子どものための数学

分散対策

数学とは異なり、統計は確率変数を扱うため、分散測定は基本です。たとえば、大手メディアは、候補者 A は 45%、候補者 B は 30% などの決定論的な値を使用して作業していました。数学に関しては明らかに A が上ですが、統計に関してはわかりません。今日、彼らは「誤差の範囲」について話しながら、それを統計的な方法で提示しています。「誤差の範囲」が 15% の場合、この 2 つは技術的には同等です。ばらつき対策動機として、2 つの一体型生産ラインを検討してください。ピースの長さの平均測定値は 100cm で、どちらのラインもこの値に近い平均値のピースを生産しています。この場合、両方のラインで生産された部品は適切であると考えられますか? 生産ライン間のばらつきが少ないほど、生産ラインの（位置の点で）正確さが増し、信頼性が高まります。より具体的に言えば、目標を達成する可能性が高くなります。定義 (分散の尺度): は、一連のデータを表す統計であり、データ分布の分散 (ばらつき、ばらつき) についての指針となります。最も重要な分散対策は次のとおりです。振幅; 分散; 標準偏差。変動係数。振幅振幅は最も基本的な分散尺度であり、計算が簡単であるため、ほとんどのアプリケーションに適用されます。日常生活では、オーディオプラットフォームは概念として振幅をよく使用します。定義 (振幅): は、データセット内の最大値と最小値の差です。 $$\\{\text{menor valor}, \dots, \text{maior valor}\\}$$$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$$データの振幅 R は次の式で与えられます。 $$R = X_{(n)}−X_{(1)}$$ 注: 以下に重要な注記をいくつか示します。インデックスが括弧内にある場合は、番号が順序付けされていることを意味します。 $X_{(1)}$は最小値です $X_{1}$が最小値とは限りません不等式の概念から、$X_{(1)} \leq X_{(2)}$ が得られます。 $X_{(1)}$は$X_{(2)}$以下です $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$ は最小値から順に並べられます。振幅は $R$ という記号で与えられます。これは英語範囲に由来します。カエルジャンプの例（振幅）カエルのジャンプの高さであり、測定値は以下のとおりです。

November 27, 2022 読んだ

位置測定

記述統計は、すべての情報を要約して説明する数値です。この場合、データセットまたは単にデータです。しかし。前回の投稿で述べたように、この情報は母集団やサンプルなどの評価内容によって異なります。はじめるこの投稿の中心テーマは、データを「説明する」ことです。したがって、これらは母集団に関するサンプルのより具体的な結論を表すものではありません。標本から母集団へ結論を拡張するために使用される手法は統計的推論ですが、これは子供にとっては意味がわかりません。学部の統計コースが最適です。位置測定記述された尺度の値は統計によって表現できます。したがって、これを記述的な位置測定値と呼ぶ代わりに、単に記述的な位置統計と呼びます。定義 (位置測定): は、一連のデータを表し、データ分布の位置を示す統計です。最も重要な位置測定は次のとおりです。算術平均中央値とファッション。平均説明されている最初の位置測定は平均であり、さまざまな知識分野で広く使用されています。たとえば、小学校の教師はこの位置尺度を使用して生徒を採点します。平均には次の 2 種類があります。母集団平均: すべての母集団情報の位置値の計算です。サンプル平均: サンプル内のすべての情報の位置値の計算です。確率分布によって母集団をモデル化する場合。母集団の平均値はパラメータと呼ばれます。定義 (パラメータ): 母集団を表す記述尺度。例: 母集団の平均。定義 (推定値): サンプルを参照する記述的な尺度。例: サンプルの平均値。定義 (推定): サンプルを参照した記述尺度の値。例: 10 測定値のサンプル平均は 5 と等しくなります。したがって、標本平均の推定値は 5 となります。母集団の平均母集団の平均は、すべての母集団の値を合計し、その結果を母集団内の要素の総数で割ることによって計算されます。 N 個の要素からなる母集団の場合、母集団の平均は次の式で求められます。 $$\mu=\dfrac{x_1+\ldots+x_N}{N}$$ どこ： N: 母集団サイズまたは母集団要素の数。 $\mu$: 母集団の平均を参照するパラメータ。 $x_1, \dots, x_N$: 人口要素。注: パラメータは通常ギリシャ文字で指定され、平均の場合はギリシャ文字 $\mu$ で指定されます。例（母集団平均）一般性を失わずに、ブラジル人口の質量測定値が 80 kg であると仮定します。

November 26, 2022 読んだ

統計の基本概念

数学は決定論的な値を扱います。これは、x が 10 に等しい場合、それは 10 であり、それだけであることを意味します。統計は確率変数を使用して機能します。たとえば、同じ項目を数日続けて測定した場合、測定値は同じではなくなります。体温、環境、測定器など、さまざまな要因が日々の測定に影響を与える可能性があります。母集団とサンプルの概念統計学では、日常生活で広く使用されている科学が何であるかを理解するための基礎となる概念がいくつかあります。以下にそのうちの 2 つを紹介します。人口: 少なくとも 1 つの共通の特性を持つ要素のセット。この特性は、母集団の要素を正確に定義します。サンプル: 対象となる母集団の特性を研究するための代表的な母集団の要素のサブセット。問題統計において客観的であるためには、管理上の問題や統計研究を適用する動機が必要です。次のステップは、この情報をどこから抽出するかです。通常、実験が実行されるか、この情報はデータベースなどのどこかにすでに存在します。データ収集重要な点は、この情報を収集する質です。データ収集プロセス中にいくつかの問題が発生する可能性があり、提案されたソリューションに重大な影響を与える可能性があります。次のような事実を観察することで、いくつかの問題の発生を防ぐことができます。まず問題や状況を明確に定義せずにデータを収集すべきではありません。測定システムは評価され、十分な測定能力を備えている必要があります。計算と読み取りは、歪みを避けるために非常に慎重に行う必要があります。基本的な分析の流れ次に統計解析の流れを紹介します。データの分類データ分類の概要は次のフローで示されます。これで、それぞれを定義します。定性的データ定性データは品質の特性を表します。たとえば、製品を次のように分類できます。良い、合理的か、悪い。定性データは次の 2 つのタイプに分類できます。名目定性データ: 特性の順序は重要ではありません。例: 人々のグループの性別: 男性的なフェミニン順序定性データ: 特性の順序が重要です。例: 情報を評価するには、人々のグループの教育レベルが重要であり、それらは次のとおりです。初等教育高等学校不完全な高等教育高等教育を完了する大学院定量的データこの場合、観察される特性は「離散」または「連続」に分類できる数値になります。離散定量データ: 離散定量データは、指定された一連の数値内の値をとります。数学の世界では自然数。例: 一定期間内に機械で生産される製品の数は $\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,4,\dots\\}$ 個になる可能性があります

November 25, 2022 読んだ

機能コンセプト

対応の法則は、関数の主題に対する現代の定義です。さらに、機能紹介記事ですでに説明したドメインとイメージの概念をルネ・デカルトのビジョンの下で定義することが重要です。ベルヌーイ家に敬意を表して数学史上、ベルヌーイ家ほど多くの有名な数学者を輩出した家系はありません。スペイン系オランダ出身のこの家族は、戦争を逃れて 1583 スイスのバーゼルに移住しました。一族の約12人は数学と物理学の分野で名声を博し、そのうち4人が会員に選出されたフランス科学アカデミーからの外国人。数学に優れた最初のベルヌーイは、それぞれニコラウスの 5 番目と 10 番目の子供であるジャックとジャンでした。これを次の図に置き換えます。ジャックは他の国の科学者に会うために何度も旅行しました。彼は、無限小に関する研究、雑誌「Acta Eruditorum」（学者のノート）に掲載された関数の最大値と最小値に関する記事、無限級数に関する研究で有名でした。「ベルヌーイの不等式」として知られる有名な結果が現れます。ジャックは曲線に強い興味を持っており、特に半立方放物線、レムニスケート曲線、カテナリー曲線、等時曲線、対数螺旋など、いくつかの曲線を研究しました。ジャンとジャックの兄弟は、ライプニッツと熱心な文通を続け、全員が同じ雑誌「Acta Eruditorum」（学者のノート）に記事を寄稿しました。ジャックは、確率に関する最古の著作と考えられる古典『推測の技術』の著者でもあります。ジャンはニコラ、ダニエル、ジャン 11 の父親でした。ニコラはサンクトペテルブルクの数学の教授であり、ダニエルとジャン２世はバーゼルの教授でした。もう一つのベルヌーイ。これら三人のいとこであるニコラス二世は、しばらくの間パドヴァでガリレオの地位を占めました。若い世代の中で、流体力学と確率の成績で最も目立ったのはダニエルでした。 18 世紀に数学で証明を達成し、その名にふさわしいベルヌーイが他にもいました。モチベーションたとえば集合を考えてみましょう $$A = \\{0, 1, 2, 3\\} \text{ e } B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$$ そして、A から B への次の二項関係: バイナリ比 1 二項関係を次のようにします。 $$\mathcal{R}_1 = \\{(x, y) \in A \times B \text{ tal que } y=x+1\\}$$$A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ を使用すると、次のような解決策が得られます。

November 22, 2022 読んだ

通信法

対応の法則は、関数の主題に対する現代の定義です。さらに、機能紹介記事ですでに説明したドメインとイメージの概念をルネ・デカルトのビジョンの下で定義することが重要です。アベルへの追悼ニールス・ヘンリック・アベルは、貧しい大家族の出身で、ノルウェーのフィンドという小さな村の羊飼いの息子でした。 17 歳のとき、先生はガウスの「Disquisitiones」（研究）などの偉大な数学的著作を読むよう主張しました。この時点で、アーベルはオイラーが有理累乗についてのみ証明した二項定理を一般化することに成功しました。彼は 18 歳で父親を亡くし、成長するにつれて責任も大きくなりました。家族には言いましたが、とにかく研究を続けました。 1824 では、方程式の次数が 4 より大きい場合、その係数に基づいて根を求める一般公式は存在しないことを証明する記事を発表しました。これは数学者を長い間悩ませてきた疑問でしたが、現在は解決されています。ニールス・ヘンリック・アベルクリスティン・ケンプ（クレリー）その名前は、アーベル群、または可換群や一部の群にも関連付けられています。彼らの結果は Jornal de Crelle に掲載されました。この主題は非常に複雑であり、児童書には適していません。興味があれば、アーベル群について紹介した数学史の本があります。 1826 では、アベルは自分の発見を見せようとしてパリのルジャンドルとコーシーを訪れましたが失敗しました。友人に宛てた手紙の中で、彼は次のように書いています。「初心者は誰でも、ここで注目されるのは非常に難しいと感じます。私は超越関数の特定のクラスに関する広範な論文を書き上げましたが、M. コーシーはそれを検討しようとしませんでした。」アベルはどこかの大学で教職に就きたかったので、このため、コーシーとの記憶は調査されることになったが、すぐに記憶を失い、忘れ去られた。資源の不足により、彼は結核のため 26 年で亡くなりました。代数と数論における深遠かつ重要な成果。彼の死から2日後、ついに手紙が届き、次のようなことがあったことを知らせた。ベルリン大学の教授に任命された。 1830 で、コーシーは、年に出版されたエイベルの原稿を発見しました。 1841 はフランス研究所によって、ルジャンドル氏は次のように分類しました。「青銅より耐久性のある記念碑」これには、楕円関数に関する重要な一般化が含まれていました。通信法対応法は、この法則を表現する公開文であり、次のように与えられます。 $$y=f(x)$$1734 で Euler によってラベルが付けられ、この文は次のように定義されます。定義 (対応法): $x\in A$ が与えられた場合、順序ペア $(x,y)\in f$ が次のようになるように $y\in B$ を決定します。 $$y=f(x)$$ 通信法の例例 1: 集合 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ と $B = \\{1, 2, 3, 4\\}$ およびオープンセンテンス $y = x+1$ を考えると、次の関数を考えることができます。

November 21, 2022 読んだ

関係を理解する

関係の概念は、実数の関数の概念の出発点です。さらに、順序対、デカルト積、デカルト平面自体の概念。この概念に貢献した主要な数学者の 1 人は、ユリウスヴィルヘルムリチャールデデキントでした。デデキントへの追悼今日の受賞者は、ユリウス・ヴィルヘルム・リチャール・デデキントです。彼は、ドイツのブラウンシュヴァイクに住むルーテル派の家族の 4 人の子供の 1 人でした。彼は 19 歳でゲッティンゲンで博士号を取得し、22 歳で博士号を取得しました。ディリクレの生徒であった彼は、晩年までブランズウィックで中等教育を教えた。彼は関数と数の性質に非常に関心を持っていました。このように、彼は微積分を教えた 1858 以来、無理数の問題に焦点を当ててきました。順序ペア定義: 順序ペアは、それぞれ座標 $x$ および $y$ を持つペア $(x,y)$ によって形成される 2 つの数値です。セットの等価性の概念から、要素の順序を逆にしても新しいペアは生成されないことがわかります。 $\\{1,2\\} = \\{2, 1\\},$ $\\{3, -1\\} = \\{-1, 3\\}$ $\\{a, b\\} = \\{b, a\\}.$ 数学では、2 つのものを区別する必要がある状況があります。要素の順序でペアになります。たとえば、連立方程式では次のようになります。 $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{cases} $$ この場合、$x = 2$ と $y = 1$ がこの連立方程式の解になります。ただし、$x = 1$ と $y = 2$ の場合、これは解決策ではありません。

November 21, 2022 読んだ

関数理論の概要

関数は数学の中で最も重要な主題の 1 つです。デカルト平面研究の先駆者であるルネ・デカルトは、デカルト平面を聞いて話す行為であると定義しました。その結果、まさに耳のため、関数の最初の使用法は括弧で表されました。方法に関する談話 (Discours de la Methode) スピーチをどのように始めますか? ライプニッツとオイラーによれば、次のようになります。創造するということは、存在するものを変えることを意味します。神はすべてのものとすべての人を創造しました。そうすれば、彼は仕事を最適にこなすことができたでしょう。答えが肯定的であれば、あらゆる自然（物理学）の要素には推論（方法）が与えられていることになります。関数 (Functus) ラテン語のfunctus (関数) は、fungi から派生した動詞fungor の過去分詞に由来しており、次のように解釈できます。 -活動を実施します。何が起こったのか話してください。または義務を果たす行為。このディファントゥスという言葉は、もはや話す機能を果たしていない言葉です。ポルトガル語で「死亡者」とは、亡くなった人、または生命機能を失った人を指します。このファンクトゥスという言葉は、1968 年に数学のゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツとジャン・ベルヌーイが交換した手紙の中で使用されました。 1734 のレオンハルト・オイラー、雑誌コメント・ペトロポール。 ad Annes関数に $$f(x)$$ のラベルが付けられましたどの中で “ $f(x)$ は関数 quamcunque ipsus x を示します ” “ $f(x)$ は任意の x に対する関数を示します ” コギト・エルゴ・サムの表現（私はそう思うので私は存在する）前述したように、聞くことと話すという行為は、今日私たちが機能と呼ぶものを表します。このように、ルネ・ディスカードは耳をシンボルとして使いました。聞いた声の2倍に話す機能聞いたことを二度言います。象徴性（耳の記号論的に活動的な言語）を観察することができます。記号的および意味的表現 $$f = 2~(~)$$ グラフィック表現 Máthema (数学) grapfiko’s (グラフ) $$f = (~) - 2$$ $$f = [(~) - 1] ~~ [(~) - 3] $$ Cogito Erog Sum functus X dominus に変態したものは人間の脳の表現であり、推論 (メソッド) によって次のことが可能です。神の完全な創造物を理解する (exactus): 自然 (phýsis) の特性 (graphiko の) を単純に解読 (máthema) します。

November 20, 2022 読んだ

ダイアグラムの操作

ベンオイラー図は、セットを視覚的に表現するのに役立ちます。 OBMEP 2022 では、この理論を使用した質問が表示されました。今回はこれらの図を用いて操作を説明していきます。集合の和集合集合の結合は、集合に対して最もよく使用される演算の 1 つです。これは、次のように定義されるセットを使用した操作の開始点になります。定義 (集合の和集合) 2 つの集合 $A$ と $B,$ が与えられると、これらの集合の集合は、$A$ または $B$ ($A\cup B$) に属するすべての要素によって形成されます。代数的に言えば、次のように書くことができます。 $$A\cup B = \\{x;~x\in A ~\text{ ou } x\in B\\}$$ 集合和集合の場合素集合交差のあるセット連鎖セット集合の交差 Set Intersection もセットでよく使用される操作です。これは次のように定義されます。定義 (集合の交差) 2 つの集合 $A$ と $B,$ が与えられると、これらの集合の交差は、同時に $A$ と $B$ に属するすべての要素によって形成されます ($A\cap B$)。代数的に言えば、次のように書くことができます。 $$A\cap B = \\{x;~x\in A ~\text{ e } x\in B\\}$$ セット交差のケース空の交差点 $(A\cap B = \emptyset = \\{~~\\})$ 交差を持つ集合 $(A\cap B = C)$ サブセット $(A\cap B = B)$ 交差点アプリケーション (OBMEP 2022 - レベル 1 - 質問 6) OBMEP の最初のフェーズは、レベル 1、2、および 3 (N1、N2、N3) の 3 つのテストで構成され、各テストには 20 の問題があります。これらのテストでは: 3 つの問題は 3 つのレベルに共通です 2 つはレベル 1 と 2 のみに共通であり、他の 2 つはレベル 2 と 3 のみに共通です。他の質問はいずれかのテストにのみ表示されます。 OBMEP の第 1 フェーズの 3 つのテストには、いくつの異なる質問が表示されますか?

November 14, 2022 読んだ

ベン・オイラー図

以前の投稿では、セットを代数的に表現する方法について説明しました。この記事では、ベンオイラー図を通じてそれを視覚的に示します。ベン・オイラー図の表現このタイプの図表現では、場合に応じて円または長方形を使用します。たとえば、セットは次のとおりです。例 1: 集合 $A = \\{\text{províncias do Japão}\\}$ をベン・オイラー図で表します。例 2: 集合 $B = \\{3,4,5,6\\}$ をベン・オイラー図で表します。集合の交差場合によっては、2 つ以上のセット間で共通の要素が存在することがあります。これらのケースは、これらのセット間の共通部分で処理されます。表記: 演算を表すために記号 $\cap$ を使用します。 2 つのセット間の交差部分。したがって、代数的には次のように表されます。 $$X \cap Y = \\{a; ~ a \in X \text{ e } a \in Y \\}.$$例 3: セット $A = \\{1,3,5\\}$ と $B = \\{5,6,7\\}$ をベンオイラー図で表現します。 $$A\cap B = \\{ 5 \\}$$空の交差点定義 (空の交差点): 2 つのセット $A$ と $B$ に共通の要素がない場合。 $$A\cap B = \emptyset$$ ここでは空いている交差点があると言います。

November 13, 2022 読んだ

セット間の等価性

以前の投稿では、関連性の概念を表現する方法について説明し、いくつかの重要なセットを紹介しました。ここでは、2 つの集合間の等価性と平等性について説明します。集合の等価性最初に、2 つのセットが等しいことを定義しましょう。定義 (2 つのセットの等しい): 2 つのセットがまったく同じ要素を持っている場合、2 つのセットは等しいです。例 1: セット $A$ と $B$ に同じ要素があるとします。 $$A = \\{\text{inteiros múltiplos de } 2\\}$$ $$B = \\{2n; ~k\in \mathbb{Z}\\}$$ 表記: 2 つの等しいセット $X$ と $Y$ を $X=Y.$ と書きます。異なるセット表記: 2 つの異なるセット $X$ と $Y$ を $X\neq Y.$ と書きます。例 2: セットを $A$ と $B$ とします。 $X=\\{1,2,3\\}$ $Y=\\{1,2\\}$ この場合、$X$には$Y$に属さない要素($3$)があるため、$X\neq Y,$となります。集合の等価性等価性について話す前に、1 対 1 対応の定義を念頭に置く必要があります。定義（一対一対応）：は、同じ数の共通要素を持つ集合に与えられる式です。

November 12, 2022 読んだ

セットの紹介

この投稿のこの時点では、抽象的であってもなくてもよい要素のコレクションとしてのセットについて説明します。抽象的なものは、とりわけ奇数の整数のセットなど、数学的なコンテキストにあるものです。抽象的ではないものは、日本の地方、USP の学生など、日常生活の中にあります。集合の表現セットの表現は次のように大文字で与えられます。 A B $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}$ とりわけ。セットの要素は中かっこ $\\{\\}$ で囲まれます。以下にセットの例をいくつか紹介します。 $A = \\{ \text{províncias do Japão}\\}$ $B = \\{ \text{inteiros ímpares}\\}$ $C = \\{ 1,3,5\\}$ $D = \mathbb{N} = \\{\text{conjuntos dos números inteiros}\\}$ 1 の例では、このセットを表す最も正式な方法は、シンボルを次のように配置することです。これはシンボルとともに使用できます。 $|$ $A = \\{ x | x\text{ é província do Japão}\\}$ $;$ $A = \\{ x ; ~ x\text{ é província do Japão}\\}$ またはそのようなことを書いています。 $A = \\{ x \text{ tal que } x\text{ é província do Japão}\\}$ これらのセットの読み取りの変換は次のように行われます。

November 11, 2022 読んだ

統計学入門

統計は数学の最も応用される分野の 1 つであり、日常生活でより多く使用されています。何世紀にもわたって、人々は単に説明的な文字や出来事の記録として無意識に使用してきました。最初の用途最初の活動は紀元前 2000 年頃で、中国の農業人口の国勢調査に使用されました。 19 世紀初頭には、フランス人のサイモンラプラスやドイツ人のカールフリードリヒガウス (1777 –1855) などの偉大な数学者が登場しました。後者は、測定誤差のモデル化に「正規分布」を適用することで生じます。正規分布理論は、ベルギーの天文学者で数学者のアドルフ・ケトレ (1796 – 1874) によって、人間集団のいくつかの特性の統計的研究に使用されました。身長、重さ、誕生、死亡、月収とりわけ。ロナルド・アイルマー・フィッシャー (1890 – 1962) はイギリスの統計学者で、現代の統計理論を創設した天才です。フィッシャーは、統計学で得た結果を遺伝研究に応用するためのツールとして使用し、今日では統計理論および生物学に適用される統計学の最大の名の 1 人と考えられています。現在の使用状況サイコロという用語は、一部の種類のゲームでサイコロを使用するゲーム理論に由来しています。この情報の収集はデータとして歴史に残りました。統計学にはデータ分析のための基本的な要素がいくつかあります。この情報を分析するための開始点は、記述統計と呼ばれます。記述統計は、データの動作を整理、要約、説明するために使用されます。記述統計で使用される記述ツールは、グラフと表の形式です。表には、次のような概要の対策が記載されています。位置測定、分散対策。選挙は、統計では信頼区間と呼ばれる、順位の尺度 (投票の割合) と分散の尺度 (「誤差」の範囲) の一例です。一連のデータを要約すると、元の観察結果が凝縮されるため、データに関する情報が失われます。ただし、この情報の損失は、提供される解釈の明瞭さによる利益に比べれば小さいものです。変動性統計では、データに存在する変動性が使用されます。目的は、プロセスや製品の動作に関する情報を取得することです。ガレージに駐車された車の位置が日によって同じではないように、変動はどこにでも存在します。この場合、自車位置が変化します。私たちの戦略は、バリエーションを評価し、そこから情報を取得することで構成されます。これは簡単な紹介です。次の投稿をお待ちください。

November 11, 2022 読んだ