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シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配

シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。 この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。 彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） 第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目 ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。 そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。 そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。 正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって $$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。 $$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。 賭けているだけで気づけるか？ ほとんど無理です。49.1% と 50% の差はとても小さく、確実に気づくには何千回も賭ける必要があります。そのため歴史家たちは、ド・メレが疑ったのは財布ではなく計算のほうだったと考えています。正しいと信じていた二つの規則が違う答えを出したので、どちらが間違っているのかを知りたかったのです。

October 11, 2026 読んだ
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E = mc²：質量に隠れたエネルギー

電気力学の論文から、もうひとつの帰結が思いうかびました。相対性原理とマクスウェルの方程式から、質量は物体に含まれるエネルギーの直接の尺度でなければなりません。この考えはおもしろくて魅力的です。でも、神さまがこれを笑って、私をからかっているのかどうかはわかりません。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年夏） 1905 年 9 月、相対性理論の論文の三か月後、アインシュタインは『物理学年報』にわずか三ページの補足を送りました。題名は問いの形でした。「物体の慣性はそのエネルギー含量によるか？」。答えはイエスで、言葉とちがう文字で書かれたその結論が、物理学で最も有名な式です。 $$\boxed{E=mc^2.}$$簡単にした議論 アインシュタインは、止まっている物体が、同じ瞬間に、反対向きに二つの等しい光のパルスを出すところを考えました。それぞれのエネルギーは $\frac E2$ です。パルスは打ち消しあうので、物体は止まったままです。ここまではふしぎなことはありません。物体はエネルギー $E$ を失いました。 同じ場面を、小さな速さ $v$ で通りすぎる人が見るとします。この観測者にとって、物体は前もあとも同じ速さ $v$ で動いています。けれども相対性理論によれば、前に出た光は少しエネルギーが大きく、うしろに出た光は少し小さく見え、$v$ が小さいとき合計は $$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)$$になります。この観測者にとっても、全エネルギーは保存されなければなりません。物体は $E$ のほかに $E\frac{v^2}{2c^2}$ を余分に失っており、それは運動のエネルギー $\frac12mv^2$ から出たとしか考えられません。速さは変わっていないので、変わったのは 質量 です。 $$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$どんな形であれエネルギー $E$ を失った物体は、質量 $\frac E{c^2}$ を失います。アインシュタインは結論しました。「物体の質量はそのエネルギー含量の尺度である」。質量とは、たくわえられたエネルギーなのです。 それはどれくらいか 数 $c^2$ は巨大です。$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。だから小さな質量が莫大なエネルギーにあたります。たった 1 グラムで、 $$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$TNT 火薬約 2 万 1 千トン分のエネルギーで、広島の原爆より大きく、人口約 1 万人の町が一年に使う電気のすべてにあたります。 逆に、日常のエネルギーにあたる質量はばかばかしいほど小さなものです。1 リットルの水を 20 °C から 100 °C に温めると、水は約 335 000 J を得て、質量は $$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$およそ 10 億分の 4 グラム増えます。どんな秤も気づきません。だから何世紀ものあいだ、質量はぴったり保存されるように見えたのです。

October 14, 2026 読んだ
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マクスウェルの方程式：ファラデーの力線からベクトルへ

はじめは、これほどの数学の力がこの主題に向けられるのを見て、ほとんどおびえたほどでした。それから、主題がそれにとてもよく耐えているのを見て驚きました。 — マイケル・ファラデー、マクスウェル宛の手紙（1857 年 3 月 25 日） 1820 年までは、電気と磁気は別々の主題でした。電気は火花を飛ばし、髪の毛を逆立てる。磁気は方位磁針を北に向ける。その年、コペンハーゲン大学の講義で、デンマークのハンス・クリスティアン・エルステッドは電池を導線につなぎ、近くの磁針が動くのを見ました。電流が磁気を生んだのです。 ファラデーの力線 マイケル・ファラデー（1791–1867）。力線を思い描いた鍛冶屋の息子。作者不明、1850 年代 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ロンドンでは、13 歳で学校をやめて製本屋の見習いになった鍛冶屋の息子マイケル・ファラデーが、この発見をさらに進めました。1821 年、彼は最初の電動機をつくりました。磁石のまわりを回る導線です。1831 年には、エルステッドの逆を発見しました。導線の近くで 動く 磁石は電流を生む。これが 電磁誘導 で、発電所の発電機にも自転車のダイナモにも使われている原理です。 ファラデーは算数より先の数学を知りませんでした。考えるとき、彼は磁石や電荷のまわりの空間が、磁石のまわりに鉄粉が描く線のような 力線 で満たされていると想像しました。大切なのは磁石ではなく力線でした。数学者たちはこの考えを素朴だと思いました。彼らにとって、力はニュートンの重力のように離れたところに直接はたらくものだったのです。 マクスウェルはファラデーの力線を本気で受けとめました。1855 年、24 歳で「ファラデーの力線について」を発表し、図を方程式に翻訳しました。1861 年と 1862 年の「物理的な力線について」では、空間の力学模型を考えました。回転する流体の管が、歯車のようにはたらく小さな玉で仕切られている模型です。奇妙な模型でしたが、足場としては役に立ちました。それを使って、マクスウェルは 変位電流 と 波の速さ を見つけたのです。1865 年の「電磁場の動力学的理論」で彼は足場をとりはずしました。残ったのは方程式だけで、二十の未知数についての 二十本 の方程式が、成分ごとに書かれていました。 四元数か、ベクトルか 二十本の方程式は読みにくいものでした。もっとよい記法が必要で、候補がありました。アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンの 四元数、四つの部分をもつ数 $q=w+ai+bj+ck$ です。マクスウェルの学校時代の友人ピーター・ガスリー・テイトは四元数の大の擁護者で、1870 年から 1871 年にかけての手紙で、『論』に四元数を使うようマクスウェルを説得しようとしました。 マクスウェルが受けいれたのは半分だけでした。磁場のように向きをもつ量をうまく表せる三成分の部分 $ai+bj+ck$ は気に入りましたが、四つ目の部分 $w$ には物理的な意味が見いだせなかったのです。『電気磁気論』（1873）では、スカラー部分とベクトル部分を分け、四元数はひかえめに使いました。1871 年の論文では、場についての演算に、今も使われている名前をつけました。ある点のまわりで場がどれだけ回っているかを測る curl（回転）と、ある点に場がどれだけ集まるかを測り、今日の発散の逆にあたる convergence（収束）です。 『電気磁気論』第一巻の扉（オックスフォード、1873）。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 次の一歩は、『論』を独学で読んだ二人によって踏みだされました。16 歳で学校をやめた電信技手のイギリス人オリヴァー・ヘヴィサイドと、イェール大学のアメリカ人ジョサイア・ウィラード・ギブズは、四元数を捨て、それぞれ独立に、内積と外積をもつ現代の ベクトル解析 をつくりました。1884 年から 1885 年にかけて、ヘヴィサイドはマクスウェルの二十本の方程式を 四本 に書きなおしました。今日どの教科書にも出てくるのは、この形です。

October 14, 2026 読んだ
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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

October 11, 2026 読んだ
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一般相対性理論：エレベーターからソブラルの日食へ

ベルンの特許局で椅子に座っていると、突然ある考えが浮かんだ。人が自由に落ちているなら、その人は自分の重さを感じないだろう。私ははっとした。この単純な考えは私に深い印象を与え、重力の理論へと私を駆りたてた。 — アルベルト・アインシュタイン、1907 年の着想について 1905 年の相対性理論には欠点がありました。重力が入っていないのです。ニュートンの法則では、太陽は 1 億 5 千万キロメートルをへだてて瞬時に地球を引きます。一方、相対性理論では、光より速く伝わるものはありません。アインシュタインはこれを直すのに八年かけました。出発点は、彼が「生涯で最も幸せな考え」と呼んだものでした。 落ちるエレベーター ケーブルが切れたエレベーターのなかにいると想像してください。あなたもエレベーターのなかのすべても、同じ加速度でいっしょに落ちます。リンゴから手をはなすと、リンゴは目の前に浮かんでいます。エレベーターのなかでは、まるで重力がないかのようです。宇宙ステーションの宇宙飛行士はいつもこれを体験しています。彼らが浮かんでいるのは地球から遠いからではなく、地球のまわりを落ちつづけているからです。 逆も成り立ちます。何もない宇宙空間で $9.8$ m/s² で加速しているロケットのなかでは、地球にいるときとまったく同じように、足が床に押しつけられるのを感じます。小さな部屋のなかで行うどんな実験でも、重力と加速を区別することはできません。これが 等価原理 です。 さて、加速しているロケットのなかで、懐中電灯を水平に照らします。光が部屋を横切るあいだにロケットは上に進むので、光は出発点より少し下で反対側の壁に届きます。ロケットのなかでは、光は曲がって進むのです。重力が加速と区別できないなら、重力も光を曲げる はずです。 重力は幾何学である アインシュタインはこの考えを極限までおし進めました。重力は力ではなく、空間と時間の形 だというのです。太陽のような大きな質量はまわりの時空をゆがめ、光も含めて自由に落ちる物体は、そのゆがんだ空間のなかでできるかぎりまっすぐな線、測地線 をたどるだけです。地球が太陽のまわりを回るのは引っぱられているからではなく、太陽にゆがめられた空間のなかを「まっすぐ」進んでいるからなのです。 これを書きあらわすために、アインシュタインには、ガウス が始めリーマンが一般化した曲がった空間の幾何学が必要でしたが、彼はそれを知りませんでした。友人マルセル・グロスマンに助けを求め、何年も試行錯誤を重ねました。1915 年 11 月 25 日、彼はプロイセン科学アカデミーに 場の方程式 を提出します。 $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左辺の $G_{\mu\nu}$ は時空の 曲率 を、右辺の $T_{\mu\nu}$ はそこにある 物質とエネルギー を表します。物理学者ジョン・ホイーラーはこうまとめました。「物質は空間にどう曲がるかを教え、空間は物質にどう動くかを教える」。十本の方程式がからみあっていて、解くのはむずかしいのですが、弱い重力場ではニュートンの重力の法則に戻ります。 最初の検証：水星 水星の軌道は、完全に固定された楕円ではありません。楕円そのものが太陽のまわりをゆっくり回っているのです。この回転のほとんどはほかの惑星の引力で説明できますが、ニュートンの物理学では説明できない 一世紀に 43 秒角 のずれが残っていました。水星と太陽のあいだに目に見えない惑星ヴァルカンがあると唱える人もいました。 1915 年 11 月、アインシュタインは自分の方程式でこの効果を計算し、ちょうど一世紀に 43 秒角を得ました。彼はある友人に、何日も「うれしさで我を忘れた」と書き、胸の鼓動が速まるのを感じたと述べています。 二つ目の検証：曲がる光 太陽のすれすれを通る光について、理論は次の曲がりを予言していました。 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$$GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²、太陽の半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m とすると、 $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$3 km 先から見た硬貨くらいの大きさです。これを測るには、太陽のすぐ横に見える星を撮影し、何か月かのち、太陽が空の別の場所に移った夜に、その星の位置とくらべなければなりません。けれども、太陽の横の星が見えるのは 皆既日食 のときだけです。 1919 年 5 月 29 日の日食にそなえて、セアラー州ソブラルに据えられたイギリス観測隊の望遠鏡。Charles Davidson · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ソブラル、1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日の日食は理想的でした。太陽が明るい星の集まり、ヒアデス星団の前にくるのです。皆既帯はブラジル北部とアフリカの沿岸を通っていました。イギリス王立天文学会は二つの観測隊を送りました。アーサー・エディントンはギニア湾のプリンシペ島へ、アンドルー・クロンメリンとチャールズ・デイヴィッドソンはセアラー州の ソブラル へ。リオデジャネイロの国立天文台の天文学者たちも、太陽のコロナを調べるためにソブラルにいました。

October 14, 2026 読んだ
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変位電流：欠けていた項

マクスウェルの四本の方程式のうち三本は、なんらかの形で彼以前から知られていました。ガウスの法則、磁場の法則、ファラデーの法則です。四本目のアンペールの法則も知られていましたが、それは 不完全 でした。マクスウェルがそれに加えたのは、ただひとつの項 $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$ です。たいしたことのないように見えます。けれども電気と磁気を光に変えたのは、この項だったのです。 アンペールの法則 1826 年、フランスのアンドレ＝マリ・アンペールは、電流とそのまわりの磁場を結ぶ規則を見つけました。今日のことばで言うと、導線のまわりの閉じた道を一周して、道に沿った磁場の成分を足しあわせると、その結果は、その道をふちとする どんな 面を通る電流 $I$ にも比例する、というものです。 $$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$「どんな」という言葉が大切です。虫とり網のわくを考えてください。網は短くても長くてもかまいませんが、わくを通る導線は網も通ります。網を通る電流は網の形によりません。 規則を破るコンデンサー さて、回路に コンデンサー を入れます。空気か真空をはさんだ二枚の平行な金属板です。コンデンサーが充電されるあいだ、電流 $I$ が導線を通って一方の板に流れこみ、もう一方の板からは別の電流が出ていきます。けれども板のあいだには電流は流れません。導線はなく、すきまがあるだけです。 コンデンサーの手前で、導線のまわりに円い道をとります。網が 平ら で導線を切るなら、それを通る電流は $I$ です。網が 長く、導線にふれずに板のあいだを通る袋のようなら、それを通る電流は ゼロ です。同じ道、同じ磁場の積分なのに、答えが二つある。この場合、アンペールの法則は正しくありえません。 板のあいだで変わるもの 板のあいだを電荷は通りませんが、変わるものがあります。電場 です。板に電荷 $Q$ がたまるにつれ、面積 $A$ の板のあいだの電場は大きくなります。 $$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$板の面積を通る電場の流束は $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$ で、その変わる速さは $$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I$$です。導線を流れてくる電流とちょうど同じです！マクスウェルは、変化する電場は電流のようにはたらくと考えました。彼はそれを 変位電流 $I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$ と呼び、アンペールの法則に加えました。 $$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$これで二つの網の答えが一致します。平らな網を通るのは導線の電流 $I$ だけです。長い網を通る電流はありませんが、板のあいだで変化する電場があって、それが同じ量を寄与するのです。 なぜ「変位」なのか この名前は 1861 年の力学模型から来ています。マクスウェルは、真空にもエーテルという媒質があって、場が変わるとそのなかの電気をおびた粒子が、のばされたばねのように少し 変位 すると考えていました。その小さな変位が、ほんとうの電流だというのです。エーテルは存在しないことを、マイケルソンとモーリー、そして アインシュタイン が示すことになりますが、この項は模型より長く生きのびました。力学的な説明がまちがっていても、自然は方程式にしたがっているのです。 電荷は保存される この項がなければならない理由はほかにもあります。微分形では、修正前のアンペールの法則は $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$ です。ところが回転の発散はいつも 0 なので、これは $\nabla\cdot\mathbf J=0$ を強います。電流はどこにもたまることができず、どんなコンデンサーも充電できなくなってしまうのです。マクスウェルの項を入れると、

October 14, 2026 読んだ
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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

October 11, 2026 読んだ
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運動の法則：力と速度の変化

アリストテレスによれば、物体は何かに押されている間だけ動きます。荷車を押すのをやめれば、荷車は止まる。当たり前に思えますし、実際 2000 年近く受け入れられてきました。 ガリレオは疑問を持ちました。斜面に球を転がしてみて、表面がなめらかなほど球が遠くまで転がることに気づいたのです。摩擦がまったくなければ、球は決して止まらないでしょう。デカルトも同じような考えにたどり着きました。ニュートンはこれらの手がかりをまとめ、1687 年の『プリンキピア』に、力学全体の土台となる三つの法則を書きました。 1687 年の『プリンキピア』初版の扉。アイザック・ニュートン · Wikimedia Commons · パブリックドメイン。 この本はラテン語で書かれ、証明はほとんどユークリッド流の幾何学だけを使っています。ニュートンはすでに流率法を持っていましたが、読者が異論なく受け入れる言葉を選んだのです。法則は冒頭に、公理として現れます。 第一法則：慣性 すべての物体は、加えられた力によってその状態を変えられない限り、静止の状態、または直線上の一様な運動の状態を続ける。 — 『プリンキピア』法則 I 荷車が止まるのは摩擦が減速させるからで、動くのに「疲れた」からではありません。宇宙で、何もないところでは、エンジンを止めた探査機は何百万キロもまっすぐ進みます。1977 年に打ち上げられ、今も太陽から遠ざかり続けている探査機ボイジャーがその例です。 この教訓は直感に反します。力は運動を維持するものではなく、運動を変えるものなのです。 第二法則：力と加速度 運動の変化は加えられた起動力に比例し、その力が加えられた直線の方向に起こる。 — 『プリンキピア』法則 II ニュートンが「運動」と呼んだのは、今日の運動量、つまり質量×速度のことです。質量が変わらなければ、この法則はおなじみの式になります。 $$\sum\vec F=m\,\vec a.$$$\sum$ は、大事なのはすべての力の合計だということを思い出させます。10 N の力が 2 kg の物体を右に押し、4 N の摩擦が左に引くなら、合力は右向き 6 N で、 $$a=\frac{6}{2}=3\ \text{m/s}^2.$$流率の言葉で言えば、加速度は $\ddot x$、位置の流率の流率です。すると第二法則は $m\ddot x=F$ という微分方程式になります。力がわかれば、運動全体を一瞬一瞬計算できます。これこそが、ニュートン力学を予測の機械にしているのです。 第三法則：作用と反作用 すべての作用には、つねに等しい反作用が逆向きにはたらく。 — 『プリンキピア』法則 III 壁を押すと、壁は同じ大きさの力であなたを押し返します。泳ぐ人が水を後ろに押すと、水は人を前に押します。ロケットも同じで、ガスを下に噴き出し、ガスがロケットを上に押します。 よくある混乱：力が等しく逆向きなら、なぜ打ち消し合わないのでしょうか？ それは別々の物体にはたらくからです。あなたが加える力は壁に、壁が加える力はあなたにはたらきます。あなたが加速するかどうかを知るには、あなたにはたらく力だけを数えます。 彼の名をとった単位 国際単位系では、力の単位はニュートン（N）と呼ばれます。1 ニュートンは、1 kg の物体に 1 m/s² の加速度を与える力です。ふつうのリンゴの重さはおよそ 1 N。物理の先生が大好きな偶然です。 三法則の射程 この三つの文に万有引力の法則を加えて、『プリンキピア』は物体の落下、投射体の運動、潮の満ち引き、月の軌道、地球が両極でつぶれていることを説明しました。今でも、橋の設計、人工衛星の軌道計算、自動車の衝突シミュレーションに使われているのはこれらの法則です。

October 11, 2026 読んだ
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アルベルト・アインシュタインの遺産

想像力は知識より大切だ。知識にはかぎりがあるが、想像力は世界を包みこむ。 — アルベルト・アインシュタイン、『サタデー・イヴニング・ポスト』のインタビュー（1929） アインシュタインは、だれもが顔を知っているただひとりの科学者です。けれども彼の遺産はポスターのなかにはありません。私たちが何も考えずに使っている道具のなかに、そして物理学者が今も答えようとしている問いのなかにあるのです。彼の予言のいくつかは、死後何十年もたってからようやく確かめられました。 レーザー 1917 年、物質が光を吸収し放出するしくみを調べていたアインシュタインは、励起された原子が、自然に光子を吸収・放出するだけでなく、光子によって 誘導 されて、同じ向きにそっくり同じ光子をもうひとつ出すことがあると気づきました。理論上の観察でした。四十年後、それは レーザー になります。「誘導放出による光の増幅」の英語の頭文字です。バーコードの読み取り機、光ファイバー、目の手術、講義用のポインターは、どれも誘導放出の応用です。 物質の新しい状態 1924 年、インドの物理学者サティエンドラ・ナート・ボースが、光子の新しい数え方を述べた論文をアインシュタインに送りました。アインシュタインはそれをドイツ語に訳して発表させ、その考えを原子に広げました。そして、絶対零度のすぐ近くでは、ある種の原子の気体が、まるですべての原子がひとつになったかのように、ただひとつの状態に凝縮すると予言しました。ボース＝アインシュタイン凝縮 は 1995 年に実験室でつくられ、実現した人たちは 2001 年のノーベル賞を受けました。 宇宙と「最大のあやまち」 1917 年、アインシュタインは一般相対性理論を宇宙全体にあてはめました。方程式によれば、宇宙はじっとしていることができず、膨張するか収縮するかしなければなりません。当時はだれもが静止した宇宙を信じていたので、アインシュタインは宇宙を止めておくためだけに、方程式にひとつの項、宇宙定数 $\Lambda$ を加えました。1929 年、エドウィン・ハッブルが、銀河どうしが遠ざかっていること、つまり宇宙が膨張していることを示します。物理学者ジョージ・ガモフによれば、アインシュタインはあの定数を生涯「最大のあやまち」だったと言ったそうです。 話にはどんでん返しがあります。1998 年、宇宙の膨張が 加速している ことがわかり、いちばん簡単な説明がまさに宇宙定数だったのです。「あやまち」は方程式に戻ってきました。 時空のさざ波 1916 年、アインシュタインは、加速する質量が 重力波、つまり光の速さで伝わる時空そのもののさざ波を生むと予言しましたが、弱すぎて測ることはできないだろうと考えていました。2015 年 9 月 14 日、ほぼ百年後、アメリカの LIGO の検出器がそれをとらえました。13 億光年のかなたで二つのブラックホールが合体したときのものでした。その波は検出器の長さ 4 km の腕を、陽子の大きさの千分の一にもならないだけのばしたり縮めたりしました。 ブラックホール アインシュタインの方程式は、時空があまりにゆがんで光さえ逃げられない領域を許します。アインシュタイン自身は、自然がそんなものをつくるのか疑っていました。今では、私たちの銀河の中心に太陽の 400 万倍の質量のブラックホールがあることがわかっており、2019 年にはイベント・ホライズン・テレスコープが、M87 銀河にあるブラックホールの影の最初の画像を公開しました。 1925 年 5 月、リオデジャネイロの植物園のアインシュタイン。作者不明 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン アインシュタインとブラジル 1925 年の訪問はあとを残しました。アインシュタインを迎えたのは、ブラジル科学アカデミーと、国立天文台の台長でソブラルの日食観測にも加わった科学者エンリケ・モリーゼでした。新聞は似顔絵やコラムを載せ、そのひとつは相対性という言葉をもじって「無相対性」という題の風刺画を掲げました。ソブラルには今、望遠鏡が据えられた場所に 日食博物館 があり、2019 年の百周年には、町で一週間にわたる科学の催しが開かれました。

October 14, 2026 読んだ
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光は電磁波である

光は、電気と磁気の現象の原因である同じ媒質の横波からなる、という推論を避けることはほとんどできない。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル「物理的な力線について」（1862）、斜体は原文のまま 1861 年の夏、本から遠く離れたグレンレアで、マクスウェルは渦と小さな歯車の模型を使ってある計算をしました。電気と磁気の力を伝える媒質をゆさぶると、その乱れは波として伝わるはずだ。速さはどれくらいか。計算から出てきた数は、磁石と電荷を使って実験室で測られる二つの定数だけで決まっていました。手もとにはその値がありませんでした。10 月にロンドンに戻って調べてみると、その数は 光の速さ だったのです。 波動方程式 今日の形の方程式で計算をやり直しましょう。電荷も電流もないところでは $\rho=0$、$\mathbf J=0$ で、方程式は $$\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$になります。三本目の回転をとると、四本目を使って $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.$$左辺では、ベクトルの恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E$ が成り立ち、一本目の方程式から最初の項は 0 です。残るのは $$\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.}$$これは 波動方程式 で、ダランベールの振動する弦や音と同じものです。波動方程式 $\nabla^2u=\frac1{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$ では、波の速さは $v$ です。したがってここでは $$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$その数 今日の値、$\varepsilon_0\approx8.854\times10^{-12}$ F/m と $\mu_0\approx1.257\times10^{-6}$ H/m を使うと、 $$v=\frac1{\sqrt{8.854\times10^{-12}\cdot1.257\times10^{-6}}}\approx2.998\times10^8\ \text{m/s}=299\,792\ \text{km/s}.$$1862 年、マクスウェルは、ドイツのヴィルヘルム・ヴェーバーとルドルフ・コールラウシュが 1856 年にライデン瓶の放電で測った定数を使い、秒速 310 740 km を得ました。光の速さの最良の測定は、フランスのイポリット・フィゾーが 1849 年に歯車と 8 km 先の鏡で行ったもので、秒速 314 858 km でした。一方は磁石で、もう一方は鏡で、まったく関係のない道すじで得られた二つの数が、1% あまりしかちがわなかったのです。冒頭の引用の一文は、そこから来ています。マクスウェルはそれを斜体で書きました。

October 14, 2026 読んだ
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サイクロイド：歯痛の曲線

自転車のタイヤに点を一つ描き、まっすぐに押して進んでみましょう。点は上がっていき、アーチを描いて、また下りてきて地面に触れます。車輪が一回転するごとにこれをくり返します。この点が描く曲線をサイクロイドといいます。 17 世紀には、これが流行の曲線でした。フランス人は ルレット と呼びました。あまりに多くの数学者がこの曲線についての発見をめぐって争ったので、あだ名までつきました。トロイア戦争を引き起こしたヘレネーにちなんで、幾何学者たちのヘレネーです。 車輪の方程式 半径 $r$ の車輪が直線の上をすべらずに転がるとします。車輪が角 $t$（ラジアンで測る）だけ回ると、中心は距離 $rt$ だけ進みます。これは地面に触れた縁の長さです。いちばん下から出発した点は、そのとき $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$の位置にあります。$t=0$ から $t=2\pi$ までで、車輪はちょうど一回転します。アーチの幅は車輪の周の長さに等しい $2\pi r$、いちばん高いところは直径の $2r$ です。 半径 1 の車輪が描くサイクロイドの一つのアーチ。アーチの下の面積は 3π で、車輪の面積の三倍です。ブログのオリジナル図版。 ガリレオ、曲線の重さを量る 1599 年ごろ、ガリレオはこの曲線に名前をつけ、一つのアーチの下の面積を知りたいと考えました。計算できなかったので、同じ材料の板からサイクロイドと、それを生み出す円とを切り抜いて、重さを量りました。サイクロイドは円のほぼ三倍の重さでした。ガリレオは、比はちょうど 3 ではないのではないかと疑い、そこでやめてしまいました。 比はちょうど 3 でした。ジル・ド・ロベルヴァルが 1634 年にそれを証明し、今ではその計算は数行で済みます。 微積分で面積を求める 曲線の下の面積は、高さ $y$、幅 $dx$ の細い帯の和です。$dx=r(1-\cos t)\,dt$ なので、 $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$二乗を展開すると、三つの部分が残ります。 $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最後のものは $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ から出てきます。合計すると $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$サイクロイドの一つのアーチの下の面積は、それを描いた車輪の面積の三倍です。ガリレオの切り抜きは正しかったのです。 1658 年の夜 1658 年には、パスカルが数学から離れて四年がたっていました。姉ジルベルトによると、ある夜、彼はひどい歯痛で眠れませんでした。痛みを忘れようとして、サイクロイドについて考え始めると、痛みが消えました。パスカルはそれを研究を続けてよいという許しと受けとり、八日のうちに、誰も解いたことのない問題を解きました。曲線の各部分の面積、その重心、そして曲線を軸のまわりに回転させてできる立体の体積です。 それから彼は、アモス・デトンヴィルという偽名で、ヨーロッパ中に公開の挑戦状を出しました。一位には金貨 40 ピストル、二位には 20 ピストルを出すとし、締め切りは 1658 年 10 月 1 日でした。

October 11, 2026 読んだ
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フェルマーの原理：光はもっとも速い道を選ぶ

砂浜にいるライフガードが、少し沖の、横にずれたところで誰かがおぼれているのを見つけました。どの道を行くべきでしょうか？ 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。砂の上を走るほうが、水の中を泳ぐよりずっと速いからです。少し余分に砂浜を走って、泳ぐ距離を減らすほうが得なのです。 フェルマーは、光がまさにこの選択をしていることに気づきました。 反射：最短の道 いちばん古い考えは鏡についてのものです。1 世紀、アレクサンドリアのヘロンはすでに、光は反射するとき、鏡を経由して二点を結ぶ最短の道を通ることに気づいていました。 導関数で確かめてみましょう。光源 $S$ は鏡から高さ $a$、目 $T$ は高さ $b$ のところにあり、二つの水平距離は $\ell$ です。光は鏡の点 $M$ に当たり、$M$ は $S$ の真下から距離 $x$ のところにあります。 道 $S\to M\to T$ の長さは $$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$最小のところでは、導関数がゼロになります。 $$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$それぞれの分数は角の正弦です。$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ は鏡の法線から測った入射角 $\hat i$ の正弦、$\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ は反射角 $\hat r$ の正弦です。したがって $$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$これが反射の法則、入射角は反射角に等しいです。 屈折：最短の時間 反射では光は同じ媒質の中にとどまるので、最短の道がもっとも速い道でもあります。しかし光が空気から水に入ると、向きを変えます。折れ曲がった道は直線より長い。なぜ光はそんなことをするのでしょう？ 1662 年、フェルマーは答えを出しました。光が通るのは最短の道ではなく、もっとも速い道だ。水の中では遅くなるなら、空気中で少し余分に進むほうが得になる。砂浜のライフガードと同じです。 二つの媒質：点 P の位置によって、それぞれの媒質を進む距離と全体の時間が決まる。角度は境界面の法線から測る。ブログのオリジナル図版。 一つ目の媒質での光の速さを $v_1$、二つ目での速さを $v_2$ とします。距離は先ほどと同じで、今度は点 $T$ が境界面の下にあるとすると、全体の時間は $$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$微分してゼロとおくと、 $$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$法線との角の正弦だと気づけば、 $$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{つまり}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$これが高校で習う屈折の法則、スネルの法則です。光が二つ目の媒質で遅くなる（$v_2

October 11, 2026 読んだ