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光电效应:光是一份一份的

它讨论辐射和光的能量性质,非常具有革命性。 — 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信(1905 年 5 月) 1905 年 5 月,爱因斯坦写信给朋友康拉德·哈比希特,预告了四篇论文。四篇中他只称一篇为革命性的,而那不是相对论,而是 3 月寄给《物理学年鉴》的关于光的论文。爱因斯坦正是因为这篇论文获得了诺贝尔奖。 光与金属之谜 十九世纪末,物理学家已经知道光是电磁波。他们也知道,光照到某些金属上时,会把电子从表面打出来:这就是 光电效应,菲利普·莱纳德在 1902 年对它做了详细研究。但这个效应有三个特点是波动理论解释不了的: 颜色要紧,亮度不要紧。 紫外光能从锌中打出电子;红光无论多强,一个也打不出。 每个电子的能量只取决于颜色。 更强的光打出 更多 电子,但每个电子出来时的最大能量都一样。 没有等待。 即使光非常弱,第一批电子也立即飞出。 在波里,能量平滑地分布在波阵面上。强波应该把电子摇得更厉害,不论什么颜色;弱波则应该需要一段时间来积累足够的能量。这些都没有发生。 一包一包的能量 1900 年,马克斯·普朗克用一个连他自己都不太相信的数学技巧,找到了热物体发光的正确公式:他假设能量是一份一份交换的,即 量子,每份能量为 $$E=hf,$$其中 $f$ 是光的频率,$h\approx6.626\times10^{-34}$ J·s 是 普朗克常数。对普朗克来说,这只是一个计算手段。 爱因斯坦把这个想法当了真:光本身就是由能量为 $hf$ 的一包包能量组成的,后来它们被称为 光子。这样,三个谜一下子都解开了。电子吸收 一个 光子就被打出。为了离开金属,它要消耗一个最小能量 $\phi$,叫作 逸出功,由金属决定。剩下的变成运动的能量: $$\boxed{K_{\max}=hf-\phi.}$$ 如果 $hf<\phi$,单个光子没有足够的能量打出电子,再多的光子也无济于事:频率低的红光不起作用。 每个电子的能量取决于 $f$,即颜色;强度只改变光子的 数目,因而改变电子的数目。 一个光子就够了,所以没有等待时间。 以电子伏特计算 对原子来说,焦耳是一个巨大的单位。人们用 电子伏特(eV),即一个电子穿过 1 伏电压所获得的能量:$1\ \text{eV}\approx1.602\times10^{-19}$ J。把频率写成 $f=c/\lambda$,$\lambda$ 为波长,有一条实用的规则: $$E=\frac{hc}{\lambda}\approx\frac{1240\ \text{eV·nm}}{\lambda}.$$对逸出功 $\phi=2.0$ eV 的金属,$\lambda=400$ nm 的紫光光子能量为 $\frac{1240}{400}=3.1$ eV,电子出来时的能量最多为 $3.1-2.0=1.1$ eV。$700$ nm 的红光光子能量为 $\frac{1240}{700}\approx1.77$ eV,低于 2.0 eV:一个电子也出不来,即使用探照灯也不行。

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勒布朗先生的信:余数的算术

1804 年索菲·热尔曼给高斯写信时,两人说的是一种刚刚诞生的语言。三年前,在《算术研究》中,高斯引入了一个新符号 $\equiv$,以及一种看待整数的新方式:不看它们是什么,而看它们在除法中留下的余数。索菲后来关于费马的所有工作,都是用这种语言写成的。值得学一学。 钟表上的算术 如果现在是 9 点,5 小时后是几点?看指针表盘的人不会回答 14,而会回答 2。钟表只记住除以 12 的余数。高斯把它写成 $$14\equiv2\pmod{12},$$读作“14 模 12 同余于 2”。一般地,$a\equiv b\pmod m$ 表示 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 余数相同,也就是 $a-b$ 是 $m$ 的倍数。 最大的好处是,同余式可以像等式一样相加、相乘。如果 $a\equiv b$ 且 $c\equiv d\pmod m$,那么 $$a+c\equiv b+d\qquad\text{且}\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod m.$$这样就可以在计算中途用很小的余数代替巨大的数。例如,$7^{100}$ 的个位数是多少?个位数就是除以 10 的余数。7 的幂的个位依次是 $7, 9, 3, 1$,然后循环,因为 $7^4=2401\equiv1\pmod{10}$。所以 $$7^{100}=\left(7^4\right)^{25}\equiv1^{25}=1\pmod{10}.$$$7^{100}$ 有 85 位,我们不用算出其他任何一位,就知道了最后一位。 精心挑选的符号 高斯解释说,他选择 $\equiv$ 是因为同余和相等之间有很大的相似性。这个符号比 $=$ 多一横,好像在提醒:这种相等只是“就余数而言”。这是历史上最成功的记号之一:几十年之内,人人都在用它。 幂与余数 高斯最喜欢的题目,后来也是索菲最喜欢的,是模一个素数的幂。取素数 $p=7$,把每个数立方,只保留除以 7 的余数:

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变分法:一位十九岁青年的信

牛顿和莱布尼茨的微积分会找曲线的最高点:就在导数为零的地方。但还有另一类问题。两点之间最短的路是什么?滑梯做成什么形状,小球滑下来最快?一根挂着的链子是什么曲线?在这些问题里,答案不是一个数,而是一整条曲线,要从无穷多条可能的曲线中挑出来。 最速降线 1696 年,约翰·伯努利向全欧洲的数学家发出挑战。给定两点 $A$ 和 $B$,$B$ 比 $A$ 低,但不在 $A$ 的正下方。一个小球只靠自身重量、无摩擦地滑行,沿哪条曲线从 $A$ 到 $B$ 用时最短?这个问题的名字来自希腊语:brachistos 意为最短,chronos 意为时间。 直线是最短的路,却不是最快的。一开始陡一点往下冲,早点获得速度,即使路程变长也划算。约翰、他的哥哥雅各布、莱布尼茨、洛必达,还有一位大家都认出是牛顿的匿名作者回应了挑战。答案是摆线,即滚动的轮子上一点所画出的曲线。 每个解法都是一个各不相同的巧妙技巧。例如约翰把小球想象成一束光,穿过密度越来越小的一层层玻璃,用的是折射定律。还缺一个一般的方法。 欧拉的方法 欧拉花了多年寻找这种方法,并在 1744 年把它发表在一本名为《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》的书中。思路是几何的:用一个边数很多的多边形代替曲线,只移动其中一个顶点,看看要优化的量如何变化。这个方法管用,但计算冗长,而且每个问题都需要单独画一幅图。 1755 年的信 1755 年 8 月 12 日,欧拉收到一封来自都灵、一位 19 岁无名青年的信。拉格朗日提出了另一种做法:不去移动一个顶点,而是一次改变整条曲线。如果 $y(x)$ 是要找的曲线,他考虑一条邻近的曲线 $$y(x)+\delta y(x),$$其中 $\delta y$ 是一个小扰动,在两端为零,因为端点 $A$ 和 $B$ 是固定的。$\delta$ 是希腊字母的 d,这是个新符号:它表示函数的变化,正如莱布尼茨的 $d$ 表示变量的变化。 这类问题中,许多都要求让一个积分取最小或最大值: $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$其中 $F$ 依赖于点的位置、曲线的高度和它的斜率。例如,曲线的长度是 $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx.$$方程 拉格朗日的计算只需三步。第一步,积分的变化等于 $y$ 和 $y'$ 的变化各自引起的变化之和: $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二步,由于 $\delta y'$ 是 $\delta y$ 的导数,分部积分可以把导数转移到另一个因子上。边界项消失了,因为 $\delta y$ 在两端为零:

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悬链线:悬挂的链子

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.(柔软的线怎样悬垂,刚硬的拱倒过来就怎样站立。) — 罗伯特·胡克,1705 年破解的字谜 拿一根细链子的两端,让它自然下垂。它会形成一条漂亮的曲线,看上去像抛物线。1638 年,伽利略认为它确实是抛物线,至少近似如此。荷兰人克里斯蒂安·惠更斯 17 岁时就证明了它不可能是。但它到底是什么曲线,没有人知道。 1690 年 5 月,雅各布·伯努利在《学者学报》上把这个问题作为挑战提给读者。他自己试了一年,没有成功。1691 年 6 月发表了三份正确的解答:莱布尼茨的、时年 62 岁的惠更斯的,以及雅各布最小的弟弟、24 岁的约翰的。约翰从不让人忘记这件事: 我哥哥的努力没有成功。至于我,我更幸运一些,因为我找到了完整解决它的本领——我说这话并非自夸,何必隐瞒真相呢?诚然,这番钻研让我整整一夜不得安歇。 — 约翰·伯努利致皮埃尔·雷蒙·德·蒙莫尔的信(1718) 看链子的一段 诀窍是不看整条链子,而只看其中一段。把原点放在最低点,$y$ 轴朝上,考虑从最低点到右边某点 $P$ 的那一段。 这一段静止不动,所以作用在它上面的力是平衡的。共有三个力: 在最低点,链子以水平力 $H$ 向左拉; 在 $P$ 点,链子沿切线方向以力 $T$ 拉; 这一段的重量 $w\,s$,其中 $w$ 是每米的重量,$s$ 是这一段的长度。 水平方向上,$T$ 的水平分量与 $H$ 平衡;竖直方向上,$T$ 的竖直分量与重量平衡。由于 $T$ 沿切线方向,两个分量之比就是斜率 $y'$: $$y'=\frac{\text{竖直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ 具有长度的量纲,衡量链子被拉得有多紧。 链子的方程 现在对 $x$ 求导。由毕达哥拉斯定理应用于曲线的一小段,长度的增长率是 $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$。于是 $$y''=\frac1a\sqrt{1+y'^2}.$$令 $u=y'$,分离变量: $$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{a}.$$左边的积分是 $\operatorname{arsinh}u$,即 双曲正弦 $\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2$ 的反函数。由于最低点的斜率为零,$u(0)=0$,所以

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永不停止的利息与数 e

想象一家慷慨的银行,年利率 100%。你一月存入 1 元,到十二月就有 2 元。现在银行换个方式:不在年底一次付 100%,而是每半年付 50%,上半年的利息在下半年也能生息。这样划算吗?如果每月付、每天付、每秒付呢?能变得无限富有吗? 这正是雅各布·伯努利在 1683 年前后问自己的问题,他在 1690 年把它发表在《学者学报》上。它看上去像记账,答案却是数学中最重要的数之一。 算一算 如果把一年分成 $n$ 个相等的时段,每个时段付 $\frac{100\%}{n}$,也就是余额乘以 $1+\frac1n$。经过 $n$ 个时段后,1 元变成 $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$分两个时段,$a_2=1.5^2=2.25$,比 2 多。时段越多,结果越好: 付息方式 $n$ 年末余额 一次 1 2.000000 每半年 2 2.250000 每季度 4 2.441406 每月 12 2.613035 每天 365 2.714567 每小时 8 760 2.718127 余额在增长,但增长得越来越少。从按月付息改成按天付息,只多出大约一角钱;从按天改成按小时,还不到半分钱。余额似乎在逼近 $2.718$ 附近的一个上限。 为什么有上限 伯努利还没有今天意义上的"极限"一词,但他有 牛顿二项式。展开 $a_n$: $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$把每一项整理一下, $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$当 $n$ 增大时发生两件事。括号 $\left(1-\frac kn\right)$ 越来越接近 1,所以每一项都在 变大;同时又出现新的项,而且都是正的。因此 $a_n$ 只增不减。另一方面,每个括号都小于 1,所以 $$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$而这个和很容易控制:因为 $3!=6>4$,$4!=24>8$,一般地 $k!\geq 2^{k-1}$, $$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$伯努利得出的正是这个结论:余额一直上升,但 始终介于 2 和 3 之间。不管银行把一年分得多细,1 元永远变不成 3 元。一个只增不减又越不过上限的数列,一定会趋近某个值:

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海克斯棋:为什么先手必胜

1948 年,在普林斯顿数学楼的公共休息室里,教授和学生们下午常在这里下国际象棋和围棋,约翰·纳什拿出了一种新游戏。棋盘是一个菱形,铺满了像蜂巢一样的六边形格子。红、蓝两位棋手轮流在空格上落子,每次一枚。棋子落下后永不移动。红方要用一串红子连接上下两条边;蓝方要用一串蓝子连接左右两条边。 同学们把这种游戏叫做"纳什"。他并不知道,丹麦人皮特·海恩早在 1942 年就发明了它,取名 Polygon。1952 年,帕克兄弟公司以一个流传至今的名字推出了它:海克斯(Hex)。 7×7 的海克斯棋盘。红方获胜:一串用黄色标出的红色格子连接了上下两边。Euler’s Eyes 绘图 永远不会平局 第一个令人惊讶的性质:在海克斯棋中,下满的棋盘总有一位胜者。不可能把所有格子填满而谁都没有连成。 直觉是这样的:要阻止红方从上连到下,蓝方需要一道从一边切到另一边的"屏障"。而一道从一边通到另一边的蓝色屏障,恰恰就是一串获胜的蓝色链条。如果红方没有赢,那是因为蓝方挡住了它,而挡住就是赢。 这依赖于格子是六边形。在国际象棋那样的正方形棋盘上,两个格子可以只在角上相接,两条不同颜色的路径可以沿对角线交叉,谁也连不成。而在六边形中,每个顶点处恰好有三个格子相遇,这样的交叉是不可能的。1979 年,数学家大卫·盖尔证明,海克斯棋没有平局这一事实与布劳威尔不动点定理等价,而纳什在博弈均衡中用到的正是这类结果。 策略窃取 第二个性质更奇怪。纳什证明了先手有必胜策略:只要下得完美,他总能赢。但证明并没有说这个策略是什么。这个论证叫做策略窃取,过程如下: 游戏是有限的,并且没有平局。所以两位棋手中必有一位有必胜策略:一套规则,告诉他在每种局面下怎么走,并保证无论对方怎么防守都能获胜。 用反证法,假设拥有必胜策略的是后手。 那么先手可以把它"偷"过来。他随便走第一步,然后假装自己是后手,无视那枚多出来的棋子,按照后手的必胜策略下棋。 如果某一刻策略要求下在那枚多余棋子所在的格子,他就随便下在别的格子上,这枚新棋子成为新的多余棋子。 在海克斯棋中,盘面上多一枚子永远不会吃亏。所以先手按照偷来的策略下棋,一定获胜。 但这与"后手有必胜策略"的假设矛盾。因此拥有必胜策略的是先手。 $$\boxed{\text{在海克斯棋中,先手总能获胜。}}$$这是一个存在性证明:它保证策略存在,却不把它展示出来。对于不超过 9×9 的棋盘,计算机已经找到了明确的必胜策略。对于标准的 11×11 棋盘,没有人知道它是什么。 馅饼规则 由于先手占优,海克斯棋比赛采用馅饼规则,灵感来自两个孩子公平分馅饼的方法:一个切,一个选。在海克斯棋中,先手走第一步,后手决定是接过这一步、交换颜色,还是保持原样。于是先手会倾向于走一步不太好也不太坏的棋。 练习:在 1×1 和 2×2 的海克斯棋盘上,先手怎样获胜?在 1×1 的棋盘上,唯一的格子同时接触四条边:先手第一步就赢了。在 2×2 的棋盘上,如果红方先走,制胜的一步是菱形两个钝角处的格子之一:每个这样的格子都与另一行的两个格子相邻,而蓝方只能占住其中一个。下一步,红方就连成了链。 练习:策略窃取论证适用于井字棋吗?国际象棋呢?在井字棋中,多一枚子同样不会吃亏,论证表明后手不可能有必胜策略。但井字棋可以平局,而且在完美对弈下确实是平局:论证只保证先手不会输。在国际象棋中,论证一开始就失效了:多一枚子可能吃亏,因为有时候必须走棋反而是劣势,即所谓"楚茨文格"(zugzwang)。 来源: David Gale,“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”,The American Mathematical Monthly 86(1979)· Martin Gardner,“The game of Hex”,收于 Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions(Chicago,1988)· Sylvia Nasar,A Beautiful Mind(Simon & Schuster,1998),第 11 章。

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颜色:陀螺与格子呢丝带

因此,颜色科学本质上必须被看作一门心智的科学。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦,《颜色实验》(1855) 从牛顿起人们就知道,白光是彩虹所有颜色的混合。但我们 看到 的颜色是另一回事:它取决于眼睛和大脑。英国医生托马斯·杨在 1802 年提出,眼睛只有 三种 感受器,我们感知到的一切颜色都是这三种响应的组合。这是一个大胆的、没有证据的假说。24 岁的麦克斯韦把它变成了数学。 颜色陀螺 麦克斯韦用了一个陀螺,上面套着几张彩色纸盘,可以露出每种颜色的可调比例:多少红、多少绿、多少蓝。陀螺快速旋转时,眼睛分辨不出各个扇形,只看到一种颜色,即混合色。中间还有一个由其他颜色组成的小圆盘一起旋转。 调整比例时,麦克斯韦寻找使外圈和内盘看起来 一样 的组合。例如,一定比例的红、绿、蓝,会得到与黑白混合相同的灰色。记下每个扇形的角度,他就得到一个 颜色方程,就像代数方程一样: $$0.37\,\text{红}+0.27\,\text{绿}+0.36\,\text{蓝}=0.28\,\text{白}+0.72\,\text{黑}.$$这个例子里的数字只是示意,但形式就是麦克斯韦表格的形式。伟大的发现在于,这些方程的行为和代数方程一样:可以相加、乘以数、互相组合,而预测结果与眼睛看到的一致。 颜色是矢量 这意味着一束彩色的光可以用 三个数 来表示,即三种基色光的量,把它们加起来就能模仿这束光: $$\mathbf C=(R,G,B).$$两束光叠加,就是两个矢量逐个分量相加。红加绿: $$(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0),$$眼睛看到的是 黄色,尽管混合中并没有黄光。红加绿加蓝,$(1,1,1)$,得到白色。亮度加倍,就是把矢量乘以 2。麦克斯韦把这些颜色画在一个三角形里,三种基色在三个顶点:三角形里的每一点都是一种混合,彩虹的纯色则排在周围的一条曲线上。这就是今天用来校准显示器和相机的色度图的前身。 背后的原因是,视网膜上三种视锥细胞各自对很宽的一段波长有响应。第 $i$ 种视锥对光谱为 $I(\lambda)$ 的光的响应是 $$C_i=\int I(\lambda)\,s_i(\lambda)\,d\lambda,$$其中 $s_i(\lambda)$ 是该视锥的灵敏度。任何一束光,不论包含多少频率,到达大脑时都被简化成三个数。两束光谱完全不同的光,可能给出相同的三个数,看起来 一模一样。它们叫作 同色异谱,正是因为有它们,一块只有三种像素的屏幕才能显示几乎所有颜色。 第一张彩色照片:一条格子呢丝带,麦克斯韦于 1861 年 5 月 17 日展示。它是把分别透过红、绿、蓝滤镜拍摄的三张黑白照片投影叠加而成的。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦与托马斯·萨顿,1861 · Wikimedia Commons · 公有领域 第一张彩色照片 既然三个数就够了,那么三张照片也就够了。1861 年 5 月 17 日,麦克斯韦在伦敦皇家研究院的一次讲座上演示了这个想法。摄影师托马斯·萨顿把一条苏格兰格子呢丝带拍了三次,每次透过一个滤镜:红、绿、蓝。三张黑白底片由三台幻灯机投到幕布上,每台配着对应的滤镜,叠在一起。观众看到了彩色的丝带。 这是历史上第一张彩色照片,其原理与今天的数码相机相同,相机的传感器上就有红、绿、蓝滤镜。 胶片看不见的红色 一百年后的 1961 年,柯达公司的科学家试图重复这个实验,却发现了一个谜:1861 年的照相底片 对红光不敏感。那么麦克斯韦的照片怎么能显示红色?答案是:丝带的红布也反射紫外线,红色滤镜让它通过,底片记录了下来。碰巧,紫外线扮演了红光的角色。

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帕斯卡三角形:用加法搭起来

写一个 $1$。在它下面写两个 $1$。从此以后,每一行都以 $1$ 开头、以 $1$ 结尾,中间的每个数都是它正上方两个数之和: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$就这么简单。一条孩子一分钟就能学会的规则,造出了数学中内容最丰富的数表之一。今天它被称为帕斯卡三角形,在中国叫作杨辉三角。而帕斯卡其实是最后一批发现它的人之一。 一个有许多主人的三角形 在印度,大约公元前 2 世纪,诗人宾伽罗在计算一行诗中长短音节的组合方式时,得到了同样的数。10 世纪,注释家哈拉尤达画出了这张表,称它为 Meru-prastara,意思是“须弥山的阶梯”。 在巴格达,大约公元 1000 年,卡拉吉用这个三角形展开像 $(a+b)^5$ 这样的乘方。他的书失传了,但一个半世纪之后,大约在 1150 年,萨马瓦尔抄录了这张表和推理过程,并注明出自卡拉吉。在波斯,这个三角形也和诗人兼数学家欧玛尔·海亚姆联系在一起。 在中国,贾宪大约在 1050 年用它来开方。杨辉在 1261 年把它收入书中,朱世杰又在 1303 年的《四元玉鉴》中画出了它,数字用算筹写成。 朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国,它被称为杨辉三角或贾宪三角。朱世杰,《四元玉鉴》(1303) · Wikimedia Commons · 公有领域 在欧洲,这个三角形于 1527 年首次印在彼得鲁斯·阿皮亚努斯一本算术书的封面上。之后,米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年、尼科洛·塔尔塔利亚在 1556 年都用过它。直到今天,它在意大利叫塔尔塔利亚三角形,在伊朗叫海亚姆三角形,在中国叫杨辉三角。 帕斯卡的论文 1654 年,帕斯卡在和费马讨论赌注问题的同时,写成了《算术三角形论》,有法文和拉丁文两个版本。论文是这样开头的: 算术三角形这样构造:从任意一点 Z 画两条互相垂直的直线 ZL 和 ZT,在每条直线上标出任意多个相等的部分。 — 布莱兹·帕斯卡,《算术三角形》(1654) 这篇论文拉丁文版的第一页,这是已知的唯一一份,收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 帕斯卡的三角形其实是一张阶梯形的方格表。他把每个小方格叫作单元格,把行叫作平行列,把列叫作垂直列,把对角线叫作底。每个单元格等于它上方的格子加上它左边的格子,这和我们今天用的规则是一样的,只是转了个方向。

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费马与解析几何:方程中的曲线

将近两千年里,几何与代数各自为政。希腊几何用直尺、圆规和图形工作;经阿拉伯人传入欧洲的代数则用方程工作。17 世纪初,有两个人在同一时间、互不商量地想到了把它们结合起来:勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马。 开创一个领域的一句话 大约 1636 年,费马用拉丁文写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》。“轨迹”是希腊人对满足某个条件的点的集合的称呼,比如圆,就是到圆心距离固定的点的轨迹。文章一开头,费马写道: 每当在最终方程中出现两个未知量时,我们就得到一条轨迹,其中一个未知量的端点描出一条直线或曲线。 — 费马,《平面与立体轨迹引论》 换句话说:一个含两个未知数的方程就是一条曲线。每个解 $(x,y)$ 是一个点,所有的解合在一起构成一幅图。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 谁先想到的? 费马的文章从 1636 年起以手抄本形式流传,但直到他去世后的 1679 年才付印。笛卡儿的《几何学》于 1637 年作为《方法论》的附录出版,赢得了名声。如今历史学家承认两人都是解析几何的独立创立者。 直线 费马沿用韦达的写法,用元音字母表示未知数,用辅音字母表示已知数。直线被写成 “D in A aequetur B in E”,用今天的记号就是 $$D\cdot x=B\cdot y.$$解出 $y$:$y=\dfrac DB\,x$。这是一条过原点、斜率为 $\dfrac DB$ 的直线。费马证明了:关于 $x$ 和 $y$ 的每个一次方程都表示一条直线,每个二次方程都表示一条圆锥曲线:抛物线、椭圆、双曲线或圆。 抛物线 考虑坐标满足下式的点: $$y=x^2.$$$x=-2$ 时 $y=4$;$x=0$ 时 $y=0$;$x=2$ 时 $y=4$。描出许多点,就出现一条抛物线。方程的作用远不止生成一张表:不用画图,它就能告诉我们一个点是否在曲线上。点 $(3,9)$ 在,因为 $9=3^2$;点 $(2,5)$ 不在,因为 $5\neq2^2$。 两条曲线的交点 当我们想知道两个图形在哪里相交时,巨大的优势就显现出来了。用尺规作图,这可能非常困难;用方程,只需要求这个点同时满足两个方程。 抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=2x+3$ 在哪里相交?令两者相等:

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莱布尼茨的记号:描述变化的语言

在符号中可以看到一种有利于发现的优点:当符号简洁地表达出事物的确切本性,仿佛把它描绘出来时,这种优点最大;这时,思考的劳动便奇妙地减少了。 — 莱布尼茨致契恩豪斯的信(1678) 牛顿最先得到了微积分,但决定它怎么写的是莱布尼茨。而写法造成了天壤之别。 字母 d 1675 年 11 月 11 日,莱布尼茨在巴黎写的一份手稿中开始用字母 $d$ 表示一个无穷小的差。$d$ 来自拉丁文 differentia,源于动词 differre,意为“分开”。于是: $dx$ 是 $x$ 的两个非常接近的值之间的微小差; $dy$ 是 $y$ 相应的差; $\dfrac{dy}{dx}$ 是它们的比:$x$ 每变化一点点,$y$ 变化多少。 “微分学”(differential calculus)的名称由此而来:关于差的计算。 用 dx 来计算 莱布尼茨把 $dx$ 和 $dy$ 当作真正的量,只不过是无穷小的量。对于 $y=x^2$,如果 $x$ 变为 $x+dx$,那么 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$由于 $(dx)^2$ 比 $dx$ 无穷地小,他把它略去,得到 $dy=2x\,dx$,即 $$\frac{dy}{dx}=2x.$$这与牛顿用流数所做的计算相同,只是写法不同。今天我们用极限来说明“略去 $(dx)^2$”的合理性:有限差之比为 $2x+h$,当 $h\to0$ 时趋于 $2x$。 1684 年的论文 莱布尼茨 1684 年 10 月发表于《博学学报》的《求极大极小的新方法》第一页。这是微分学第一次付印。莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 1684 年 10 月,莱布尼茨在莱比锡的期刊《学术纪事》上发表了他的法则,标题很长:《一种求极大值与极小值以及切线的新方法,它不受分数或无理量的阻碍,以及一种为此而用的奇妙算法》。这是六页密密麻麻、错印很多的文字,几乎没人看得懂。雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟看懂了,正是他们把微积分传遍了欧洲。

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广义二项式:超越整数次幂

在学校里,我们学过展开 $(1+x)^2=1+2x+x^2$ 和 $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$。系数来自算术三角形(帕斯卡研究过它,而它早在帕斯卡之前就已为人所知)。对于正整数指数,展开式总会结束。 1664–1665 年冬天,还是学生的牛顿提出了一个从没有人如此大胆提出的问题:如果指数是 $\frac12$ 呢?或者 $-1$?$(1+x)^{1/2}$,也就是 $\sqrt{1+x}$,写成 $x$ 的幂之和会是什么样子? 系数的规律 牛顿当时在读约翰·沃利斯的《无穷算术》,书中通过在数表之间插值来计算面积。沿着同样的思路,他注意到二项式系数遵循一个规律,而这个规律并不要求指数是整数: $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$$每个系数都由前一个系数乘以 $\dfrac{\alpha-k}{k+1}$ 得到。如果 $\alpha$ 是正整数,到某一步因子 $(\alpha-k)$ 会等于零,此后所有项都消失:这就是学校里的二项式。如果 $\alpha$ 不是正整数,就没有哪个因子为零,求和会永远进行下去。 这个级数在 $|x|<1$ 时成立。超出这个范围,各项不减反增,求和就没有结果。 两个例子 当 $\alpha=-1$ 时,系数是 $1,-1,1,-1,\dots$,我们得到一个早已知道的级数,即等比级数: $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$当 $\alpha=\frac12$ 时,出现了新东西: $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$牛顿并没有现代意义上的证明。他做的是验算:把这个级数自乘,发现各项相互抵消,最后只剩 $1+x$。用前三项试试: $$\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\right)^2=1+x+\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}\right)+\cdots=1+x+0\cdot x^2+\cdots$$$x^2$ 项消失了,正如应该的那样。后面的项也一样。 用加法开平方 要计算 $\sqrt{1.21}$,取 $x=0.21$: $$1+0.105-0.0055125+0.0005788125=1.1000663125.$$精确值是 $1.1$。只用四项,误差就已经落在小数点后第四位;第五项 $-5x^4/128\approx-0.000076$ 还能进一步改善。原本需要专门算法的开平方,变成了一连串的乘法和加法。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 “我羞于说出” 借助这样的级数,牛顿把对数和双曲线下的面积算到了几十位小数。多年后,他在给莱布尼茨的信中坦白:“我羞于说出我把这些计算进行到了多少位,因为那时我没有别的事可做。”那正是瘟疫年代,他被困在家中。 为什么重要 在此之前,无穷级数只是一些奇趣。牛顿把它们变成了工具:任何含有根式或分式的表达式都可以换成幂的和,而幂很容易求导和积分。他正是这样算出了没人会算的曲线下面积,我们将在面积一篇中看到。 牛顿直到 1676 年才公开解释这个方法,写在通过皇家学会秘书亨利·奥尔登堡转给莱布尼茨的两封信里。今天,这个公式是泰勒级数的一个特例。 练习:用三项近似计算 √1.04取 $x=0.04$:$1+0.02-\dfrac{0.0016}{8}=1+0.02-0.0002=1.0198$。下一项 $x^3/16$ 只有 $0.000004$;真实值是 $1.019804\ldots$