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Egregium 定理和曲率

在测量汉诺威时，高斯对如何绘制弯曲地球的地图思考了很多。在 1827 中发表了 他将结果称为Theorema Egregium，即“非凡定理”：表面的曲率可以 由住在里面的人来衡量，而不是从外面去看。 结果：在平面中，三角形的内角之和为 180°。在一个范围内，它们加起来达到更多。采取 一个顶点位于北极，另外两个顶点位于赤道的三角形： 赤道上的两个角都是直角。以 90° 为极点，三角形有三个直角：270°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 赤道处的两个角度为 90°，因为经线与赤道成直角。添加 杆的角度 $\alpha$： $$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$ 任何高于 180° 的值都与三角形的面积成正比，表明该表面是弯曲的。这就是为什么 没有完美的地球平面地图：距离、角度或面积总是存在扭曲。 披萨技巧 您是否注意到，为了吃一片披萨而不让披萨尖脱落，我们需要将披萨对折？这是 Egregium 定理的应用。切片开始时是平坦的（零曲率）并且不能在两个方向上弯曲 同时。通过将其一侧弯曲，另一侧就会变硬，尖端就会停止脱落。 高斯还意识到，可能存在欧几里得平行公设不存在的几何结构。 值得的。但他没有发表任何内容：在一封来自1829的信中，他说他害怕“维奥蒂亚人的喊叫”，那些不这样做的人 会明白的。非欧几里得几何最终由 Lobachevsky 和 ​​János Bolyai 发表。 卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 正态曲线，高斯钟 · 方程组：行列式和高斯消元法 → 图片来源和来源.

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读《我思》：听和说

Cogito ergo sum 在笛卡尔平面上绘制。欧拉之眼系列 在欧拉之眼，我们喜欢将“我思故我在”视为一台小机器。这个想法 听到一些东西（拉丁语，audire）并且说另一个东西（fabulari）。约束什么的规则 您听到的是函数。 方法词 物理：自然； 方法：推理、路径； graphiko’s：线条、绘画； máthema：学到什么，破译的行为； functus：谁完成任务； dominus：领主，统治一词的由来。 一个例子：“说你听到的事情两次”。空括号充当等待的耳朵 一个数字： $$f = 2\,(\;\;) \qquad\text{hoje escrevemos}\qquad f(x) = 2x.$$ 括号 ( ) 作为耳朵：该函数期望听到一个数字。欧拉之眼系列 Dominus、functus 和 graphiko’s：领域、功能及其留下的痕迹。欧拉之眼系列 尝试使用三个规则的机器：$f = 2(\quad)$、$f = (\quad) - 2$ 和 $f = [(\quad) - 1]\cdot[(\quad) - 3]$。每个 听到的数字变成一个点 $(x;\ f(x))$，并且这组点形成图表，即graphiko 的 规则的：

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和中的无穷多个素数

欧几里得在公元前 300 左右就已经证明了素数有无穷多个。在1737欧拉中 发现了一个完全不同的证明，它将素数与微积分联系起来。 对于每个素数 $p$，几何级数之和给出 $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ 将这些表达式乘以 $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ 每个项的乘积具有以下形式 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。 每个自然数都以单一方式写为乘积 素数中，每个分数 $\frac{1}{n}$ 恰好出现一次： $$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ 但右侧的总和，即调和级数，无限增长：从 $\frac{1}{3}$ 到 $\frac{1}{4}$加起来超过$\frac{1}{2}$，从$\frac{1}{5}$到$\frac{1}{8}$也有，从 $\frac{1}{9}$ 至 $\frac{1}{16}$ 也是如此，依此类推。如果有有限数量的 素数，左侧将是有限数的乘积，因此是有限数。矛盾： 素数有无限多个。 将术语分组为 1、2、4、8…每个块从 1/2 开始。添加无限块，总和不断增长。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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方程组：行列式和高斯消元法

为了使用最小二乘法计算轨道，高斯需要求解方程组 许多未知数。每个学生都知道的两个名字都来自这个故事：行列式和 高斯消除。 行列式。 采用具有两个方程的系统： $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ 这完全取决于分母中的数字 $ad - bc$：如果它不为零，则系统有一个 解决方案。这个数字“决定”了系统。 系统、数字 ad - cb 和斜杠符号。欧拉之眼系列 两条线的规则：a11·a22 - a21·a22 = 行列式。欧拉之眼系列 Matrix，在拉丁语中，意思是子宫：产生某种东西的地方。欧拉之眼系列 这个词首次出现在高斯的Disquisitiones中，在1801中。他称之为 决定因素决定二级形式的属性的数字，$ax^2 + 2bxy + cy^2$。 在1815中，法国人 Augustin-Louis Cauchy 采用了该术语并给予认可：

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笛卡尔和大炮问题

古老雕刻中的大炮和炮兵。欧拉之眼系列 笛卡尔近距离经历了战争。在1618，他在拿骚莫里斯的军队中担任志愿者 根据他的第一位传记作者阿德里安·巴耶特 (Adrien Baillet) 的说法，他在 1628 围攻拉罗谢尔时，率领 由红衣主教黎塞留。在战场上，炮兵们面临着一个实际问题：用什么 倾斜大炮的角度来击中一定距离的目标？ 它是两个数字之间的关系：到目标的距离（炮手“听到”的声音）和枪的角度。 （他“说”什么）。伽利略在 1638 中表明，在没有空气阻力的情况下，子弹描述了 抛物线，范围$R$取决于角度$\theta$和退出速度$v$： $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 不同的角度，不同的轨迹。欧拉之眼系列 当子弹以 100 m/s 的速度离开时： 角度 15° 30° 45° 60° 75° 范围 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m 选择角度并拍摄。范围在 45° 处最大，加起来为 90° 的角度落在同一位置。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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费马数不是素数

皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 相信所有 $2^{2^n} + 1$ 形式的数字都是素数。对于 $n = 0, 1, 2, 3, 4$ 有效：3、5、17、257 和 65 537 是素数。下一个是 $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ 手动测试所有分隔线是不切实际的。在1732中，欧拉证明这个数是可整除的 由641。一种优雅的看待方式是使用两种写法 641： $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 处理除以 641 的余数（符号 $\equiv$ 表示“保留相同的余数”）： 四步推演（点击进阶） 第一种方式，$5 \cdot 2^7 \equiv -1$。求四次方：$5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。 第二种方式，$5^4 \equiv -2^4$。 将步骤2替换为步骤1：$-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$，即$-2^{32} \equiv 1$。 因此$2^{32} + 1 \equiv 0$：该数字是641的倍数。 事实上，4294967297=641×6700417。直到今天，还没有其他数字被知晓 费马素数超出前五名。

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高斯求积：两点积分

Quadratura circuli：用多边形近似圆的面积，这个思想导致了积分。欧拉之眼系列 “平方”是计算面积的旧名称。希腊人将圆的面积近似为 边数越来越多的多边形，积分微积分诞生了。实际问题是：如何计算 曲线下的面积做了很少的数学？ 最简单的方法是梯形规则：仅查看曲线的两端，$x = -1$ 和 $x = 1$，并且 计算梯形的面积。在 1814 中，高斯问道：如果我可以选择去哪里看怎么办？与两个 点 $\pm t$ 和权重等于 1，估计为 $$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$ 他希望公式能够完全匹配尽可能多的多项式： 寻找高斯点（点击前进） 对于 $f(x) = 1$：面积为 2，公式给出 $1 + 1 = 2$。 ✓ 适用于任何 $t$。 对于 $f(x) = x$（和 $x^3$）：面积为 0，公式给出 $-t + t = 0$。 ✓ 每次都有效。 对于 $f(x) = x^2$：面积为 $\frac{2}{3}$，公式给出 $t^2 + t^2 = 2t^2$。 等式：$2t^2 = \frac{2}{3}$，然后是 $t^2 = \frac{1}{3}$ 和 $t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。 结果：只需两个点，该规则就准确命中到 3 次的任何多项式。 蓝色区域就是准确的区域。比较两个高度为 f(±1/√3) 的高斯矩形和仅查看两端的梯形。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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“功能”这个词

该词源自拉丁语 functus，动词 fungor 的分词：完成任务、锻炼 一项活动。该函数是将一个数字转换为另一个数字的“工作”。已经失效 是指不再执行任何职能的人，因此用词已失效。 函数的莱布尼茨符号，来自给约翰·伯努利的信。欧拉之眼系列 这个名字和符号花了一个多世纪才确立： 1637笛卡尔，在几何中，通过$x$和$y$之间的方程描述曲线。 1667James Gregory 将数量称为通过运算从其他人获得的数量 (Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura)。 1671牛顿调用不同流态的量（Methodus Fluxionum，仅在1736中发布）。 1673Leibniz 首次在手稿中使用了functio 这个词。 1698在 Leibniz 和 Johann Bernoulli 之间的信件中，该术语具有当今的数学含义。 1718Johann Bernoulli 给出了第一个定义：由变量和常量以任何方式组成的量。 1734Euler 创建符号 $f(x)$：“f(x) 表示 x 的任何函数”。 1748Euler，在Introductio 中，将函数置于计算的中心。 1797拉格朗日使用 $f'(x)$ 作为导数（Théorie des fonctions analytiques）。 1837Dirichlet 将函数定义为将每个 $x$ 与单个 $y$ 相关联的任何规则。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ←笛卡尔和大炮问题 · Physis：破译自然的特征 → 图片来源和来源.

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欧拉定理和密码学

在1763中，欧拉研究了函数$\varphi(n)$（符号$\varphi$后来出现，与高斯一起）：从1到$n$与$n$没有公因数的数字的个数。 例如，$\varphi(10) = 4$，因为从1到10只有1、3、7和9是合适的。他证明了如果$a$不 与 $n$ 有公因数，所以 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ 请参阅 $n = 10$ 和 $a = 3$ 的想法。将数字 1、3、7 和 9 乘以 3： $$3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 7 = 21 \equiv 1, \quad 3 \cdot 9 = 27 \equiv 7 \pmod{10}.$$ 在10小时时钟上，乘以3、7或9只会打乱数字1、3、7和9。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 余数为 3、9、1 和 7：相同的四个数字，只是打乱了。所以他们的产品是 相同：

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其他贡献和遗产

其他贡献 **物理学：**高斯电磁定律、地球磁性和高斯单位的研究。 **复数：**高斯整数、数字 $a + bi$ 与 $a$ 和 $b$ 整数。 **天文学和大地测量学：**行星和彗星的轨道、天芥菜和汉诺威测量。 算法： 一种计算复活节日期的方法，在 1805 的手稿中，是一种计算复活节日期的方法 快速傅里叶变换，在 1965 中被重新发现，并在今天用于每部手机。 要记住 高斯出身于布伦瑞克的贫困家庭，师从一位公爵，并在哥廷根度过了一生。 通过连接对从 1 添加到 100：$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$。 在 18 年，他展示了如何仅使用平方根构造具有 17 条边的多边形。 他创造了同余符号$a \equiv b \pmod n$，即时钟和九局的数学。 他证明了每个 $n$ 次多项式都有 $n$ 复根。 估计素数数量：$\pi(x) \approx x / \ln x$。 他用最小二乘法重新发现了谷神星，这说明了为什么平均值是最佳估计。 他给正态曲线起了个名字：高斯钟形曲线。 他证明曲率可以从表面内部测量：这就是为什么没有完美的平面地图。 他命名了行列式并组织了求解方程组的消元法。 通过精心选择的两个点 $\pm 1/\sqrt{3}$，他计算了直到 3 次的多项式的精确积分。 卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 高斯求积：两点积分 · 图片来源 → 图片来源和来源.

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*Physis*：解读自然特征

宇宙中任何事情的发生都存在某种最大或最小的规则。 — 莱昂哈德·欧拉，1744 对于莱布尼茨和欧拉来说，自然是以尽可能最好的方式创造的，因此遵循规则。在我们的 语言：创作者的推理（方法）在于自然（物理）的特征（graphiko’s），并且 由我们来破译它们（máthema）。相同的图画出现在最不同的地方： 犰狳甲壳：六角形板。欧拉之眼系列 地壳：熔岩冷却时形成的六边形玄武岩柱。欧拉之眼系列 榫头：又是六角形图案。欧拉之眼系列 鹦鹉螺壳：对数螺旋。欧拉之眼系列 蛋：椭圆曲线像弧线一样分布压力。欧拉之眼系列 海星：五边形对称。欧拉之眼系列 为什么有这么多六边形？ 只有三种正多边形覆盖平面而不留孔：三角形、正方形和六边形。 其中，六边形是包围面积最大且边界最少的一种。这是最经济的分割方式 空间等分，这就是数学家 Thomas Hales 在 1999 中证明的。 鹦鹉螺螺旋与笛卡尔有直接联系：他是第一个描述它的人，在 1638 写给梅森的信。它总是以相同的速度生长，这就是为什么壳会改变大小 不改变形状： 笛卡尔的等角螺旋线。改变每圈的增长：与辐条的角度在整个转弯过程中保持不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← “函数”这个词 · 无穷大和除以零 → 图片来源和来源.

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其他贡献和遗产

其他贡献 完整的清单将占据一整本书。一些亮点： **欧拉直线：**在每个三角形中，垂心、重心和外心对齐。 Euler-Mascheroni常数： $\gamma \approx 0{,}5772$，调和级数之差 和自然对数。 **力学和流体：**流体和刚体旋转的欧拉方程。 **变化的计算：**欧拉-拉格朗日方程，现代物理学的基础。 特殊函数： gamma 函数，它将阶乘扩展到非整数。 要记住 欧拉生活在巴塞尔、圣彼得堡和柏林之间，在几乎失明的情况下完成了一半的作品。 他为数学赋予了符号 $f(x)$、$e$、$i$、$\Sigma$ 并普及了 $\pi$。 找到 $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 和 $e^{i\pi} + 1 = 0$。 他将这个数字命名为$e = \lim (1 + 1/n)^n$，它源于复利，是自然对数的底数。 用$e^{rt}$求解弹簧方程，其公式为：解为正弦曲线。 通过柯尼斯堡大桥，他创造了图论。 通过 $V - A + F = 2$，他解释了为什么每个经典足球都有 12 五边形。 他将素数与计算联系起来，并创建了保护当今互联网的定理。 莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 欧拉定理与密码学 · 图片来源 → 图片来源和来源.

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