平面幾何学

パラレルの存在と独自性

緯線は直線の外側の点を通過します。この合格するのは 1 つだけであるということは、幾何学の歴史の中で最も議論されています。発見者並列性の存在はユークリッド (命題 I.31) によって証明されています。その一意性は、多くの人が定理に変換しようとしてきた第５公準に依存します。現在学校で使用されている形式、つまり「単一の平行線が直線の外側の点を通過する」は、1795 で広めたスコットランド人のジョン・プレイフェアにちなんでプレイフェアの公理として知られるようになりましたが、プロクロスはすでにそれを述べていました。 1829 では、ロシアのニコライ・ロバチェフスキーが無限の平行線が通過する幾何学を発表しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインジョン・プレイフェア。サー・ヘンリー・レイバーン (死亡 1823) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインニコライ・ロバチェフスキー、レフ・クリュコフ作の肖像画。レフ・クリュコフ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史 2000 年以上にわたり、数学者は他の公準から 5 番目の公準を証明しようと試みてきました。古代のプトレマイオスとプロクロス、イスラム世界のイブン・アル＝ハイサム、オマル・ハイヤーム、およびナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、ジローラモ・サッケリ（1733）、ヨーロッパではランベールとルジャンドル。誰もが気づかないうちに、公準自体と同等のステートメントを使用することになりました。クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインイブン・アル・ハイサム、後の芸術表現。アドルフ・ボイ、ジェレミアス・ファルク作。 Johannes Hevelius、Selenographia、1647 の口絵として使用 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインオマル・ハイヤーム、後の芸術表現。アリレザ・ジャバヘリ · ウィキメディアコモンズ · CC BY 3.0 ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインアドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン転機となったのはロバチェフスキー (1829) とハンガリーのヤーノシュ・ボリャイ (1832) が独立して公準の否定を受け入れ、矛盾のない幾何学を獲得したときでした。ガウスも同じ考えに到達しましたが、発表することはありませんでした。第 5 の公準は定理ではありません。それは選択であり、本書の幾何学はそれを採用したものです。

October 11, 2026 読んだ

平行線

平行線は決して交わることはありませんが、透視図では地平線で交わっているように見えます。発見者古典的な定義はユークリッド (c. 300 BC)、原論の定義 I.23 にあります: 平行線とは、同じ平面内にあり、両方向に無限に延長されて交わらないものです。横断、交互、対応、付随によって形成される角度間の関係が命題 I.27 ～ I.29 です。哲学者のポシドニウス (紀元前 1 世紀) は、直線は常に同じ距離にある、という別の定義を提案しました。プロクロスは討論を記録しました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインポシドニウス、後の芸術的表現。Sailko · ウィキメディアコモンズ · CC BY 3.0 歴史より自然に見える「等距離」線として緯線を定義してはどうでしょうか?なぜなら、交わらない 2 つの直線が常に同じ距離にあることを証明するには第 5 公準が必要になるからです — そしてギリシャ人はすでにそれが微妙であると疑っていました。ユークリッドは、より少ない仮説に依存する定義を選択し、まず公準なしでできることをすべて証明しました。命題 I.27 と I.28 はそれを使用せず、I.29 は使用します。平行と横断: 角度の比較はデモンストレーション方法の一部です。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。ルネサンスのフィリッポ・ブルネレスキ (c. 1415) とレオン・バッティスタ・アルベルティ (1435) は、遠近法絵画では消失点に収束する平行線を描かなければならないことを示しました。したがって、「平行線が無限で交わる」射影幾何学が生まれました。フィリッポ・ブルネレスキ。マサッチョ。 Sailko による複製、MenkinAlRire による切り抜き · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインレオン・バッティスタ・アルベルティ。レオン・バティスタ・アルベルティ;国立美術館からの複製 · ウィキメディアコモンズ · CC0 日常生活での応用線路線路は平行である必要があります。線路間の距離が変わると列車が脱線します。道路の車線と駐車スペースは、交通を整理するために平行に描かれています。ブラインドとノートの譜表。等間隔の平行線。写真。まっすぐな道路の写真では、平行な歩道が地平線上で交わっているように見えます。これはルネッサンスの消失点です。出典: 要素、定義 I.23 · 要素、命題 I.29 · Proclus (MacTutor)。

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読書: ユークリッドと演繹幾何学

補足資料補足資料ユークリッドと演繹幾何学紀元前 338 年、ギリシャはマケドニアの支配下に入りました。アレキサンダー大王はギリシャ文化を東方に持ち込み、数十の都市を設立しました。そのうちの 1 つ、エジプトのアレクサンドリアは、数学の歴史において特別な役割を果たすことになります。アレクサンダーの後にエジプトを統治したプトレマイオスは、国家が管理する研究教育センターである博物館をそこに設立しました。彼の図書館には700千巻近いパピルスがあった。クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン博物館の最初で最も著名な数学者の一人はユークリッド (紀元前 300 年頃) でしたが、彼の生涯についてはほとんど何も知られていません。プトレマイオスが幾何学を学ぶためのより簡単な方法はないか尋ねたとき、彼は次のように答えたと言われています。「幾何学に本当の方法はない。」ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン彼の名声は、13 冊の本の原論にあります。これは、私たちに届くギリシャ数学の最古の完全なテキストです。 1482 で最初の印刷版が発行されて以来、1,000 を超える版が発行されています。 5 つの一般的な概念、5 つの公準、およびいくつかの定義から、ユークリッドは 467 定理を推定しました。 2000 年にわたり、原論は優れた数学のモデルでした。時間が経つにつれて、論理的な欠陥が発見されましたが（たとえば、明言されていない連続性仮説の使用など）、それらは作品の偉大さと影響力をほとんど損ないません。

October 11, 2026 読んだ

4 章の演習 — 三角形

演習と解決策演習 80 — true (V) または false (F) として分類します。二等辺三角形はすべて等辺です。正誤誤り。二等辺三角形の底辺は他の辺とは異なる場合があります。正三角形はすべて二等辺です。正誤正しい。 (少なくとも) 2 つの合同な辺があります。不等辺三角形は二等辺になります。正誤誤り。不等辺角には合同な 2 つの辺がありません。すべての二等辺三角形は鋭角三角形です。正誤誤り。二等辺長方形と鈍角があります。すべての直角三角形は不等辺三角形です。正誤誤り。二等辺長方形 (45°、45°、90°) は反例です。直角三角形と二等辺三角形があります。正誤正しい。一致する脚。二等辺三角形の鈍角があります。正誤正しい。 120°、30°、30°などの鈍角の頂角。すべての鋭角三角形は二等辺または等辺のいずれかです。正誤誤り。 50°、60°、70°などの不等辺角角があります。 ↻ 最初からやり直す

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三角形の不等式

どの三角形でも、各辺は他の 2 つの辺の合計より小さくなります。古代人はすでに「ロバでもそれを知っている」と冗談を言いました。発見者三角不等式はユークリッドの原論の命題I.20です（紀元前300頃）。最大辺と最大角の関係は命題I.18とI.19にあります。セグメントが 2 点間の最短経路であるという考えは、ずっと前から直感的でした。ユークリデスのメリットは、過去の結果に基づいてそれを実証したことです。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史プロクロス (西暦 5 世紀) は、エピクロス人は三角不等式を証明したユークリッドを嘲笑したと述べています。ロバですら、干し草に向かうまっすぐな道のほうが、周囲を回るよりも短いことを知っている、と彼らは言いました。プロクロス氏は、事実を認識することと、それがなぜ真実であるかを知ることは同じではないと答えた。このデモンストレーションは、結果が平面の特性に依存するため、地球の表面などの他の幾何学形状では有効ではなくなる可能性があることを示しています。 20 世紀には、三角不等式は数学における「距離」を定義する 3 つの規則の 1 つになりました。それは三角形どころか、分析、統計、コンピューティングにも現れます。日常生活での応用草の中の近道。広場や庭園を通って形成される小道は、実際には対角線が両側よりも短いことを人々が知っていることを示しています。 3 本の棒は三角形を形成しますか? 最大の棒が他の 2 本の合計より小さい場合に限ります。 2 cm、3 cm、6 cm のロッドが閉じません。配送ルート。物流アルゴリズムは三角不等式を使用して、決して短くなり得ない逸脱を排除します。屋根。ハサミの場合、最も大きな角度の反対側が最も長いビームです。まさに命題 I.18 と I.19 が示しているとおりです。出典: 要素、命題 I.20 · 要素、命題 I.18 · Proclus (MacTutor)。理論と作図定理 · 最大の角度は最大の辺の反対側にあります三角形の 2 つの辺が合同ではない場合、それらの向かい側の角度も合同ではなく、最大の角度は最大の辺の反対側になります: $BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。逆数: 最大の角度は最大の辺と対向します: $\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。

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三角形の合同

2 つの三角形がお互いの「コピー」になるのはどのような場合ですか? 6 つの要素をチェックする必要はなく、適切に選択された 3 つだけで十分です。発見者著者名のある最も古い基準は、アッラー (片側と隣接する 2 つの角)。プロクロスロードス島のエウデモスを引用して、次のように述べています。ミレトスのタレス（紀元前 6 世紀）海上の船の距離を計算するために使用されました。事例のデモンストレーション LAL (提案 I.4)、 LLL (I.8) およびアッラー (I.26) はあります要素のユークリッド (紀元前300年頃)。 1899年に、デヴィッド・ヒルベルト LAL の場合を公理として受け入れる必要があることを示しました。ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインデヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史 LAL の場合を証明するために、Euclid は 1 つの三角形を「移動」し、別の三角形の上に置きます、いわゆる重ね合わせ法です。古代以来、解説者たちは、この運動を承認する公準は存在しないと指摘してきた。多くの人がその証拠を受け入れました。ルネサンス期の数学者ジャック・ペルティエ (1557) など他の人はこれを批判した。

October 11, 2026 読んだ

コンセプト、要素、分類

三角形は最も単純で最も便利な多角形です。他の多角形はすべて三角形に分割できます。発見者三角形は、エジプトとメソポタミア以来、装飾品、建築物、面積計算に登場します。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) には、すでに三角形の土地の面積に関する問題が提示されています。現在まで使用されている分類はユークリッド (紀元前 300 頃) に基づいています。原論の定義 I.20 と I.21 では、彼は三角形を辺 — 等辺、二等辺、不等辺によって、そして角度 — 長方形、鈍角、鋭角によって分割しています。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史名前はギリシャ語で説明的です。二等辺は「等しい脚」を意味し、斜角は「足が不自由」または「不均等」を意味します。正三角形には名誉ある地位があります。それは、2 つの円と定規で作られた原論 (命題 I.1) の最初の構築です。 1570 でヘンリービリングスリーによって翻訳された、Elements の最初の英語版のタイトルページ。この版は、作品のその後の流通を例示しています。ヘンリー・ビリングスリーによる編集。 Charles Thomas-Stanford · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインで複製。原論は 1,000 年以上にわたって手書きでコピーされ、アラビア語、ラテン語、英語に翻訳され、ヴェネツィアで最初に 1482 で印刷されました。これは聖書に次いで、歴史上最も多くの版が発行された本の一つです。日常生活での応用トラステ屋根、金属橋、クレーンなどに三角形が使われるのは、側面を固定しても変形しないためです。自転車伝統的なフレームは 2 つの三角形で形成されており、軽量かつ高剛性です。標識「道を譲ってください」標識は逆さまの正三角形で、車両の安全三角マークは等辺です。 3D グラフィックスゲームやアニメ映画のキャラクターやシナリオは、何千もの三角形のメッシュです。出典: 要素、定義 I.20 · 要素、命題 I.1 · Euclid (MacTutor)。

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3 の章の演習 — 角度

演習と解決策以下の計算機は、演習 29 から 33 について、度、分、秒を使用して計算を段階的に実行します。まずは解いて確認してみてください。角度を入力し、操作を選択します。 60’‘が1’、60’が1°となる各ステップを示しています。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 29 次の測定を簡略化します: a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $31^{\circ}10^{\prime}$ b) $47^{\circ}30^{\prime}$ c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ d) $111^{\circ}3^{\prime}$ e) $31^{\circ}$ 30 合計を求めます: a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $46^{\circ}15^{\prime}$ b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 違いを確認します: a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ 解答を見るa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ ・ b) $10^{\circ}55^{\prime}$ ・ c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ ・ d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

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直角、鋭角、鈍角 - 測定

完全な回転には 100 ではなく 360 度があるのはなぜですか?答えはメソポタミアの天文学にあります。発見者直線、鋭角、鈍角という名前は、原論 (定義 I.10 から I.12) で定義されているユークリッドに由来しています。直線は、補足的に隣接するものと等しい角度です。鋭角で、直線よりも小さい。鈍角で最大のもの。この度という単位の測定には、後述の「なぜ 360 度?」という好奇心で説明されているように、バビロニア天文学という別の起源があります。分と秒という言葉はクラウディウスプトレマイオス（西暦2世紀）のラテン語訳から来ています。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインクラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史ユークリッドは角度を度で測定したことはありません。彼にとって、直角は自然な単位でした。角度は「2 つの直角に等しい」または「1 直角未満」であり、彼の 4 番目の公準はすべての直角が等しいと述べています。数値測定は、空の星や惑星の位置を特定する必要がある天文学者によってもたらされました。プトレマイオスはアルマゲストで各次数を基底分数 60 に細分しました。ラテン語訳では、partes minutae primae と partes minutae secundae、つまり「最初の小さな部分」と「2 番目の小さな部分」になり、分と秒はここから来ています。角度 21° 12’’ 22’’ は、プトレマイオスのギリシャ語、ラテン語、ポルトガル語で書かれています。分と秒は 60 進数の部分から来ています。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。フランス革命ではメートルとともに直角を100 等分する勾配が試みられました。このユニットは関数電卓の「GRAD」モードでは存続しますが、学位の有効期限が切れています。

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一致と比較

角度をコピーして半分に分割することは、古典的な構造です。しかし、それを 3 等分するということは、2,000 年以上にわたって数学者たちを悩ませてきました。発見者 2つの建物はこの中にあります要素のユークリッド (紀元前 300 年頃): 提案 I.9 角を半分（二等分線）に分割し、 I.23 指定された角度を別の直線にコピーします。すでに三等分定規とコンパスを使って角度を計算し、あらゆる角度を 3 等分することが証明されました。不可能 1837年にフランス人によってピエール・ヴァンツェル、当時20歳ちょっと。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史三等分は、立方体の 2 倍、円の 2 乗と並ぶ 3 つの古典的なギリシャ問題の 1 つです。ギリシャ人は、特別な曲線やマーク付きの定規を使用してこの問題を解くことができましたが、アルキメデスはこのような解決策を示しましたが、マークのない定規とコンパスだけでは決して解決できませんでした。アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン角の二等分線は開口部を 2 つの等しい角度に分割します。長さが等しいと比較が容易になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。ヴァンツェルは問題を代数に変換しました。定規とコンパスを使った各構成は、次数 2 の方程式を解くのと等しく、角度 60° の三等分には、次数 3 の方程式が必要ですが、これはそれらに還元することはできません。アマチュアによって雑誌に寄せられた「三等分」は今でも掲載されています。それらにはすべて何らかの誤差があります。

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角度:定義

同じ原点を持つ 2 つの光線は角度を形成します。そして、角度に関する第一定理には発見者の名前さえあります。発見者ロードス島のエウデモスの幾何学の歴史を引用したプロクロス (西暦5世紀) によると、頂点の反対側の角度が次の角度であることを最初に認識したのはミレトスのタレス** (紀元前624年～546年頃) でした。等しい**;ユークリッドは、命題 I.15 において、それを「科学的に」証明したのです。「二直線の傾き」としての角度の定義はユークリッドの原論にあります（定義I.8）。ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史結局、角度とは何でしょうか？プロクロスは、古代人がそれが量 (測定されるもの) なのか、質 (形のようなもの) なのか、あるいは 2 つの線の間の関係なのかを議論したと記録しています。現代の定義ではこの議論は避けられています。角度とは、同じ原点の 2 本の光線によって形成される図形です。タレスへの帰属は彼の何世紀も後に生きた著者によるものであり、タレス自身によるテキストはありません。たとえそうであっても、これは貴重である。ギリシャ人がすでにその中に、事実が正当化される必要がある幾何学の始まりを見ていたことを示している。日常生活での応用ハサミとペンチ刃を開くとき、ハンドルは頂点と反対の角度で同じ角度で開きます。時計の針。 3 h では直角を形成します。 6 h では浅い角度です。ドアの開き方ショックアブソーバー付きのドアは、壁に当たらないように一定の角度まで開きます。視野: 携帯電話のカメラは、見える角度を通知します。「広角」ではさらに広範囲をカバーします。出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 I.15 · 要素、定義 I.8。

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はじめに: 凸面と半平面

直線は平面を 2 つの側面に分割します。図形は「くぼみ」がない場合に凸になります。 2 つのアイデアは一致します。発見者凸型の図形を最初に注意深く定義したのはシラクサのアルキメデス (紀元前 287 ～ 212 頃) で、その著作球と円柱についての中で、彼は「同じ側に凹んだ」曲線を使って周囲を比較しています。直線による平面の分離は、1882 でモリッツパッシュによって形式化されました。彼の公理は、三角形の一方の側に入る直線は、もう一方の側から出なければならないと述べています。 19 世紀末にヘルマン・ミンコフスキーは凸性を数学の一分野としました。アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインモーリッツ・パッシュ。グスタフ・バックオーフェン · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインヘルマン・ミンコフスキー。身元不明の写真家。ラウムとツァイトの複製 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史アルキメデスは、円に内接する多角形の周囲がそれ自体よりも小さく、外接された多角形の周囲がより大きいことを証明するという具体的な問題のために凸面性を必要としました。これで、$3\tfrac{10}{71}$ と $3\tfrac{1}{7}$ の間の π の値を囲みました。パッシュの公理は別の問題を解決します。ユークリッドは、直線が平面を 2 つの側面に分けることを決して証明しませんでした。彼はただ絵を描いて見ただけだった。パッシュ以降、「直線の同じ側にある」ということには、角度の内側を定義するために使用される、半平面という正確な定義が与えられるようになりました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン日常生活での応用レンズ。虫眼鏡や遠視用メガネなどの凸レンズは、光を集中させます。凹型のものはそれを広げます。爪の弾性。いくつかの爪の周囲にある緩い弾性バンドは、それらを含む最小の凸形、つまりコンピュータグラフィックスで使用される「凸包」を形成します。通りの両側。この通りは、近隣を 2 つの半分の平面に分割します。一方の側は偶数、もう一方の側は奇数です。電子ゲーム凸形状を使用すると衝突の検出がはるかに速くなります。そのため、キャラクターが目に見えない凸型の「ボックス」で囲まれています。出典: アルキメデス (MacTutor) · パッシュ (MacTutor) · ミンコフスキー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ