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用正方形和矩形做代数

如果任意分一条直线，整条线上的正方形等于两段上的正方形加上两段所夹矩形的两倍。 — 欧几里得，《几何原本》命题 II.4 希腊人没有表示未知数的字母，没有加号减号，也没有等号。他们想说 $a\cdot b$ 时，就说边长为 $a$ 和 $b$ 的 矩形；想说 $a^2$ 时，就说边长为 $a$ 的 正方形。我们用来称呼乘方的"平方"和"立方"就是由此而来。《几何原本》第二卷全是这样写的：都是代数恒等式，却以面积的事实来陈述和证明。历史学家称之为 几何代数。 和的平方 引文中的命题 II.4 说：把一条线段分成两段 $a$ 和 $b$。整条线段上的正方形（边长 $a+b$）等于 $a$ 上的正方形，加上 $b$ 上的正方形，再加上两个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形。只要看看被分成四块的大正方形的图就明白了。用今天的记号： $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$学校里要背的公式，欧几里得是 画 出来的。证明就是那张图：四块正好填满大正方形，不多也不少。 平方差 命题 II.5 就是俄克喜林库斯纸草上的那一条，那是已知最古老的《几何原本》残片。用今天的话说，它讲的是：如果把长为 $2m$ 的线段从中点分开，同时又在任意一点分成 $m+d$ 和 $m-d$ 两段，那么 $$(m+d)(m-d)+d^2=m^2.$$这就是恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$，即 平方差。欧几里得的证明是从一个矩形上切下一块，把它补到一个小正方形旁边，拼成一个正方形。 配方 欧几里得之后一千年，约 820 年，出身于中亚花剌子模地区、在巴格达智慧宫工作的数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米，写了一本关于如何解含有一个未知量的问题的书。书名中有 al-jabr 一词，意为"还原"，由此产生了 代数（algebra）一词；作者的名字则产生了 算法（algorithm）一词。本站旧的"巴斯卡拉公式"课程讲过他的一个例子： 一个平方加上它的十个根等于三十九。这个平方是多少？ 用今天的语言就是 $x^2+10x=39$。花拉子米的解法和欧几里得会用的完全一样：用面积。 x² + 10x = 39 的几何解法。边长为 x 的黄色正方形和两个边长为 x 与 5 的绿色矩形，合起来面积为 39。边长为 5 的红色小正方形补成一个边长为 x + 5 的正方形。Euler’s Eyes 绘图 画一个边长为 $x$ 的正方形：面积为 $x^2$。 “十个根” $10x$ 被分成两个边长为 $x$ 和 $5$ 的矩形，分别贴在正方形的两条边上。整个 L 形的面积为 $x^2+10x=39$。 角上还缺一个边长为 $5$、面积为 $25$ 的小正方形，才能补成一个大正方形。补上它：大正方形面积为 $39+25=64$。 面积为 $64$ 的正方形边长为 $8$。而大正方形的边长是 $x+5$。所以 $x+5=8$，$x=3$。 用今天的记号，就是：

October 14, 2026 阅读
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纳什议价解

本文对一个经典的经济问题给出了新的处理，这个问题以多种形式出现，如讨价还价、双边垄断等。 — 约翰·纳什，《讨价还价问题》（1950） 1948 年，还是卡内基理工学院本科生的纳什上了一门国际经济学课，这是他一生中唯一的经济学课。他从课上带走了一个问题：两个人谈判时，怎样分配协议带来的收益？经济学家们认为，答案取决于双方的心理、技巧和虚张声势，一般而言无话可说。纳什证明：如果协议必须满足几条合理的要求，那么可能的答案只有一个。这篇论文在他到普林斯顿之前就已写成，1950 年发表在《计量经济学》（Econometrica）杂志上。 问题 两个人 1 和 2 可以达成协议。每个可能的协议都给每人带来一份收益，用效用衡量：$u_1$ 和 $u_2$。如果达不成协议，每人保留原有的东西，即谈判破裂点 $(d_1,d_2)$。只有当协议给每人的至少不少于没有协议时的所得，它才有意义。 四个要求 纳什要求解具有四条性质： 有效性。 不应存在另一个对双方同时都更好的协议。 对称性。 如果局面是对称的，双方的可能性和破裂点都相同，那么双方所得相等。 不变性。 如果把某人的效用换一种尺度来衡量，就像把摄氏度换成华氏度，解不变。 无关选项的独立性。 如果一个问题的解在一个更小的问题中仍然可行，它仍然是解。去掉没人会选的选项，不改变协议。 纳什定理说：同时具有这四条性质的规则只有一个：选择使相对于破裂点的收益之积 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$最大的协议。 分 10 元钱 两个人要分 10 元钱。如果谈不拢，谁也拿不到：$d=(0,0)$。为简单起见，设效用就是钱本身。若 1 号拿 $x$，2 号就拿 $10-x$，乘积是 $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大值在 $x=5$：每人 5 元。在对称情形下，这并不意外。 有好退路的人分得更多 现在设 1 号有一条退路：谈不拢时，她能在别处拿到 4 元，而 2 号仍然一无所有。破裂点是 $(4,0)$。相对于破裂点的收益是 $x-4$ 和 $10-x$，乘积为 $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。Euler’s Eyes 绘图 最大值在 $x=7$：1 号分 7 元，2 号分 3 元。每人都比没有协议时多得 3 元。纳什解平分剩余，即协议在每人已有保障之外所创造的价值。所以有好退路的人分得更多：退路不是白送的，而是谈判的起点。

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

October 11, 2026 阅读
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只弯不拉：嵌入定理

拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。 19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。 问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。 大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。 一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱： $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是 $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为 $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。 平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。 纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。 平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。 一张揉皱的纸 纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。

October 14, 2026 阅读
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欧几里得算法：最大公约数

欧几里得算法是所有算法的老祖宗，因为它是流传至今的最古老的非平凡算法。 — 高德纳，《计算机程序设计艺术》第二卷（1969） 你有两根杆子，一根长 252 厘米，一根长 105 厘米，想找一把最长的尺，能把两根都恰好量整数次。用今天的话说，你要的是 最大公约数 $\gcd(252,105)$。可以把每个数的约数都列出来，再找最大的公共约数，但数一大，这就行不通了。在《几何原本》第七卷中，欧几里得教了一个快得多的方法。 用大的减去小的 欧几里得在命题 VII.1 和 VII.2 中的想法很简单：能量尽两根杆子的尺，也能量尽它们的 差。所以，不必找 252 和 105 的公共度量，可以改找 105 和 $252-105=147$ 的，再找 105 和 $147-105=42$ 的。总是用大的减去小的，直到两者相等： $$(252,105)\to(147,105)\to(42,105)\to(42,63)\to(42,21)\to(21,21).$$两个数都变成了 21。这就是最大公约数。希腊人把这个过程称为 antanairesis，“辗转相减”。（中国古代《九章算术》中的"更相减损术"与此相同。） 用除法的版本 多次减去同一个数，就是除法。把重复的减法合并成带余除法，算法就更短了： $$\begin{aligned}252&=2\cdot105+42\\105&=2\cdot42+21\\42&=2\cdot21+0\end{aligned}$$最后一个非零余数就是最大公约数： $$\boxed{\gcd(252,105)=21.}$$为什么行得通 如果 $a=qb+r$，那么： 每个同时整除 $a$ 和 $b$ 的数，也整除 $r=a-qb$； 每个同时整除 $b$ 和 $r$ 的数，也整除 $a=qb+r$。 数对 $(a,b)$ 和 $(b,r)$ 的公约数完全相同，所以 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。那么算法为什么会 结束？因为余数是每一步都在减小的正整数，$42>21>0$，而正整数不可能无限地减小下去。总有一刻余数为零，而 $\gcd(d,0)=d$。 这个算法很快。法国人加布里埃尔·拉梅在 1844 年证明，除法的次数永远不会超过两个数中较小者位数的五倍。对一百位的数，最多只需 500 次除法。 倒推回去 这些计算还能把最大公约数写成两个数的 组合。从下往上倒推： $$\begin{aligned}21&=105-2\cdot42\\&=105-2\cdot(252-2\cdot105)\\&=5\cdot105-2\cdot252.\end{aligned}$$验算：$525-504=21$。一般地，对任意 $a$ 和 $b$，存在整数 $x$ 和 $y$ 使 $ax+by=\gcd(a,b)$。这就是 裴蜀等式，而倒推的过程叫作 扩展欧几里得算法。

October 14, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 11, 2026 阅读
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热方程与德乔治–纳什正则性

1900 年，在巴黎的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了 23 个问题，他认为这些问题将引领 20 世纪的数学。第 19 问题用通俗的话说是：变分法中"性质良好"的问题，其解是否总是光滑函数？半个世纪后，对于一类重要的方程，这个问题仍未解决。1956 年，纳什从一位同事那里听说了它，决定攻克它。 热方程 从最简单的例子开始。一根很长的金属棒在点 $x$、时刻 $t$ 的温度为 $u(x,t)$。热量从热处流向冷处，温度满足傅里叶的热方程： $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$其中 $\kappa>0$ 是材料的扩散率。方程说：一点的温度比周围的平均值低时就升高，比平均值高时就降低。 如果在零时刻所有热能都集中在一点，那么 $t>0$ 时的解是高斯函数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$我们来验证。对 $t$ 求一次导、对 $x$ 求两次导， $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$两者相等。钟形曲线随时间变宽变低，面积保持为 1：能量守恒并扩散开来。宽度按 $\sqrt t$ 增长，与爱因斯坦布朗运动中走过的距离完全一样。这不是巧合：热是分子的运动，热方程描述的是从远处看到的随机游走。 当材料不规则时 高斯函数有一个了不起的性质：即使初始温度是一个无限集中的尖峰，对任何 $t>0$，解都是完全光滑的。扩散把一切都抹平了。 但如果材料不均匀呢？想象一块由铜、木头和玻璃碎块胡乱粘成的板，每块导热的方式都不同。方程变为 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$其中导热系数 $a(x,t)$ 可以从一块到另一块突然跳变。只要求它介于两个正的界限之间：$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$。系数如此不规则，解没有公式，甚至不清楚它是否有导数。问题是：温度会剧烈变化吗，还是热仍然会把一切抹平？ 定理 纳什在 1957 年证明，热仍然会抹平：在任意维数中，这些方程的解都是赫尔德连续的，即存在只依赖于 $\lambda$、$\Lambda$ 和维数的常数 $C$ 与 $0<\alpha\leq1$，使得 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$无论材料多么杂乱，温度都不会跳变。纳什的证明极其独到：他用了概率和熵的思想，把热当作扩散开的质量，在没有任何公式的情况下控制住了解。有了这个结果，希尔伯特第 19 问题对这类方程得到了解决。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 14, 2026 阅读
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素数永远不会穷尽

素数比任何给定的素数个数都多。 — 欧几里得，《几何原本》命题 IX.20 素数 是大于 1、只能被 1 和它自身整除的整数：2、3、5、7、11、13……其余的数，比如 $12=2\cdot2\cdot3$，都是素数的乘积。素数是算术的原子。 越往后，素数越稀少。1 到 100 之间有 25 个素数；1 000 001 到 1 000 100 之间只有 6 个。它们会不会在某处就没了？欧几里得用一个四行的论证证明了不会，英国数学家哈代认为它是整个数学中最美的论证之一。 证明 假设有人给你一份有限的素数清单 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。欧几里得证明，至少有一个素数 不在 清单上。把它们全部相乘再加 1： $$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1.$$现在用清单上的任意一个素数去除 $N$。乘积 $p_1p_2\cdots p_n$ 能被它整除，所以 $N$ 除以它的余数是 1。清单上没有一个素数能整除 $N$。 但 $N$ 大于 1，所以它至少有一个素因子 $q$。为什么？取 $N$ 的大于 1 的最小因子。如果它不是素数，它就有一个更小的因子，而这个因子也整除 $N$，与"最小"矛盾。所以最小因子是素数。 这个素数 $q$ 整除 $N$，而清单上没有素数整除 $N$。所以 $q$ 不在清单上。任何有限的清单都不能包含所有素数： $$\boxed{\text{素数有无穷多个。}}$$欧几里得没有说"无穷"，这个词希腊人是回避的。他说的是：给定 任何 个数的素数，总还有更多。这是同一件事，只是说得很谨慎。 构造出的数不一定是素数 一个常见的错误是以为 $N$ 总是素数。请看： 清单 $N$ $N$ 是素数吗？ 2 3 是 2, 3 7 是 2, 3, 5 31 是 2, 3, 5, 7 211 是 2, 3, 5, 7, 11 2 311 是 2, 3, 5, 7, 11, 13 30 031 不是：$30\,031=59\cdot509$ 在第六行，$N$ 是合数。但它的因子 59 和 509 都是不在清单上的素数。证明从来没有说 $N$ 是素数；它只说有 某个 新素数整除 $N$。至今仍不知道表中这种构造能否产生无穷多个素数。

October 14, 2026 阅读
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摆线：一场牙痛带来的曲线

在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。 在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。 车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于 $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。 一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。 它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。 用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$， $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分： $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得 $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。 1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。 随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

October 11, 2026 阅读
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第五公设与其他几何

我从无到有，创造了一个奇异的新宇宙。 — 亚诺什·鲍耶致父亲的信（1823 年 11 月 3 日） 欧几里得的前四条公设简短而显然：作直线、延长直线、作圆、所有直角相等。第五条却不一样： 如果一条直线与两条直线相交，在同侧所成的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长后，必在这一侧相交。 它很长，而且谈的是没有人能验证的事情：两条直线 无限 延长后会怎样。欧几里得似乎也对它心存疑虑：他尽可能避免使用它，直到命题 I.29 才第一次引用。 普莱费尔的形式 有一个更容易记住的版本，由苏格兰人约翰·普莱费尔在 1795 年推广：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。在其他公设成立的前提下，这两种形式是等价的：接受其中一个，就必须接受另一个。 三角形的内角 第五公设最有名的推论是命题 I.32：三角形的三个内角之和等于两直角，即 $180°$。本站旧的三角学课程称之为第一条"准则"： $$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$证明：过三角形 $ABC$ 的顶点 $C$ 作底边 $AB$ 的平行线。这条平行线与 $CA$ 和 $CB$ 所成的角，分别等于三角形的角 $\alpha$ 和 $\beta$，因为它们是 内错角（I.29）。连同角 $\gamma$，三个角并排位于平行线上，组成一个平角 $180°$。内错角相等这一步，正是第五公设起作用的地方。 两千年的证明尝试 两千年来，数学家们认为第五公设不应该是公设，而应该是定理：应该能由前四条推出来。托勒密、普罗克洛斯、波斯人欧玛尔·海亚姆、同为波斯人的纳西尔丁·图西、英国人约翰·沃利斯都尝试过，全都失败了：每一个"证明"都暗中用到了某个与公设本身等价的假设。 1733 年，耶稣会神父吉罗拉莫·萨凯里换了一条路：假设公设是 错 的，然后推出矛盾。他推出了几十条奇怪的定理，比如内角和小于 $180°$ 的三角形。他没有找到任何矛盾，但坚信矛盾一定存在，于是宣称这些结果"与直线的本性相抵触"，并以《洗清一切瑕疵的欧几里得》为题出版了这本书。他离一个发现只有一步之遥，却没有看见。 新的几何 十九世纪初，有三个人各自独立地迈出了缺失的那一步：承认没有第五公设的几何 和欧几里得几何一样自洽。高斯在 1820 年前后就得出了这个结论，但因为害怕引起反响而没有发表。俄国人尼古拉·罗巴切夫斯基于 1829 年在喀山大学的一份刊物上发表了它。匈牙利人亚诺什·鲍耶是一位数学家的儿子，他于 1832 年把它作为附录发表在父亲的书中。 鲍耶的父亲法尔卡什一生都在试图证明第五公设。得知儿子走上同一条路时，他写信恳求儿子放弃：“看在上帝的份上，别碰平行线了。要像厌恶一种不体面的激情那样厌恶它；它会夺走你所有的时间、你的健康、你内心的安宁和你一生的幸福。” 亚诺什没有放弃，1823 年他用本文开头那句话回复了父亲。 在这种 双曲几何 中，过直线外一点有 无穷多条 平行线，三角形的内角和总是 小于 $180°$。三角形越大，内角和越小。 球面上的几何 还有相反的情形。在球面上，“直线"即最短的路径是 大圆，比如赤道和经线。两个大圆总是相交：没有平行线。取一个由赤道和从北极出发、相隔 $90°$ 的两条经线围成的三角形。三个角都是直角，内角和为

October 14, 2026 阅读
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约翰·纳什的遗产

从统计上看，一位 66 岁的数学家或科学家，似乎不太可能通过继续研究为自己以前的成就增添多少东西。但我仍在努力。 — 约翰·纳什，为诺贝尔基金会写的自传（1994） 约翰·纳什是唯一同时获得诺贝尔奖和阿贝尔奖的人，这是经济学和数学中的两项最高荣誉。他的工作的两半似乎毫无共同之处：一半关于人的决策，另一半关于曲面和方程。把它们联系起来的是风格：用谁都没想到的思想，去攻克人人都认为不可能的问题。 博弈论无处不在 纳什均衡成了经济学的通用语言。它解释了为什么同一个路口的两家加油站价格几乎一样，为什么即使大家都不打广告会更好、企业还是要打广告，为什么气候协议如此困难。1990 年代，许多国家的政府开始用依据博弈论设计的拍卖出售移动电话频段，筹得数百亿美元。 在生物学中，英国人约翰·梅纳德·史密斯在 1970 年代证明，演化也会产生纳什均衡：在种群中存活下来的行为策略，是任何突变都无法改进的策略。在政治学中，均衡有助于理解选举、战争和议会投票。在计算机科学中，它出现在互联网路由和数字市场的算法设计中。1994 年以来，诺贝尔经济学奖已多次颁给博弈论方面的工作。 纯数学 嵌入定理和纳什–莫泽方法改变了几何与分析。纳什为 $C^1$ 情形发明的技术，被俄罗斯人米哈伊尔·格罗莫夫称为凸积分，催生了"刚性与柔性"现象这一整个领域，并在 2018 年被用来证明拉斯·昂萨格关于流体湍流的一个猜想。德乔治–纳什定理是系数不规则的微分方程现代理论的基础，这类方程描述复合材料和多孔介质。 疾病与康复 纳什还留下了关于精神疾病的一课。三十年间，他被看作一个废人。他的康复虽然缓慢而不完全，却表明精神分裂症并不一定是终身判决。获得诺贝尔奖后，他和艾丽西亚成为改善治疗、减少污名的倡导者；他们的儿子约翰·查尔斯也是数学家，也患有精神分裂症。 留下了什么 博弈论。 适用于任何博弈的纳什均衡、混合策略下均衡的存在性，以及议价解。 棋类游戏。 海克斯棋、策略窃取论证，以及与不动点定理的联系。 几何。 $C^1$ 和光滑情形的等距嵌入定理，以及凸积分。 分析。 德乔治–纳什定理，以及求解非线性方程的纳什–莫泽方法。 应用科学。 经济学、演化生物学、政治学、拍卖和计算机科学。 写给国家安全局的信 1955 年，纳什写信给美国国家安全局，提出一种加密系统。在这些直到 2012 年才公开的信中，他论证说：如果破解一种密码所需的时间随密钥长度指数增长，而使用它所需的时间增长很慢，那么这种密码就是安全的。这正是现代密码学的基础思想，而纳什提出它，比它出现在计算理论中早了将近二十年。 要点回顾 约翰·纳什生于 1928 年，卒于 2015 年。他的主要工作完成于 20 到 30 岁之间，在普林斯顿和麻省理工。 海克斯棋永远不会平局，而且先手总能获胜：这就是策略窃取论证。 在纳什均衡中，谁也无法通过单独改变而改善。均衡可能对所有人都不好，比如囚徒困境。 每个有限博弈都有混合策略均衡。在猜单双中，每人各以 50% 的概率随机出。 在纳什议价中，要使相对于破裂点的收益之积最大，每人得到自己的破裂点收益加上一份剩余。 每个黎曼流形都能无失真地画进欧几里得空间；如果只要求一阶光滑，就连平坦环面也能放进普通空间。 即使在不规则的材料中，热也会抹平：解是赫尔德连续的。 来源： Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998）· 约翰·纳什的自传，诺贝尔基金会 · 纳什写给国家安全局的信（1955），该局于 2012 年公开。

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡原理：用水放大力

一头大象和一位穿高跟鞋的女士：谁会在松软的泥地上陷得更深？可能是那位女士。大象比她重五十倍，但它的重量分散在四只宽大的脚掌上；而她的重量集中在细细的鞋跟尖上。 让地面下陷的不是力，而是压强：力除以它所作用的面积。 $$p=\frac FA.$$压强的单位是帕斯卡：$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$，即一牛顿的力分布在一平方米上。这是很小的压强；在海平面，大气压强大约是 $100\,000$ Pa。 关于液体的论著 大约在 1653 年，帕斯卡写成了《论液体的平衡》，这本书在他去世后的 1663 年才出版。书中有一条我们今天称为帕斯卡原理的规律： 在密闭容器内静止的液体中，任一点所增加的压强，会等值地传递到液体的各个部分和容器壁上。 在中间捏一管牙膏，牙膏会从管口挤出来：你手指的压强传到了那里。把一个气球灌满水，在几个地方扎上小孔再一挤：水会从每一个孔向各个方向喷出来。 被撑破的木桶 据说帕斯卡做过一个著名的演示。他拿来一个装满水、封得很严的木桶，在桶盖上插了一根又细又高、约 10 米长的管子。他登上阳台，往管子里倒水。只倒了一升多一点，木桶就破裂了。 我们不知道这一幕是否完全如此发生，但计算表明它是可能的。高度为 $h$ 的液柱底部的压强是 $$p=\rho gh,$$其中 $\rho$ 是液体的密度，$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$。对于 10 米高的水柱，$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$， $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$起作用的是水柱的高度，而不是水的多少。如果管子的横截面是 $1\ \text{cm}^2$，10 米高的水只有 $1$ 升。但这 $98\,000$ Pa 会传到整个桶盖上。如果桶盖的面积是 $0.2\ \text{m}^2$，它受到的力就是 $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$相当于两吨重的物体。细管里的一升水推着桶盖，就像有一辆汽车压在上面。 水压机 帕斯卡意识到，他可以利用这条原理来放大力。设想两个装满水的圆筒，底部相连，各用一个活塞封住，一个细，一个粗。用力 $F_1$ 推细活塞，压强增加 $F_1/A_1$，同样的增量传到粗活塞上： $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 一个人推动小活塞，就能抵得上一百个人推动大一百倍的活塞的力量。 — 布莱兹·帕斯卡，《论液体的平衡》 如果小活塞的面积是 $2\ \text{cm}^2$，大活塞是 $8\ \text{cm}^2$，比值就是 $4$。在小活塞上施加 $50$ N 的力，大活塞上就得到 $200$ N。抬起汽车的液压千斤顶、用一只脚的力就能让汽车停下的刹车，还有挖掘机，都是这样工作的。 小活塞上的力（N）： 面积之比 A₂/A₁： 理想模型：两个活塞高度相同，小活塞面积 2 cm²，流体不可压缩。 改变力的大小和两个面积之比。大活塞上的力变大了，但它移动的距离按同样的比例变小。 请启用 JavaScript 以使用控件。正文中也算出了这些例子。

October 11, 2026 阅读