打乱方程的根：方程的群
双脚并拢跳过计算；把运算分组，按照它们的难度而不是形式来分类：在我看来，这就是未来几何学家的使命。
— 埃瓦里斯特·伽罗瓦，一份手稿的序言（1831） 在伽罗瓦之前六十年，拉格朗日研究过由方程的根构成的表达式，并计算了当根交换位置时它们取多少个值。伽罗瓦更进了一步。他不再看表达式，而是看交换本身。而且不是所有的交换：只看方程允许的那些。
允许的交换 取一个有理系数的方程，把它的根记作 $a, b, c,\dots$ 根之间成立某些关系：系数为有理数的真等式，比如 $a+b=0$ 或 $a^2=2$。伽罗瓦把方程的群定义为根的这样一些置换的集合：它们把每一个成立的关系都变成另一个成立的关系。
最简单的例子是 $x^2-2=0$，根为 $a=\sqrt2$ 和 $b=-\sqrt2$。例如，下列关系成立：
$$a+b=0,\qquad ab=-2,\qquad a^2=2,\qquad b^2=2.$$把 $a$ 和 $b$ 交换，四个关系仍然成立。这个群有两个元素：什么都不换，以及交换两个根。
与 $x^2-3x+2=0$ 比较，它的根是 $a=1$ 和 $b=2$。这里关系 $a=1$ 成立。交换两个根，它变成 $b=1$，这是错的。所以这个交换不被允许，群里只有恒等置换。这并非偶然：
根的一个有理表达式是有理数，当且仅当群中没有任何置换改变它。
这是整个理论的核心原理。特别地，当且仅当群只有恒等置换时，所有的根都是有理数。群越大，根就"藏"得越深。
四个根，四种交换 方程 $x^4-5x^2+6=0$ 可以分解为 $(x^2-2)(x^2-3)=0$。它的根是
$$a=\sqrt2,\qquad b=-\sqrt2,\qquad c=\sqrt3,\qquad d=-\sqrt3.$$四个根有 $4!=24$ 种打乱方式，但其中大多数会破坏某个关系。例如，交换 $a$ 和 $c$ 会把成立的关系 $a^2=2$ 变成错误的 $c^2=2$。只剩下把 $\sqrt2$ 变为 $\pm\sqrt2$、把 $\sqrt3$ 变为 $\pm\sqrt3$ 的那些交换：
置换 $a$ 变为 $c$ 变为 恒等 $a$ $c$ 交换 $a\leftrightarrow b$ $b$ $c$ 交换 $c\leftrightarrow d$ $a$ $d$ 两个都交换 $b$ $d$ 这个群有四个元素，而可能的置换有 24 个。这个看上去是四次的方程，实际上用两个相互独立的平方根就能解出，群把这一点显示了出来。
