む。 1665 カストルカストルの法廷に勤めていた 1 月 12 日に亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 法律と数学のあいだで。フランス南西部でのフェルマーの生涯。 地図：© OpenStreetMap 協力者 c. 1607 · ボーモン＝ド＝ロマーニュ1626 · オルレアン1629–1631 · ボルドー1631–1665 · トゥールーズ1665 · カストル 法律と数学のあいだで。フランス南西部でのフェルマーの生涯。 1601 年生まれ？ 1607 年生まれ？ 長い間、本には 1601 年と書かれていました。しかし最近の研究で、1601 年に洗礼を受けた子は、同じくピエールという名の異母兄で、幼くして亡くなったことがわかりました。私たちのフェルマーは父の再婚で生まれた子で、1607 年ごろの生まれだと考えられます。そのため、資料によってまだ食い違いがあるのです。

October 11, 2026 読んだ
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ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの生涯

年表 16467 月 1 日、神聖ローマ帝国のライプツィヒに生まれる。 166114 歳でライプツィヒ大学に入学。 1666『結合法論』を出版。ライプツィヒ大学は法学博士号を拒否し、翌年アルトドルフ大学が授与する。 1672外交使節としてパリへ。クリスティアーン・ホイヘンスのもとで本格的に数学を学び始める。 1673ロンドンで計算機を披露し、王立協会の会員に選ばれる。 167510 月と 11 月の手稿で記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1676ハノーファーに移り、以後 40 年間、図書館長兼顧問として働く。 1684『学術紀要』に微分学についての最初の論文を発表。 1700ベルリン科学アカデミーを創設し、初代院長となる。 1703二進法の算術についての解説を発表。 171611 月 14 日、ハノーファーで死去。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1646–1666 ライプツィヒライプツィヒに生まれ、学ぶ。大学は若すぎるとして法学の博士号を認めない。 1666–1667 アルトドルフニュルンベルク近郊で数か月のうちに博士号を得るが、教授職の申し出は断る。 1668–1672 マインツマインツ選帝侯大司教に、法律家・顧問として仕える。 1672–1676 パリ外交使節として到着し、ホイヘンスに数学を学ぶ。1675 年、記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1673 ロンドン王立協会で計算機を披露し、会員に選ばれる。 1676 ハーグハノーファーへ向かう途中、哲学者スピノザを訪ねる。 1676–1716 ハノーファー四十年にわたり公爵家の司書・顧問をつとめる。微積分（1684）と 2 進法（1703）を発表し、1716 年に亡くなる。 1687–1690 ローマ公爵家の歴史を書くため、三年かけてドイツ、オーストリア、イタリアの文書館をめぐる。 1700 ベルリンベルリン科学アカデミーを創設し、初代会長となる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 外交官、司書、そして数学者ライプニッツの旅。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 11, 2026 読んだ
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アイザック・ニュートンの生涯

年表 16431 月 4 日、イングランドのウールスソープに生まれる。当時のイギリスの記録では 1642 年 12 月 25 日。 1661貧しい学生としてケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに入学。 1665–1667ペストで大学が閉鎖され、故郷に戻る。級数、流率、色の理論、重力についての最初の着想を得る。 166926 歳で、アイザック・バローの後任としてルーカス教授職に就く。 1672反射望遠鏡を披露し、光と色の理論を発表。 1687『プリンキピア』を出版。印刷費はエドモンド・ハレーが自腹で負担。 1696ロンドンの王立造幣局に移り、まず監事、1699 年に長官となる。 1703王立協会の会長に就任。 1704『光学』を出版。 17273 月 31 日、ロンドンで死去。ウェストミンスター寺院に葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1643–1661 ウールスソープ農場で、農夫の死後に生まれた子として誕生する。近くのグランサムの学校に通う。 1661–1665 ケンブリッジ同級生の世話をして学費をまかなう貧しい学生として、トリニティ・カレッジに入る。 1665–1667 ウールスソープペストで大学が閉鎖され、帰郷する。級数、流率、色の理論、重力についての最初の考えを生み出す。 1667–1696 ケンブリッジルーカス教授職につき、反射望遠鏡を作り、『プリンキピア』（1687）を書く。 1696–1727 ロンドンロンドン塔の造幣局を率い、王立協会の会長をつとめる。1727 年に亡くなり、ウェストミンスター寺院に葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1643–1661 · ウールスソープ1661–1665 · ケンブリッジ1665–1667 · ウールスソープ1667–1696 · ケンブリッジ1696–1727 · ロンドン ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 1642 年生まれ？ 1643 年生まれ？ どちらも正しいのです。1642 年のイギリスはまだユリウス暦を使っており、ヨーロッパの多くの地域で採用されていたグレゴリオ暦より 10 日遅れていました。イギリスの暦ではニュートンは 1642 年のクリスマスに、私たちの暦では 1643 年 1 月 4 日に生まれたことになります。

October 11, 2026 読んだ
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チューリング機械：鉛筆とテープと規則で計算する

1936 年には計算機というものはなかった。英語の computer は、保険会社や天文台や役所で、鉛筆と紙で計算することを職業とする人を意味していた。チューリングはこの人から出発した。計算するとき、人は本当は何をしているのかを問い、本質的でないものをすべて取り除いていった。 計算する人から残るもの 論文「計算可能数について」のチューリングの推論は、ほとんど単純化の一覧である。 紙は、マス目に区切られたテープに置き換えられる。方眼紙の上の計算は、マスごとに一行に写せるからである。 各マスには、有限の一覧から選んだ一つの記号が入る。数字、文字、空白。 計算する人は一度に少しのマスしか見ない。一マス見れば十分である。いくつかを見るというのは、一つを見て、次に隣を見ることだからである。 計算する人には「足し算をしている」「繰り上げている」といった心の状態がある。そうした状態は有限個しかない。 各ステップは、現在の状態と読んでいる記号だけで決まる。ステップとは、記号を書き、一マス左か右に動き、状態を変えることである。 残るのは一つの機械である。テープ、読み書きするヘッド、そして規則の表。表の各行はこう言う。「この状態でこの記号を読んだら、これを書き、そちらへ動き、この状態に移れ」。 1 を足す機械 二進法で書かれた数に 1 を足す機械をつくってみよう。手で $1011+1$ を計算するときは右から左へ進む。最後の 1 は 0 になって「1 繰り上がる」。その前の 1 も 0 になって繰り上がる。次の 0 は 1 になり、計算は終わる。結果は $1100$、つまり $11+1=12$ である。 機械はまさにそれを行う。必要な状態は「足す」一つと、終わりの状態「停止」だけである。ヘッドは最後の桁から始める。 状態 読む 書く 動く 次の状態 足す 1 0 左へ 足す 足す 0 1 動かない 停止 足す 空白 1 動かない 停止 一行めは繰り上がりである。1 を 0 に替えて左へ進む。二行めは 0 を見つけたら計算を終える。三行めは、$111+1=1000$ のように桁がすべて 1 だった場合を扱う。ヘッドは数の左の空白に着き、そこに新しい 1 を書く。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 16, 2026 読んだ
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5 次方程式：存在しない公式

幾何学者たちは代数方程式の一般的な解法に大いに取り組み、その何人かはその不可能性を証明しようとした。しかし、私の思いちがいでなければ、これまでだれも成功していない。 — ニールス・ヘンリック・アーベル『代数方程式についての論文』（1824） 学校に通った人ならだれでも、方程式を解く公式を一つ知っています。2 次方程式の解の公式です。方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$このやり方は四則演算と平方根一つしか使いません。バビロニア人はほぼ四千年前にこの種の問題を解いていましたし、ユークリッドは正方形と長方形で解きました。自然に浮かぶ問いは、もっと次数の高い方程式にも、このようなやり方があるのか、ということです。 3 次と 4 次 3 次の答えはルネサンスのイタリアから来ました。シピオーネ・デル・フェッロ、ニコロ・タルターリア、ジェロラモ・カルダノが公式を見つけ、カルダノが 1545 年に『アルス・マグナ』で発表しました。方程式 $x^3+px+q=0$ の解の一つは $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$$x^3+6x-20=0$、つまり $p=6$、$q=-20$ で確かめてみましょう。まず平方根です。 $$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$公式は $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}$$を与えます。ひどく見えますが、$(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$ で、同じように $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$ です。したがって $$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$たしかに $2^3+6\cdot2-20=0$ です。まもなく、カルダノの弟子ロドヴィコ・フェラーリが 4 次の公式を見つけ、同じ本に載りました。どちらも四則演算と累乗根しか使いません。このような方程式は累乗根で解けるといいます。 二百五十年の試み 残ったのは 5 次でした。二世紀以上にわたって最も偉大な数学者たちが挑み、4 次までうまくいったどの技法も 5 次で行き詰まりました。1771 年、ラグランジュは、技法がなぜうまくいくのかを説明しました。根を入れ替えたとき、根でできたある式がどう変わるかにかかっていたのです。5 次では、その勘定が合いませんでした。1799 年、イタリアのパオロ・ルフィニが公式は存在しないという証明を発表しましたが、すきがあり、ほとんどだれも受け入れませんでした。 アーベルの定理 1824 年、アーベルは完全な証明を与えました。 $$\boxed{n\geq5\text{ 次の一般の方程式には、四則演算と累乗根による公式は存在しない。}}$$今日この結果はアーベル＝ルフィニの定理と呼ばれます。証明の考え方は、そのような公式があると仮定して、それがどう組み立てられなければならないかを見ることです。公式は層をなして作られ、各層は前の層でできた式の累乗根をとります。アーベルは、こうした途中の根のそれぞれが、方程式の五つの根の式でなければならないことを示しました。ここでラグランジュとルフィニの議論が登場します。五つの根の入れ替え方は $5!=120$ 通りあり、公式に必要な式は、五文字のどんな式にもできない変わり方をしなければならないのです。仮定は矛盾に至ります。 定理が何を言っているかを正確に理解しておくことが大切です。定理は、どの 5 次方程式も解けない、とは言っていません。方程式 $x^5-32=0$ には $x=\sqrt[5]{32}=2$ という解があります。存在しないのは、係数からすべての 5 次方程式を解ける一般の公式です。そして、たとえば $$x^5-x-1=0$$のような個別の方程式もあります。その実数解 $x\approx1.1673$ は存在し、何桁でも計算できますが、どうやっても累乗根では書けません。どの方程式が解けて、どれが解けないのか。その問いには数年後にガロアが答えました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 ガウスが開かなかった小冊子 1824 年の小冊子『代数方程式について、5 次の一般方程式を解くことの不可能性を証明する論文』は、アーベル自身のお金でクリスチャニアの印刷所で刷られました。費用を抑えるため、彼は証明を 6 ページに収まるまで削り、多くのステップが説明なしで残りました。アーベルは何人かの数学者に送り、その中にはガウスもいました。言い伝えでは、ガウスの一部は彼の死後、ページが切られないままの状態で見つかったといいます。1826 年、アーベルは『クレレ誌』の第 1 巻に、詳しくわかりやすい版を発表しました。

October 15, 2026 読んだ
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根を入れ替える：方程式の群

両足をそろえて計算を飛び越えること。演算をまとめ、その形ではなく難しさによって分類すること。それが、私の考えでは、未来の幾何学者の使命である。 — エヴァリスト・ガロア、ある原稿の序文（1831） ガロアの六十年前、ラグランジュは方程式の根でできた式を調べ、根の場所を入れ替えたときにそれらがいくつの値をとるかを数えました。ガロアはさらに一歩進みました。式を見る代わりに、入れ替えそのものを見たのです。それもすべての入れ替えではなく、方程式が許すものだけを。 許される入れ替え 有理数を係数とする方程式をとり、その根を $a, b, c,\dots$ とします。根の間には、ある関係が成り立っています。$a+b=0$ や $a^2=2$ のような、有理数を係数とする正しい等式です。ガロアは方程式の群を、成り立つすべての関係を別の成り立つ関係に移すような、根の置換の集まりとして定義しました。 最も簡単な例は $x^2-2=0$ で、根は $a=\sqrt2$ と $b=-\sqrt2$ です。たとえば次の関係が成り立ちます。 $$a+b=0,\qquad ab=-2,\qquad a^2=2,\qquad b^2=2.$$$a$ と $b$ を入れ替えても、四つとも成り立ったままです。群の元は二つです。何も入れ替えないことと、二つの根を入れ替えることです。 $x^2-3x+2=0$ と比べてみましょう。根は $a=1$ と $b=2$ です。ここでは関係 $a=1$ が成り立ちます。根を入れ替えると $b=1$ となり、これは誤りです。だからこの入れ替えは許されず、群には恒等置換しかありません。これは偶然ではありません。 根の有理式が有理数であるのは、群のどの置換によっても変わらないとき、そしてそのときに限る。 これが理論の中心となる原理です。とくに、根がすべて有理数であるのは、群が恒等置換だけのとき、そしてそのときに限ります。群が大きいほど、根は深く「隠れて」いるのです。 四つの根、四つの入れ替え 方程式 $x^4-5x^2+6=0$ は $(x^2-2)(x^2-3)=0$ と因数分解できます。根は $$a=\sqrt2,\qquad b=-\sqrt2,\qquad c=\sqrt3,\qquad d=-\sqrt3.$$四つの根の並べ方は $4!=24$ 通りありますが、その大部分は何らかの関係をこわしてしまいます。たとえば $a$ と $c$ を入れ替えると、成り立つ関係 $a^2=2$ が $c^2=2$ になり、誤りになります。残るのは、$\sqrt2$ を $\pm\sqrt2$ に、$\sqrt3$ を $\pm\sqrt3$ に移す入れ替えだけです。 置換 $a$ の行き先 $c$ の行き先 恒等置換 $a$ $c$ $a\leftrightarrow b$ を入れ替え $b$ $c$ $c\leftrightarrow d$ を入れ替え $a$ $d$ 両方を入れ替え $b$ $d$ 群の元は、ありうる 24 個のうち四つです。4 次に見えたこの方程式は、実は独立な二つの平方根で解けるのであり、群がそれを示しています。

October 15, 2026 読んだ
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足し算でかけ算をする：二つの数列

2 のべきを一列に書き、その下に指数を書きます。 $$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$上の段は等比数列で、どの数も前の数の 2 倍です。下の段は等差数列で、どの数も前の数に 1 を足したものです。では $16\times64$ を計算してみましょう。16 の下は 4、64 の下は 6。足すと $4+6=10$。10 の上は 1024 です。たしかに $$16\times64=2^4\times2^6=2^{4+6}=2^{10}=1024.$$上でかけることは、下で足すことなのです。 これが法則 $2^a\times2^b=2^{a+b}$ であり、対数の考えのすべてです。 古い考え 紀元前 250 年ごろ、アルキメデスは『砂粒を数える者』で巨大な数を書く方法を考えたとき、すでにこの法則に気づいていました。1544 年、ドイツのミハエル・シュティーフェルは『算術全書』で、上のように二つの数列を並べ、等差数列での足し算は等比数列でのかけ算に、引き算は割り算に、2 で割ることは平方根をとることに対応すると書きました。

October 15, 2026 読んだ
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『原論』：定義、公準、公理

点とは部分をもたないものである。線とは幅のない長さである。 — ユークリッド『原論』第一巻、定義 1 と 2 三角形の角の和がいつも 180° になることを、疑いの余地なくだれかに納得させたいとしましょう。測るだけでは足りません。分度器には誤差があり、測れる三角形もいくつかにすぎません。必要なのは 論証 です。けれども、どんな論証もどこかから出発します。どこから出発すればよいのでしょう。どの主張も別の主張で正当化しなければならず、その主張もまた別の主張で、となれば、鎖は決して終わりません。 ユークリッドの解決は、最初のページで、どこから出発するのかを正確に宣言することでした。ほかのことはすべて証明しなければならないのです。 三つの部品 『原論』第一巻は三つのリストで始まります。 定義（第一巻に 23）：何について話すのかを述べる。「点とは部分をもたないものである」。「円とは一本の線に囲まれた平面図形で、その内部の一点からその線へ引いたすべての直線が等しいものである」。 公準（5）：幾何学で何ができるかについて、読者に認めてもらうこと。 公理（共通概念、5）：幾何学にかぎらず、どんな量についても成り立つ一般的な真理。 五つの 公準 を意訳すると、 任意の点から任意の点へ直線を引くことができる。 有限の直線を連続して一直線に延長することができる。 任意の中心と任意の半径で円を描くことができる。 すべての直角はたがいに等しい。 一本の直線が二本の直線と交わり、同じ側の内角の和が二直角より小さいならば、その二本の直線を限りなく延長すると、その側で交わる。 最初の三つは、目盛りのない定規 と コンパス でできること、つまり直線を引く、延長する、円を描くことを述べています。『原論』のすべての作図は、この二つの道具だけを使います。四つ目は直角が標準の尺度であることを保証します。五つ目はほかよりも長く、自明さも劣ります。これが有名な 平行線公準 です。 五つの 公理 は、 同じものに等しいものは、たがいに等しい。 等しいものに等しいものを加えれば、全体は等しい。 等しいものから等しいものを引けば、残りは等しい。 たがいに重なりあうものは、たがいに等しい。 全体は部分より大きい。 一つ目は、今日なら「$a=c$ かつ $b=c$ ならば $a=b$」と書くことです。これは 最初の命題 でさっそく使われます。 十三巻の地図 巻 内容 I 三角形、平行線、ピタゴラスの定理 II 幾何学的代数：長方形と正方形の面積 III、IV 円と内接多角形 V エウドクソスの比例論 VI 相似な図形 VII〜IX 数論：最大公約数、素数、完全数 X $\sqrt2$ のような通約できない量 XI〜XIII 立体幾何学と五つの正多面体 本は、正多面体がちょうど 五つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体しかないことを証明して終わります。プラトンはそれらを自然の元素と結びつけていて、本全体がそこにたどりつくために書かれたと考える人もいます。 円と取り尽くし法 第 12 巻は、とても古い問いに答えています。円の面積はいくらか。エジプト人にはやり方がありました。紀元前 1550 年ごろのリンド・パピルスでは、直径 9 の丸い畑の面積は一辺 8 の正方形の面積とされており、これは $\pi\approx\frac{256}{81}\approx3.16$ を使うのと同じです。聖書では、ソロモンの神殿の大きな青銅の「海」は「縁から縁まで十アンマ」で、「周囲は縄で測ると三十アンマ」でした（列王記上 7 章 23 節）。そこでは $\pi=3$ です。

October 14, 2026 読んだ
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ヘックス：なぜ先手が勝つのか

1948 年、プリンストンの数学棟の談話室では、教授や学生が午後にチェスや囲碁を打っていました。そこでジョン・ナッシュは新しいゲームを披露しました。盤はひし形で、ハチの巣のような六角形のマスで覆われています。赤と青の二人が交互に、一つずつ、空いたマスに石を置きます。石は二度と動きません。赤は上の辺と下の辺を赤い石の列でつなぎたい。青は左右の辺を青い石の列でつなぎたいのです。 仲間はこのゲームを「ナッシュ」と呼びました。彼は、デンマークのピート・ハインが 1942 年に Polygon という名前でこれを考案していたことを知りませんでした。1952 年、パーカー・ブラザーズ社が、今も残る名前で発売しました。ヘックス（Hex）です。 7×7 のヘックスの盤。赤の勝ち：黄色で強調した赤いマスの列が、上と下の辺をつないでいる。Euler’s Eyes 作図 引き分けは決してない 最初の驚くべき性質：ヘックスでは、埋まった盤には必ず勝者がいます。だれも列を作らずにすべてのマスを埋めることはできません。 直観はこうです。赤が上から下へ渡るのを止めるには、青は盤を端から端まで横切る「壁」が必要です。そして、一方の辺から他方の辺まで続く青いマスの壁は、まさに勝ちになる青い列です。赤が勝っていないなら、それは青にふさがれたからであり、ふさぐことは勝つことなのです。 これはマスが六角形であることによります。チェス盤のような正方形の盤では、二つのマスが角だけで接することがあり、色の違う二本の道が斜めに交差して、どちらも完成しないことがあります。六角形では各頂点で三つのマスが出会うので、そのような交差は起こりません。1979 年、数学者デイヴィッド・ゲールは、ヘックスに引き分けがないことがブラウワーの不動点定理と同値であることを示しました。ナッシュがゲームの均衡に使うのと同じ種類の結果です。 戦略の盗用 二つ目の性質はさらに奇妙です。ナッシュは、先手には必勝戦略があること、つまり完璧に打てば必ず勝てることを証明しました。しかし証明は、その戦略が何であるかを教えてくれません。戦略盗用と呼ばれるこの論法は、次のとおりです。 ゲームは有限で、引き分けがない。したがって二人のうちどちらかが必勝戦略をもつ。どの局面で何を打つかを決め、どんな守りに対しても勝ちを保証する規則である。 背理法のために、必勝戦略をもつのが後手だと仮定する。 すると先手はそれを「盗む」ことができる。最初に好きな手を打ち、あとは余分な石を無視して自分が後手であるかのようにふるまい、後手の必勝戦略に従う。 もし戦略が、余分な石のあるマスに打てと言ったら、どこか別のマスに打てばよい。その新しい石が余分な石になる。 ヘックスでは、盤上に石が一つ多くても不利になることはない。だから盗んだ戦略に従う先手は勝つ。 しかしこれは、後手が必勝戦略をもつという仮定に矛盾する。よって必勝戦略をもつのは先手である。 $$\boxed{\text{ヘックスでは、先手はいつでも勝てる。}}$$これは存在証明です。戦略が存在することは保証しますが、それを示しはしません。9×9 までの盤については、コンピューターが具体的な必勝戦略を見つけています。標準の 11×11 の盤については、だれも知りません。 パイ・ルール 先手が有利なので、ヘックスの大会ではパイ・ルールを使います。二人の子どもがパイを公平に分ける方法、一人が切り、もう一人が選ぶ、にならったものです。ヘックスでは、先手が最初の一手を打ち、後手はその手を色を入れ替えて引き取るか、そのままにするかを決めます。そこで先手は、よすぎず悪すぎない手を打つことになります。 練習問題：1×1 と 2×2 のヘックスの盤で、先手はどう勝つか。1×1 の盤では、ただ一つのマスが四つの辺すべてに接しているので、先手は最初の一手で勝ちます。2×2 の盤では、赤が先手なら、勝ちの一手はひし形の二つの鈍角の隅のマスのどちらかです。そのマスはもう一方の列の二つのマスの両方に接しており、青はそのうち一つしかふさげません。次の手で赤は列を完成させます。 練習問題：戦略盗用論法は三目並べで使えるか。チェスではどうか。三目並べでも石が一つ多くて不利になることはなく、論法は後手が必勝戦略をもてないことを示します。しかし三目並べは引き分けがありえて、実際、完璧に打てば引き分けになります。論法が保証するのは先手が負けないことだけです。チェスでは論法は最初から成り立ちません。駒が一つ多いことが不利になりうるからです。動かなければならないこと自体が不利になる、いわゆるツークツワンクです。 出典： David Gale、“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”、The American Mathematical Monthly 86（1979）· Martin Gardner、“The game of Hex”、Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions（Chicago、1988）所収 · Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）、第 11 章。

October 14, 2026 読んだ
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ムッシュー・ルブランの手紙：余りの算術

1804 年にソフィー・ジェルマンがガウスに手紙を書いたとき、二人は生まれたばかりのことばで話していました。その三年前、『整数論』のなかでガウスは新しい記号 $\equiv$ と、整数についての新しい考え方を導入していました。数が何であるかではなく、わり算でどんな余りを残すかで考えるのです。ソフィーがのちにフェルマーについて書いたことは、すべてこのことばで書かれています。学んでおく価値があります。 時計の算術 今 9 時なら、5 時間後は何時でしょうか。針のある時計で 14 と答える人はいません。2 と答えます。時計は 12 でわった余りだけをおぼえているのです。ガウスはこれを $$14\equiv2\pmod{12}$$と書きました。「14 は 12 を法として 2 と合同」と読みます。一般に $a\equiv b\pmod m$ は、$a$ と $b$ を $m$ でわった余りが等しい、つまり $a-b$ が $m$ の倍数であることを意味します。 大きな利点は、合同式が等式のように足したりかけたりできることです。$a\equiv b$ かつ $c\equiv d\pmod m$ なら、 $$a+c\equiv b+d\qquad\text{かつ}\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod m.$$これで、計算の途中で巨大な数を小さな余りに置きかえられます。たとえば、$7^{100}$ の一の位は何でしょうか。一の位は 10 でわった余りです。7 のべきの一の位は $7, 9, 3, 1$ とくり返します。$7^4=2401\equiv1\pmod{10}$ だからです。よって $$7^{100}=\left(7^4\right)^{25}\equiv1^{25}=1\pmod{10}.$$$7^{100}$ は 85 けたの数ですが、ほかのけたを一つも計算せずに、最後のけたがわかります。 よく選ばれた記号 ガウスは、合同と等号のあいだに大きな類似があるので $\equiv$ を選んだ、と説明しています。この記号は $=$ より線が一本多く、等しいのは「余りに関してだけ」だと注意しているかのようです。歴史上もっとも成功した記法の一つで、数十年のうちにだれもが使うようになりました。 べきと余り ガウスの、そしてのちにソフィーのお気に入りのテーマは、素数を法とするべきでした。素数 $p=7$ をとり、それぞれの数を 3 乗して、7 でわった余りだけを残してみましょう。

October 14, 2026 読んだ
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光電効果：光はかたまりでやってくる

それは放射と光のエネルギー的性質を扱っていて、とても革命的です。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年 5 月） 1905 年 5 月、アインシュタインは友人コンラート・ハビヒトに手紙を書き、四つの論文を予告しました。四つのうち彼が革命的と呼んだのはひとつだけで、それは相対性理論ではなく、3 月に『物理学年報』に送った光の論文でした。アインシュタインがノーベル賞を受けたのは、この論文によってです。 光と金属のなぞ 十九世紀の終わり、物理学者たちは光が電磁波であることを知っていました。また、光がある種の金属に当たると、表面から電子をたたき出すことも知っていました。これが 光電効果 で、1902 年にフィリップ・レーナルトがくわしく調べました。ところがこの効果には、波の理論では説明できない三つの特徴がありました。 色が大事で、明るさは関係ない。 紫外線は亜鉛から電子をたたき出すが、赤い光はどれほど強くてもひとつも出さない。 電子一つひとつのエネルギーは色だけで決まる。 強い光は より多くの 電子をたたき出すが、どの電子も同じ最大エネルギーで飛び出す。 待ち時間がない。 ごく弱い光でも、最初の電子はすぐに飛び出す。 波では、エネルギーは波面になめらかに広がります。強い波なら、色に関係なく電子を激しくゆさぶるはずですし、弱い波なら十分なエネルギーをためるのに時間がかかるはずです。そのどれも起こりませんでした。 エネルギーのかたまり 1900 年、マックス・プランクは、熱い物体が出す光の正しい式を、自分でもあやしいと思っていた数学的なこつで見つけていました。エネルギーは 量子 という単位でやりとりされ、ひとつの量子のエネルギーは $$E=hf$$だと仮定したのです。$f$ は光の振動数、$h\approx6.626\times10^{-34}$ J·s は プランク定数 です。プランクにとって、それは計算上の工夫にすぎませんでした。 アインシュタインはこの考えを本気で受けとりました。光そのものが、エネルギー $hf$ のかたまりでできている。のちにそれは 光子 と呼ばれます。これで三つのなぞが一度に解けます。電子は光子を ひとつ 吸収するとたたき出されます。金属から出るには、仕事関数 と呼ばれる金属ごとに決まった最小のエネルギー $\phi$ を使います。残りが運動のエネルギーになります。 $$\boxed{K_{\max}=hf-\phi.}$$ $hf<\phi$ なら、光子一つでは電子をたたき出すエネルギーが足りず、光子を増やしてもむだです。振動数の低い赤い光ではだめなのです。 電子一つひとつのエネルギーは $f$、つまり色で決まります。強さが変えるのは光子の 数 であり、したがって電子の数です。 光子一つで足りるので、待ち時間はありません。 電子ボルトで計算する 原子にとって、ジュールは大きすぎる単位です。そこで 電子ボルト（eV）を使います。電子が 1 ボルトの電圧を通りぬけるときに得るエネルギーで、$1\ \text{eV}\approx1.602\times10^{-19}$ J です。振動数を波長 $\lambda$ で $f=c/\lambda$ と書くと、便利な目安があります。 $$E=\frac{hc}{\lambda}\approx\frac{1240\ \text{eV·nm}}{\lambda}.$$$\phi=2.0$ eV の金属では、$\lambda=400$ nm の紫の光の光子は $\frac{1240}{400}=3.1$ eV で、電子は最大 $3.1-2.0=1.1$ eV で飛び出します。$700$ nm の赤い光の光子は $\frac{1240}{700}\approx1.77$ eV で 2.0 eV に届かず、投光器を使っても電子はひとつも出ません。

October 14, 2026 読んだ