热尔曼定理与费马大定理
大约在 1637 年，皮埃尔·德·费马在一本书的页边写道，当 $n$ 大于 2 时，方程
$$x^n+y^n=z^n$$没有正整数解，并说他有一个绝妙的证明，可惜页边太窄写不下。这就是费马大定理。没有人找到过他的证明，这个问题直到 1994 年才由安德鲁·怀尔斯解决。
到 1800 年为止，进展很有限。费马证明了 $n=4$ 的情形，欧拉证明了 $n=3$ 的情形。只需研究素数指数 $n=p$ 就够了，但每个素数都需要专门的技巧，没有人能越过 3。索菲·热尔曼是第一个一次就对无穷多个指数证明了某种结论的人。
两种情形 索菲把问题分成两部分。假设存在一个解 $x^p+y^p=z^p$。要么 $x$、$y$、$z$ 三个数都不是 $p$ 的倍数，今天称为第一情形；要么其中某个是，称为第二情形。她的定理处理的是第一情形。
热尔曼定理。 如果 $p$ 是奇素数，且 $2p+1$ 也是素数，那么不存在都不是 $p$ 的倍数的整数 $x, y, z$，使得 $x^p+y^p=z^p$。
$2p+1$ 也是素数的素数 $p$，今天称为索菲·热尔曼素数：$3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$
以 p = 5 为例的思路 我们来看 $p=5$ 时证明的核心，这时 $2p+1=11$。假设 $x^5+y^5=z^5$。把一切都放到模 11 下来看。正如我们在写给高斯的信中看到的，五次幂模 11 只能是 $0$、$1$ 或 $-1$。
如果三个数都不是 11 的倍数，三个五次幂就都是 $\pm1$。但两个 $\pm1$ 之和只能是 $-2$、$0$ 或 $2$，而这些模 11 都不是 $\pm1$：
