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代数基本定理

高斯在其博士论文 1799 中证明了每个 $n$ 次多项式都有 $n$ 根，只要 接受复数。例如，$x^2 + 1 = 0$没有真正的解决方案，但有两个复杂的解决方案： $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ 高斯还推广了将复数绘制为平面上的点的方法，即平面 复数：$a + bi$是点$(a, b)$。挪威人 Caspar Wessel (1797) 和瑞士人 Jean-Robert Argand (1806)有同样的想法，但几乎没有人读他们的作品；高斯的名声是从 1831，谁传播了这幅画。这就是为什么它也被称为Argand-Gauss 平面。然后就会出现与边为 17 的多边形的良好连接。的 $x^3 = 1$ 的三个根是 $$1, \qquad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i, \qquad -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i,$$ 并且，在平面中，它们是半径为 1 的圆内切的 等边三角形 的顶点。相同的 这样，$x^{17} = 1$的17根就是17边多边形的顶点。我研究了这个方程 高斯到达了施工地点。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← 时钟运算 · 计算素数→

October 10, 2026 阅读
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多面体的角度和欧拉公式

在立方体的一个顶点有三个正方形，它们的角度相加。 $3 \times 90° = 270°$。还剩 $90°$ 圈才能完成一圈：这是顶点的缺陷。由 在 1630 左右，笛卡尔发现，在凸多面体中，所有缺陷的总和 顶点始终为 720°。 多面体 顶点处的角度 缺点 顶点 和 四面体 3 × 60° = 180° 180° 4 720° 立方体 3 × 90° = 270° 90° 8 720° 八面体 4 × 60° = 240° 120° 6 720° 十二面体 3 × 108° = 324° 36° 20 720° 二十面体 5 × 60° = 300° 60° 12 720° 围绕顶点的面，在平面中打开。红色切片是缺陷，完成时剩下的角度360°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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欧拉公式和“最美方程”

数字$e$可以写成一系列： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ 欧拉有勇气在指数中放入一个虚数。将 $x$ 更改为 $i\theta$ 并 使用 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$： $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ 将不带 $i$ 的术语与带 $i$ 的术语分开： $$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$ 括号中的两个级数正是余弦和正弦的级数。这就是如何 的公式 欧拉: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ 在几何上，$e^{i\theta}$ 是在半径为 1 的圆上行走的点：实部是 余弦，虚部是正弦。查看点旋转：

October 10, 2026 阅读
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计算素数

欧拉证明了素数永远不会结束（见他的章节）。但有多少呢？ 15岁时，高斯 他利用空闲时间数桌子上的堂兄弟姐妹，一次有一千个。你有没有注意到，接近一个数字 $x$, 或多或少 各 1 个 $\ln x$ 数字是质数。因此估计：表兄弟姐妹的数量最多 $x$, 我们称之为 $\pi(x)$，类似于 $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ 表兄弟高达 $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 计算机计算真实素数（蓝色）并将它们与高斯的估计进行比较。 x 越大，百分比误差越小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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接吻圈定理

在1643给伊丽莎白公主的信中，笛卡尔两两处理了四个相切圆。 将圆的曲率称为半径的倒数，$k = \frac{1}{r}$。该定理说 曲率满足 $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ 应用： 半径为 1 的三个相等的硬币两两接触。适合的圆的半径是多少 他们之间有洞？对于 $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ 和 $k_4 = k$： $$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$ 带符号$+$：$k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$，即半径$\approx 0{,}155$。就是中间那个小圆圈。 带有符号$-$：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。负曲率表示圆 涉及其他三个，半径为$\approx 2{,}155$。 三枚硬币，中间的圆圈和包围一切的一枚。再次将笛卡尔定理应用于每个孔，阿波罗尼奥斯的垫圈就会出现。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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弹簧和微分方程

微分方程是一个方程，其中未知数是一个函数，并且该方程讲述了它的函数 衍生物。欧拉将这条路径组织成一个我们今天仍在使用的方案：观察一个现象，写出 方程，找到解该方程的函数并绘制图形。 欧拉方案：现象→微分方程→解函数→图形。导数还指向最大值和最小值点。欧拉之眼系列 **这种现象。**在 1678 中，罗伯特胡克用拉丁语总结了弹簧的行为：uttensio, sic vis，“作为延伸，所以力量。”恒定 $k$ 的弹簧，被 $x$ 拉伸，拉回 强度$F = -kx$。 质量为 m 的物体连接到常数 k 的弹簧上。欧拉之眼系列 问题：给出每个时间 t 的位置的函数 x = x(t) 是什么？欧拉之眼系列 F = m·a 且 F = −kx：出现微分方程。欧拉之眼系列 **方程。**根据牛顿第二定律，$F = m \cdot a$，加速度是 位置，$x''$。然后 $$-kx = m\,x'' \quad\Longrightarrow\quad x'' + \frac{k}{m}\,x = 0.$$ **解函数。**我们寻找一个函数，其二阶导数本身乘以 负数。欧拉的技巧 (1743) 是尝试 $x = e^{rt}$，因为微分 $e^{rt}$ 只会 出现系数 $r$：

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Ceres 和最小二乘法

1 月 1 日，1801，天文学家朱塞佩·皮亚齐 (Giuseppe Piazzi) 在巴勒莫发现了一个移动的小点 在恒星中：它是谷神星，今天被归类为矮行星。皮亚齐陪伴了他41天， 直到消失在阳光的照射下。由于观察如此之少，没有人知道如何计算轨道，而谷神星 似乎永远失去了。 高斯在24岁时创造了一种新方法，并在几周内计算出了轨道。在 31 的晚上 12 月 1801，天文学家弗朗兹·冯·扎克 (Franz von Zach) 将望远镜指向高斯指示的位置，结果就在那里 谷神星。 动画显示 1801 年：观察到谷神星，谷神星消失在太阳后面，并在该年的最后一天再次被发现。点击“高斯预测”即可查看计算出的轨道。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Theoria motus corporum coelestium (1809)，高斯解释了该方法。公共领域 部分秘密在于处理测量错误。每次观察都会有一个小误差。如果你测量 同一件事多次发现不同的值，该选择哪个数字？ 高斯的答案：使误差平方和最小的数字$c$。有测量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，总和是 $$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$ 打开正方形，$c$ 中出现一个二阶函数：

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为什么彩虹出现在42°

在流星中，笛卡尔使用折射定律解释了彩虹，他发表在 屈光度。当光从空气传播到水中时，它会弯曲 $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ 其中 $i$ 是进入角，$r$ 是进入水中的角度，$n \approx \frac{4}{3}$ 是入水角。 （荷兰人 Willebrord Snell 以前也发现过同样的定律，但没有发表。这就是为什么它被称为 斯涅尔-笛卡尔定律。） 流星 (1637) 的原始图：太阳光线进入水滴并到达观察者的眼睛，左下角。勒内·笛卡尔·公共领域 笛卡尔想象一束阳光进入球形水滴，在内部反射并射出。 光线沿着这些角度离开，形成一个角度 $$\theta = 4r - 2i.$$ 他手动计算了光线进入液滴各个位置的角度。重做账户 与 $n = \frac{4}{3}$： 进入角度 $i$ $r$ 退出角度 $\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 请注意右侧的柱子：它上升，达到 大约 42° 的最大值，然后再次下降。附近的 最大时，在非常不同的位置（从 50° 到 70°）进入的光线以几乎相同的角度退出。 光线在那里聚集，因此我们在太阳对面的点 42° 处看到一条明亮的弧线。

October 10, 2026 阅读
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柯尼斯堡大桥和图表的诞生

柯尼斯堡 (Königsberg)，位于 1652，拥有普雷格尔河 (Pregel) 及其岛屿。你可以数一下桥梁的数量。梅里安-埃尔本·公共领域 普雷格尔河穿过柯尼斯堡市（今俄罗斯加里宁格勒），形成两条河流 岛屿。七座桥梁连接城市的四个区域。居民们好奇这是否可行 每座桥步行一次。 在阅读答案之前，请自己尝试一下： 选择从哪里开始，然后单击桥梁来跨越它们。你能通过7吗？ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 欧拉意识到街道的形状、岛屿的大小和桥梁的长度并不重要。 重要的是哪些区域链接到哪些区域。他用点画取代了地图 （区域）和线路（桥梁）。今天，这被称为图表： 欧拉论文（1736）的原始图：区域为 A、B、C 和 D，桥为 a、b、c、d、e、f 和 g。莱昂哈德·欧拉·公共领域 今天我们画同样的问题是这样的： 柯尼斯堡图。红色数字表示到达每个区域的桥梁数量。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 现在扣分。在游览中，每次经过一个区域（没有开始或结束 它），使用一座桥进入，另一座桥退出。然后来自中间区域的桥梁到来 总是成对：到达它的桥的数量必须偶数。仅起始区域和 到达阶段可能有奇数个桥梁。 结论：只有在至多两个区域拥有奇数座桥梁的情况下，游览才有可能。 在柯尼斯堡计数： 地区 桥梁 偶数还是奇数？ 克奈夫岛 5 (a, b, c, d, e) 奇怪的 北岸 3 (a, b, f) 奇怪的 南岸 3 (c, d, g) 奇怪的 洛姆塞岛 3 (e, f, g) 奇怪的 有四个个奇怪的区域，所以游览是不可能的。欧拉在 1735 中提出了这个论点， 它被认为是图论的第一个结果，这个领域今天已经落后了 GPS、社交网络和送货路线。

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正态曲线，高斯钟

如果测量误差是随机的，它们是如何分布的？在Theoria motus中，高斯从这个想法出发 均值是最佳估计，并得出误差曲线的形状： $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ 其中 $\mu$ 是平均值，$\sigma$ 是标准差。这是正态曲线，或高斯钟形：高 中等、对称，并且远离平均值越来越低。它出现在任何地方，从高处 人们对机器的错误。 观看钟声升起的一个美丽方式是高尔顿机，由弗朗西斯·高尔顿在1873发明。 弹珠穿过钉子网格落下，在每个钉子上，它们以相同的方式向左或向右移动 机会。大多数在中间附近结束，少数到达末端： 扔下弹珠，观看高斯钟出现。只有几个球，一切都乱七八糟；有了数百个，形式就单独出现了。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 对于正态曲线，规则 68-95-99,7 适用： 大约 68% 的值与平均值的标准差高达 1； 大约 95% 最多相差 2 个标准差； 大约 99,7% 最多相差 3 个标准差。 不久之后，比利时人 Adolphe Quételet 使用正态曲线来研究人：身高、体重、 出生、死亡和收入大致遵循高斯的钟声。 10 德国马克纸币 (1989–2001)：高斯、正态曲线和公式，位于哥廷根建筑物旁边。欧拉之眼系列 钞票上的铃铛 从1989到2001，10德国马克纸币上有高斯的脸、公式和曲线的绘制 正常。值得一提的是，法国人Abraham de Moivre在1733中已经发现了这条曲线，但正是利用 高斯的测量误差使她成名。另请参阅帖子 统计概念. 卡尔·弗里德里希·高斯的所有主题 · ← Ceres 和最小二乘法 · Egregium 定理和曲率 →

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笛卡尔和函数的思想

笛卡尔从未使用过“函数”这个词。但正是他让这个想法成为可能：在几何学中， 曲线不再仅仅是一幅图画，而是成为两个数字之间的关系，$x$ 和 $y$。 当一个改变时，另一个也跟着改变，遵循一定的规律。在这一部分中，我们将告诉您这个想法是如何产生的 名称、符号和图形。 以下五个主题展开了本次阅读以及随后的函数思想的历史。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ←为什么彩虹出现在42° · 《我思思》阅读：听力和口语 → 图片来源和来源.

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$V - A + F = 2$ 和足球

在 1750 中，欧拉在给数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中指出了 凸多面体的顶点 ($V$)、边 ($A$) 和面 ($F$)： $$V - A + F = 2.$$ 用手指或鼠标旋转多面体并检查计算结果： V、A 和 F 由程序根据绘图本身进行计数。在所有情况下都会给出 2。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 查看五个正多面体： 多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$ 四面体 4 6 4 2 立方体 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 二十面体 12 30 20 2 该公式可以让您推断出令人惊讶的事情。想象一个由 $p$ 五边形和 $h$ 缝合在一起的球 六边形，其中每个顶点恰好是三个面的交汇点，就像足球一样 经典。它需要有多少个五边形？

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