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万有引力：リンゴから月へ

リンゴは落ちるのに、なぜ月は落ちてこないのでしょう？ ニュートン以前、答えは簡単に思えました。天と地は別の規則に従っている。地上ではものは落ちる。天上では星々が完全な円を永遠に回り続ける。ニュートンの偉大な発想は、この区別を疑ったことです。もしかすると、月はずっと落ち続けているのではないか。 ニュートンの大砲 ウールズソープ・マナーの果樹園にあるリンゴの木。言い伝えでは、これが「ニュートンの木」とされる。David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 『プリンキピア』のための草稿で、ニュートンは思考実験を提案しました。とても高い山の頂上に大砲を置き、水平に撃ちます。火薬が少なければ、砲弾は近くに落ちます。多ければ、もっと遠くに落ちます。でも地球は丸い。砲弾が十分に速ければ、地面は砲弾が落ちるのとちょうど同じだけ下に曲がっていきます。砲弾は永遠に落ち続け、決して地面に届きません。軌道に乗ったのです。 地表近くでは、その速さは秒速約 7.9 km、時速 2 万 8000 km です。低軌道を回る人工衛星の速さです。一周は約 84 分（空気抵抗を無視した場合。実際には衛星は大気よりずっと高いところを飛ばなければなりません）。 月はこの砲弾なのです。月は一瞬ごとに地球に向かって落ちていますが、横に動く速さが大きすぎて、決して落ちてきません。 逆 2 乗の法則 この考えが成り立つには、重力は距離とともに弱まらなければなりません。ニュートンは、重力は距離の 2 乗に反比例すると仮定しました。今日の記号では $$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$$M$ と $m$ は二つの質量、$r$ は中心間の距離、$G$ は普遍定数です。距離が 2 倍になれば力は $1/2^2=1/4$ に、3 倍になれば $1/9$ になります。 月の検証 ニュートンは、この仮定を科学に変える計算をしました。月は地球の中心から地球半径の約 60 倍の距離にあります。重力が距離の 2 乗に反比例して弱まるなら、月の加速度は地表のリンゴの $60^2=3600$ 分の 1 のはずです。 $$\frac{9.81}{3600}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$今度は天文学だけを使って、別の方法で月の加速度を測ってみましょう。月は半径 $r\approx384\,400$ km の円を約 $T\approx27.3$ 日で回ります。円運動する物体の加速度は $$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3.844\times10^8}{(27.32\cdot86\,400)^2}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$二つの数は一致します。リンゴを落とす力と月をつなぎとめる力は同じものなのです。ニュートンは、結果が「かなりよく一致した」と書いています。ただし 1666 年には地球の半径として不正確な値を使っていたため、一致は完全ではありませんでした。何年も後、よりよい測定値が得られて、計算はようやくぴったり合いました。 4 行で導くケプラー その数十年前、ケプラーは天文データから、惑星の周期の 2 乗が軌道の大きさの 3 乗に比例することを見つけていました。なぜそうなるのかは誰も知りませんでした。万有引力と第二法則を使えば、少なくとも円軌道については、説明は数行で済みます。

October 11, 2026 読んだ
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ジェームズ・クラーク・マクスウェルの遺産

この実在の概念の変化は、ニュートンの時代以来、物理学が経験した最も深く、最も実り多いものである。 — アルベルト・アインシュタイン、マクスウェル生誕百年に（1931） マクスウェルは 48 歳で亡くなり、一般にはほとんど知られていませんでした。生前、彼の場の理論を受けいれていたのは、イギリスの物理学者の小さなグループくらいでした。今日では、携帯電話を使う人はだれでも、一秒に何十回もそれに頼っています。 情報を運ぶ波 マクスウェルの方程式は、あらゆる振動数の電磁波を予言しました。1887 年のヘルツのあと、マルコーニの無線電信、ラジオ、レーダー、テレビ、人工衛星、携帯電話、Wi-Fi、GPS、電子レンジが続きました。アンテナやチップや光ファイバーを設計する技術者は、なんらかの形でマクスウェルの方程式を解いているのです。 だれにもよらない速さ 方程式は光の速さ $c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ を与えますが、何に対しての速さかは言いません。ニュートンの物理学にとって、これは問題でした。速さはいつも、だれが測るかによって決まるからです。十九世紀末の物理学者たちは静止したエーテルを仮定しましたが、1887 年のマイケルソンとモーリーの実験はそれを見つけられませんでした。1905 年、アインシュタイン は最も急進的なやり方で問題を解決しました。光の速さはだれにとっても同じで、変わるのは時間と空間のほうだ、と。相対性理論は、マクスウェルの方程式を本気で受けとめることから生まれたのです。 確率の物理学 1860 年の速さの分布は、統計力学 の始まりでした。オーストリアのルートヴィヒ・ボルツマンはそれを一般化し、いつも増えていく量であるエントロピーが、分子の並べ方の数を測っていることを示しました。マクスウェルの悪魔は一世紀にわたる議論を引きおこし、最後には熱力学を情報理論と計算に結びつけることになりました。 制御理論の最初の論文 1868 年、マクスウェルは「調速機について」という短い論文を発表しました。蒸気機関の速さを制御する遠心調速機についての論文です。彼は、多項式の根を使った計算によって、調速機が機関を安定させるのか、それともますます大きく振動させるのかを判定する方法を示しました。これは 制御理論 の最初の数学的な仕事とされています。自動操縦装置、サーモスタット、ロボットの背後にある分野です。 ベクトルと物理学の言葉 四元数をめぐるテイトとの議論、curl と convergence という言葉、そしてヘヴィサイドとギブズによる書きなおしが、ベクトル を物理学と工学の言葉にしました。微積分の講義で学ぶ内積、外積、発散、回転は、マクスウェルの方程式を書くために生まれたのです。 残ったもの 電磁気学。 四本の方程式、変位電流、電磁波としての光。 統計物理学。 速さの分布、気体の粘性、マクスウェルの悪魔。 光学と色。 三色説、マクスウェルの三角形、最初のカラー写真。 天文学。 土星の環の構造。 工学。 制御理論と構造解析。マクスウェル＝クレモナ図は今もトラスの計算に使われている。 研究所。 電子、中性子、DNA の構造が発見されたキャヴェンディッシュ研究所。 単位マクスウェル 古い CGS 単位系では、磁束の単位は マクスウェル と呼ばれます。月にはマクスウェル・クレーターが、金星にはその惑星で最も高い山々であるマクスウェル山脈があり、ハワイにはジェームズ・クラーク・マクスウェル望遠鏡があります。2008 年、エディンバラは、彼が生まれた家からほど近いジョージ・ストリートに、犬のトビーをつれたマクスウェルの像を除幕しました。 覚えておきたいこと ジェームズ・クラーク・マクスウェルは 1831 年から 1879 年まで生きた。エディンバラ、ケンブリッジ、アバディーン、ロンドン、そしてふたたびケンブリッジ。 感じられる色を表すには三つの数で足りる。赤、緑、青のフィルターを通した三枚の写真で、マクスウェルは最初のカラー写真をつくった。 土星の環は固体ではありえない。内側の部分は外側より速く動かなければならないからである。$v=\sqrt{GM/r}$。 気体分子の速さはマクスウェル分布にしたがう。27 °C の空気では、山は 420 m/s 付近にある。 四本の方程式が、すべての電気と磁気の現象を記述する。変位電流の項が電荷の保存を保証する。 方程式からは、速さ $\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx$ 秒速 300 000 km の波が出てくる。それが光である。 出典： マクスウェルの伝記、MacTutor · Basil Mahon、The Man Who Changed Everything（Wiley、2003）· James Clerk Maxwell、“On governors”、Proceedings of the Royal Society 16（1868）。

October 14, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを使い、大きなものは幅 1 200 ピクセルに縮小しましたが、それ以外の編集はしていません。 1921 年のアインシュタインの肖像、おそらく Herman Mishkin 撮影、ノーベル財団が使用：元のページ · パブリックドメイン。 1904 年ごろ、ベルンのアインシュタイン、Lucien Chavan 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 国立博物館のアインシュタイン、リオデジャネイロ、1925 年 5 月 7 日、作者不明：元のページ · パブリックドメイン。 リオデジャネイロ植物園のアインシュタイン、1925 年 5 月、作者不明：元のページ · パブリックドメイン。 ソブラルの観測隊の機器、1919 年、Charles Davidson 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 1919 年の日食の乾板、ダイソン、エディントン、デイヴィッドソンの報告より：元のページ · パブリックドメイン。 ブログの図 表紙、光時計の図、2 000 歩のランダムウォークは、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。光時計の図は、このサイトの旧相対性理論講座の図をもとに描きなおしたもので、宇宙飛行士と宇宙線の粒子の例もその講座から来ています。ランダムウォークは、方向をでたらめに選んでコンピュータで生成しました。 記録 ファイル data/einstein_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 アルベルト・アインシュタインの全トピック · ← アルベルト・アインシュタインの遺産

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの原理：水で力を何倍にもする

ゾウとハイヒールをはいた女性。やわらかい地面に深く沈むのはどちらでしょうか。女性のほうかもしれません。ゾウは五十倍も重いのですが、その重さは四本の大きな足に広がっています。女性の重さは、細いヒールの先に集中しています。 地面を沈ませるのは力ではなく圧力です。圧力とは、力をそれがかかる面積で割ったものです。 $$p=\frac FA.$$圧力の単位はパスカルです。$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$、つまり 1 ニュートンの力が 1 平方メートルに広がった圧力です。これはとても小さな圧力で、海面での大気の圧力は約 $100\,000$ Pa です。 液体についての論文 1653 年ごろ、パスカルは『流体の平衡について』を書きました。出版されたのは彼の死後の 1663 年です。そこには、今日パスカルの原理と呼ばれる規則が書かれています。 閉じこめられて静止している液体の一点に加えられた圧力の増加は、液体のすべての点と容器の壁に、等しく伝わる。 歯みがきのチューブの真ん中を押すと、口から中身が出てきます。指の圧力がそこまで届いたのです。風船に水を入れ、何か所か穴をあけて押すと、すべての穴から、あらゆる方向に水が噴き出します。 破裂した樽 パスカルが有名な実演をしたという話があります。水をいっぱいに入れてしっかり閉じた樽のふたに、高さ約 10 メートルの細くて長い管を差し込みました。バルコニーに上がって管に水を注ぐと、1 リットルあまりで樽が破裂したというのです。 この場面が本当にそのとおりだったかはわかりませんが、計算するとありえたことがわかります。高さ $h$ の液柱の底での圧力は $$p=\rho gh,$$です。$\rho$ は液体の密度、$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ です。高さ 10 メートルの水なら、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ として $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$大事なのは水柱の高さで、水の量ではありません。管の断面積が $1\ \text{cm}^2$ なら、10 メートルの水はたった $1$ リットルです。ところが、この $98\,000$ Pa は樽のふた全体に伝わります。ふたの面積が $0.2\ \text{m}^2$ なら、ふたにかかる力は $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$2 トンのものの重さに相当します。細い管の中のたった 1 リットルの水が、自動車が載っているような力でふたを押すのです。 水圧機 パスカルは、この原理を使えば力を何倍にもできることに気づきました。水を満たした二つの円筒が底でつながり、それぞれピストンでふさがれているとします。一方は細く、もう一方は太い。細いピストンを力 $F_1$ で押すと、圧力は $F_1/A_1$ だけ増え、その同じ増加が太いピストンに伝わります。 $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 小さなピストンを押す一人の人は、百倍広いピストンを押す百人の人の力に等しくなる。 — ブレーズ・パスカル『流体の平衡について』 小さいほうの面積が $2\ \text{cm}^2$、大きいほうが $8\ \text{cm}^2$ なら、比は $4$ です。小さいピストンに $50$ N の力をかけると、大きいピストンでは $200$ N になります。車を持ち上げる油圧ジャッキも、足一本の力で車を止めるブレーキも、ショベルカーも、この仕組みで動いています。

October 11, 2026 読んだ
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光と色：プリズムは虹を作らない

ニュートンの時代にはすでに、太陽の光がガラスのプリズムを通ると色の帯ができることが知られていました。広く受け入れられていた説明はアリストテレスとデカルトに由来するもので、白い光は純粋であり、ガラスがそれを変化させ、少しずつ暗くするのだ、というものでした。変化が小さければ赤、大きければ青や紫になる、と。 ニュートンは疑いました。もしかすると色はもともと白い光の中にあって、プリズムはそれを分けているだけではないか？ 暗い部屋 1666 年、ニュートンは部屋を暗くし、窓の雨戸に小さな穴をあけて、細い太陽光線を入れました。その通り道にプリズムを置くと、反対側の壁に赤から紫までの色の帯が現れました。 最初の驚きはその形でした。穴は丸いので、「変化」説によれば丸い色のしみができるはずです。ところが帯は幅の 5 倍も長かったのです。ニュートンにとって、これは色ごとに曲がる角度が違うことを意味していました。紫がいちばん大きく、赤がいちばん小さく曲がるのです。 決定実験 これだけではまだ何も証明できません。プリズムが色を「作り」続けているのかもしれないからです。そこでニュートンは、彼が experimentum crucis、つまり決定実験と呼んだものを行いました。 板に穴をあけて、帯のうち一つの色、たとえば赤だけを通し、その光を2 つ目のプリズムに通しました。ガラスが色を作るのなら、2 つ目のプリズムは赤を新しい虹に変えるはずです。そうはなりませんでした。赤は赤のまま、ただ曲がって出てきただけで、しかもいつも同じ角度でした。青も同じで、曲がる角度が大きいだけでした。 結論：それぞれの色は白い光の成分であり、固有の屈折の度合いをもっている。プリズムは色を作るのではなく、分けるのだ。議論を完結させるため、ニュートンはレンズと 2 つ目のプリズムで色を再び集め、もう一度白い光を得ました。 説明図：プリズムは白い光にもともと含まれている色を分ける。線は色ごとの経路を示し、縮尺は正確ではない。ブログのオリジナル図版。 危険な実験 ニュートンは自分の体で視覚を調べました。ノートには、太い針を眼球と眼窩の骨の間に差し込み、目の奥を押して、現れる色の輪を観察したと書いています。別のときには鏡に映した太陽を長く見つめすぎて、視力が戻るまで何日も暗闇にこもらなければなりませんでした。決してまねしないでください。 屈折を数で表す 今日、屈折はスネルの法則で表されます。これはニュートン以前に発見されていました（イブン・サフル、スネル、デカルトがそれぞれ独立に到達）。 $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$角度は面に垂直な線（法線）から測り、$n$ は各媒質の屈折率です。今日の言葉で言えば、ニュートンの発見はガラスの屈折率が色によって違うということです。普通のガラスでは、赤に対して約 $1.51$、紫に対して約 $1.53$。差は小さくても、色を扇形に広げるには十分です。 たとえば、空気（$n_1=1$）から $\theta_1=45°$ でガラスに入る光線を考えます。赤では $\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.51}\approx0.468$ で $\theta_2\approx27.9°$、紫では $\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.53}\approx0.462$ で $\theta_2\approx27.5°$。プリズムの最初の面だけで、すでに 0.5 度の差がつきます。 なぜ七色なのか？ スペクトルは連続していて、色と色の間に自然な境目はありません。ニュートンははじめ五色を数えました。その後、音階の七つの音と対応させたくて、橙と藍を加えて七色にしたのです。今でも虹は七色だと言われるのはそのためです。 鏡の望遠鏡 ニュートンが 1668 年につくった最初の反射望遠鏡の複製。1924 年にロンドンの科学博物館のためにつくられた。Science Museum Group · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 この発見には実用的な結果がありました。当時の望遠鏡はレンズを使っていましたが、レンズもプリズムと同じように色ごとに光の曲げ方を変えます。星は縁に色がにじんでぼやけて見えました。ニュートンは、単純なレンズではこの問題を解決できないと結論し、主レンズをすべての色を同じように反射する曲面鏡に置き換えました。 1668 年、彼は金属の鏡を自分で磨いて、長さ約 15 cm の、実際に使える最初の反射望遠鏡を作りました。1671 年に王立協会で披露されたこの装置が、彼を有名にしました。ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡を含め、今日の大型望遠鏡は反射式です。

October 11, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 マクスウェルの肖像、G. J. Stodart の版画、1890 年：元のページ · パブリックドメイン。 タータンのリボン、最初のカラー写真、マクスウェルとトマス・サットン、1861 年：元のページ · パブリックドメイン。 上から見た土星、探査機カッシーニ、2013 年：NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute、元のページ · パブリックドメイン。 マイケル・ファラデー、1850 年代の写真、作者不明：元のページ · パブリックドメイン。 『電気磁気論』の扉、オックスフォード、1873 年：元のページ · パブリックドメイン。 犬のトビーをつれたマクスウェルの像、エディンバラ、Зеленый кабинет 撮影：元のページ · CC BY-SA 2.0。 ブログの図 表紙、波の形の図、窒素のマクスウェル分布のグラフは、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。グラフは分布の正確な式で計算して描きました。方程式の記事にある四元数とベクトルの話は、このサイトの旧ベクトル講座の一部をもとにしています。 記録 ファイル data/maxwell_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ジェームズ・クラーク・マクスウェルの全トピック · ← ジェームズ・クラーク・マクスウェルの遺産

October 14, 2026 読んだ
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空気の重さ：ピュイ・ド・ドームの実験

二千年ものあいだ、学者たちはアリストテレスの言葉をくり返してきました。自然は真空を嫌う。ストローで空気を吸うと液体が上がってくるのは、自然がそこを空っぽのままにしておかないからだ、というのです。これですべてが説明できるように思えました。 ところが、フィレンツェの井戸掘り職人たちは困っていました。どんなに頑張っても、吸い上げポンプでは水を約 10 メートルより高く上げられなかったのです。自然の真空嫌いが、なぜ 10 メートルで止まるのでしょうか。 トリチェリの管 1643 年、ガリレオの弟子だったイタリアのエヴァンジェリスタ・トリチェリは、一方の端を閉じた長さ 1 メートルのガラス管に水銀を満たしました。もう一方の端を指でふさぎ、管を逆さにして水銀を入れた盆に立て、指を離しました。水銀は下がって約 76 cm の高さで止まり、管の上部に何もない空間が残りました。 トリチェリの説明は大胆なものでした。水銀柱を支えているのは真空嫌いではなく、盆の表面を押している空気の重さだというのです。私たちは空気の海の底に住んでいる、と彼は書きました。水銀は水の約 13.6 倍の密度があり、$76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m です。フィレンツェのポンプの限界と同じ値です。 パスカル、実験を高いところへ パスカルは 1646 年にこの実験のことを聞き、ルーアンで水やワインを満たした巨大なガラス管を使って再現しました。しかし彼は決定的な検証をしたいと考えました。彼の推論はこうです。もし水銀を支えているのが空気の重さなら、上にある空気が少ない山の頂上では、水銀柱は低くなるはずだ。もし原因が真空嫌いなら、高さは何の違いももたらさないはずだ。 パスカルはパリに住んでいて、体も弱かったので、1647 年 11 月、クレルモンに住む義兄フロラン・ペリエに手紙を書きました。クレルモンは、高さ 1500 メートル近い死火山ピュイ・ド・ドームのふもとにある町です。 1648 年 9 月 19 日 ペリエは証人になってもらうために、クレルモンの神父や名士たちと一緒に山に登りました。管を二本と水銀を持っていきました。この実験には現代的な発想がありました。登る前に、町でいちばん低いところにあるミニム会修道院の庭で二本の管を組み立て、同じ高さになることを確かめたのです。一本はそこに残し、シャスタン神父という修道士に一日じゅう見張ってもらいました。もう一本を持って山に登りました。 ピュイ・ド・ドームの山頂にある 1648 年の実験の記念碑。パスカル生誕三百年の 1923 年に撮影。Agence Rol、1923 年 · フランス国立図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 当時の単位での測定結果は次のとおりです。 場所 水銀の高さ クレルモンのミニム会修道院の庭 26 プース 3½ リーニュ ピュイ・ド・ドームの山頂（約 500 トワーズ上） 23 プース 2 リーニュ フランスの 1 プースは約 $27.07$ mm、1 リーニュは 1 プースの $\frac1{12}$ です。換算すると

October 11, 2026 読んだ
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ニュートンの遺産

ニュートンは史上最大の天才であり、もっとも幸運な人でもあった。宇宙は一つしかなく、それを発見できるのは一度きりなのだから。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、同時代人の記録による 微積分戦争 ニュートンは 1665–1666 年に流率法を作りましたが、発表しませんでした。ライプニッツは 1675 年に独立に微積分にたどり着き、1684 年に発表しました。最初の数年間、争いはありませんでした。1676 年には二人はヘンリー・オルデンバーグを通じて友好的な手紙を交わし、ニュートンは自分の考えをアナグラムに隠しました。 1700 年ごろ、空気が変わりました。ニュートンの支持者たちが、ライプニッツはロンドンで見た手稿から考えを写したのだとほのめかし始めたのです。ライプニッツは王立協会に抗議し、公正な調査を求めました。王立協会は委員会を設置し、1712 年にニュートンに有利な報告書を発表しました。 当時ほとんど知られていなかったことがあります。王立協会の会長はニュートン本人で、報告書を書いたのも彼だったのです。その後、彼は報告書を称賛する書評を匿名で発表しました。 今日の歴史家は、二人がそれぞれ独立に微積分を発明したという点で一致しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、勝ち残った記号を作りました。この争いの代償は大きなものでした。国の誇りのために、イギリスの数学者たちは 1 世紀以上ニュートンの点の記号にこだわり、その間に大陸はライプニッツの $dx$ を使って、ベルヌーイ家やオイラーの手で大きく前進しました。1812 年になってようやく、ケンブリッジの学生たちが解析協会を作り、ライプニッツの記号をイギリスに取り戻しました。 この物語のもう一方の側は、ライプニッツのシリーズで読むことができます。 ニュートン力学の限界 200 年以上、ニュートンの法則はどこでも成り立つように見えました。20 世紀のはじめ、二つの理論がその限界を明らかにしました。 相対性理論。 光の速さに近い速度では、ニュートンが考えたように時間と空間が絶対的なものではなくなります。相対性理論では、動いている時計で測った時間間隔 $t'$ は、静止している人にとってはより長い時間間隔に対応します。 $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$速度 $v$ が光速 $c$ に比べて小さいとき、根号はほぼ 1 になり、ニュートンの世界に戻ります：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。$v\to c$ のときは、差はいくらでも大きくなります。 量子力学。 原子や粒子では、はっきりした軌道というものが意味をもたなくなります。 だからといって、日常生活でニュートンがまちがっているわけではありません。橋、自動車、飛行機、ロケットにとって、彼の力学は今でも使われるほど正確です。相対性理論はニュートンを消し去ったのではなく、ニュートンがどこまで通用するかを示したのです。 讃辞 「才知において人類を超えた人」 ケンブリッジのトリニティ・カレッジの礼拝堂には、プリズムを手にしたニュートンの大理石像があります。1755 年にルイ＝フランソワ・ルビリアックが制作したものです。台座にはローマの詩人ルクレティウスの言葉が刻まれています。Qui genus humanum ingenio superavit、「才知において人類を超えた人」。ここで学んだ詩人ワーズワースは、この像を「思想の見知らぬ海を、永遠にただ一人旅する精神の、大理石の標」と表現しました。 ニュートンはウェストミンスター寺院に、王や女王たちに囲まれて葬られました。墓碑には、プリズム、反射望遠鏡、鋳造したばかりの硬貨を手にした天使たちと、1680 年の彗星の軌道が描かれた天球儀が刻まれています。 まとめ ニュートンは当時のイギリスの暦では 1642 年、私たちの暦では 1643 年に生まれた。 22 歳のとき、ペストで隔離されていた間に、二項級数、流率法、色の理論を生み出した。 二項式 $(1+x)^\alpha$ は、$|x|<1$ ならどんな指数でも成り立つ。 流率 $\dot x$ は変化率を測り、面積はその逆の操作である。 ニュートン法は接線をたどって根に近づく：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。 『プリンキピア』（1687）には三つの運動法則と万有引力の法則がある。 月の検証は、地球の重力が距離の 2 乗に反比例して弱まることを示した。 プリズムは白い光にもともとある色を分けるのであって、色を作るのではない。 ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。 資料： 手稿への案内、ニュートン・プロジェクト · MacTutor の伝記。

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 11, 2026 読んだ
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パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 11, 2026 読んだ