数学の歴史

代数学の基本定理

ガウスは博士論文の1799で、次の条件を満たす限り、次数$n$ のすべての多項式には根が$n$ あることを証明しました。複素数も受け入れられます。たとえば、$x^2 + 1 = 0$ には実際の解決策はありませんが、2 つの複雑な解決策があります。 $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ ガウスはまた、複素数を平面上の点として描く方法を普及させました。複合: $a + bi$ は点 $(a, b)$ です。ノルウェー人のカスパー・ヴェッセル (1797) とスイス人のジャン・ロベール・アルガン (1806) も同じ考えを持っていましたが、彼らの作品を読んだ人はほとんどいませんでした。ガウスの名声は、 1831さん、絵を拡散していただきました。そのためアルガンド・ガウス平面とも呼ばれます。そして、17 の辺を持つ多角形との素晴らしい接続が表示されます。の $x^3 = 1$ の 3 つの根は $$1, \qquad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i, \qquad -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i,$$ 平面上では半径1 の円に内接する正三角形の頂点になります。同じちなみに、$x^{17} = 1$ の 17 ルートは、17 辺の多角形の頂点です。この方程式を勉強しましたガウスが建設現場に到着したこと。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 10, 2026 読んだ

多面体の角度とオイラーの公式

立方体の 1 つの頂点には 3 つの正方形があり、それらの角度は加算されます。 $3 \times 90° = 270°$。 1 ターンを完了するには $90°$ 個が残っています。これが頂点の欠陥です。によって 1630 頃、デカルトは凸多面体においてすべての欠陥の総和が存在することを発見しました。頂点は常に 720° です。多面体頂点の角度欠陥頂点和四面体 3 × 60° = 180° 180° 4 720° キューブ 3 × 90° = 270° 90° 8 720° 八面体 4 × 60° = 240° 120° 6 720° 十二面体 3 × 108° = 324° 36° 20 720° 正二十面体 5 × 60° = 300° 60° 12 720° 頂点の周囲の面は、平面内で開いています。赤いスライスは欠陥で、360° を完了するために残された角度です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 10, 2026 読んだ

オイラーの公式と「最も美しい方程式」

数値 $e$ は次のように連続して書くことができます。 $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ オイラーは指数に虚数を入れる勇気を持っていました。 $x$を$i\theta$に変更し、 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$ を使用: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ $i$ のない用語と $i$ の用語を分ける: $$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$ 括弧内の 2 つの系列は、まさにコサインとサインの系列です。これが公式です。オイラー: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ 幾何学的には、$e^{i\theta}$ は半径 1 の円上を歩く点です。実数部はコサイン、虚数部はサインです。点の回転を確認してください。

October 10, 2026 読んだ

素数を数える

オイラーは素数が決して終わらないことを証明しました（彼の章を参照）。しかし、何人いるでしょうか？ 15歳のガウス彼は自由時間を過ごし、一度に 1,000 人ずつテーブルのいとこを数えていました。 $x$という数字の近くに、多かれ少なかれすべての $\ln x$ 内の 1 数値は素数です。したがって、推定値は次のようになります: $x$ までの素数の数、これを $\pi(x)$ と呼びます。これは次のようになります。 $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ $x$までのいとこ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 コンピューターは実際の素数 (青色) を数え、それらをガウスの推定値と比較します。 x が大きいほど、誤差のパーセンテージが小さくなります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 10, 2026 読んだ

キスサークル定理

1643 がエリザベート王女に宛てた手紙の中で、デカルトは 4 つの接円を 2 つずつ扱いました。円の曲率を半径の逆数$k = \frac{1}{r}$と呼びます。定理によれば、曲率を満たす $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ 適用: 半径 1 の 3 枚の等しいコインが 2 枚ずつ接触します。に収まる円の半径はいくらですか? それらの間の穴？ $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ および $k_4 = k$ の場合: $$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$ 符号$+$の場合: $k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$、つまり半径は$\approx 0{,}155$です。真ん中の小さな丸です。記号$-$の場合：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。負の曲率は円を示します。半径 $\approx 2{,}155$ で他の 3 つが含まれます。中央の円とすべてを囲む 3 つのコイン。デカルトの定理を各穴に再度適用すると、アポロニウスのガスケットが現れます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 10, 2026 読んだ

ばねと微分方程式

微分方程式とは、未知数が関数であり、その方程式がその関数を語る方程式です。派生製品。オイラーはこの道筋を、今日でも私たちが使用しているスキームに体系化しました。つまり、現象を観察し、書きます。方程式を解き、それを解く関数を見つけてグラフを描きます。オイラーのスキーム:現象→微分方程式→解関数→グラフ。導関数は最大点と最小点も指します。オイラーの目コレクション現象 1678 で、ロバートフックはバネの挙動をラテン語で要約しました: ut tensio, sic vis、「拡張であるため、強度もあります。」 $x$ によって引き伸ばされた定数 $k$ のバネが、強さ$F = -kx$。定数 k のバネに取り付けられた質量 m の物体。オイラーの目コレクション質問: 各時間 t での位置を与える関数 x = x(t) は何ですか?オイラーの目コレクション F = m·a、F = −kx: 微分方程式が表示されます。オイラーの目コレクション方程式。ニュートンの第 2 法則 $F = m \cdot a$ により、加速度は次の導関数です。位置、$x''$。それから

October 10, 2026 読んだ

セレスと最小二乗法

1801 年 1 月 1 日、天文学者ジュゼッペピアッツィはパレルモで、動く小さな点を発見しました。星々の中では、それは今日準惑星に分類されているケレスでした。ピアッツィは41日間彼に同行しました。太陽のまぶしさに消えるまで。観測が非常に少ないため、誰も軌道を計算する方法を知りませんでした。永遠に失われたようだった。ガウスは 24 歳で、新しい方法を作成し、数週間で軌道を計算しました。 31の夜に 1801 12 月、天文学者フランツ・フォン・ザッハがガウスが示した場所に望遠鏡を向けると、そこにありました。セレス。 1801 年をアニメーション化します。ケレスが観察され、太陽の後ろに消え、年の最後の日に再び発見されます。「ガウス予測」をクリックすると、計算された軌道が表示されます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 Theoria motus corporum coelestium (1809)。ガウスがその方法を説明しました。パブリックドメインその秘密の一つは測定誤差への対応にありました。すべての観測には小さな誤差が含まれます。測ったら同じことを何度か行って異なる値が見つかった場合、どの数値を選択すればよいでしょうか? ガウスの答えは、誤差の二乗和が最小となる数字$c$です。測定あり $x_1, x_2, \ldots, x_n$、合計は $$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$ 四角形を開くと、$c$ に 2 次関数が表示されます。 $$S(c) = n\,c^2 - 2\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right) c + \left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right).$$ グラフは口を上に向けた放物線であり、最も低い点が頂点になります。 $c = -\frac{b}{2a}$:

October 10, 2026 読んだ

42°に虹が現れるのはなぜですか

デカルトは流星の中で屈折の法則を使って虹を説明しました。視度。光が空気から水に向かうとき、光は曲がります $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ ここで、$i$ は進入角度、$r$ は水への角度、$n \approx \frac{4}{3}$ は水の角度です。 (オランダ人のヴィレブロルド・スネルは以前にも同じ法則を発見していましたが、公表しませんでした。そのため、この法則はこう呼ばれています。スネル・デカルトの法則。）流星の元の図 (1637): 太陽光線が水滴に入り、左下の観察者の目に到達します。ルネ・デカルト · パブリックドメインデカルトは、太陽光線が球形の液滴に入り、内部で反射して出ていく様子を想像しました。角度に従って光線は出ていき、次の角度を作ります。 $$\theta = 4r - 2i.$$ 彼は、液滴のさまざまな位置に入る光線に対してこの角度を手動で計算しました。アカウントをやり直す $n = \frac{4}{3}$の場合: 入射角$i$ $r$ 射出角度$\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 右側の列に注目してください。上昇し、約 42° の最大値に達し、再び下降します。近くの最大値では、非常に異なる位置 (50° から 70°) で入射する光線は、ほぼ同じ角度で射出されます。そこに光が溜まるので、太陽と反対側の点から42°に明るいアークが見えます。

October 10, 2026 読んだ

ケーニヒスベルク橋とグラフの誕生

1652 のケーニヒスベルク、プレーゲル川とその島々。橋の数を数えることができます。メリアン・エルベン · パブリックドメインケーニヒスベルク市（現在のロシアのカリーニングラード）にはプレーゲル川が流れ、川は 2 つの川を形成しました。島々。 7 つの橋が市内の 4 つの地域を繋いでいました。住民はそれが可能なのか疑問に思った各橋を 1 回ずつ歩いて渡ってください。答えを読む前に、自分で試してみてください。どこから開始するかを選択し、橋をクリックして渡ります。 7を越えることができますか? このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。オイラーは、街路の形状、島の大きさ、橋の長さは重要ではないことに気づきました。重要なのはどの地域がどの地域にリンクしているかだけです。彼は地図を点のある絵に置き換えた（地域）と路線（橋）。現在ではこれをグラフと呼びます。オイラーの論文の元の図 (1736): 領域は A、B、C、D で、橋は a、b、c、d、e、f、g です。レオンハルト・オイラー · パブリックドメイン今日は同じ問題を次のように描画します。ケーニヒスベルクグラフ。赤い数字は、各地域に到達する橋の数を示します。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。さて、控除です。ツアーでは、地域を通過するたびに（開始または終了せずに）それ)、ブリッジを使用して入場し、別のブリッジを使用して終了します。そして中間地域からの橋がやってくる常にペアで：到着するブリッジの数は偶数でなければなりません。開始リージョンのみと、到着ステージには奇数のブリッジが存在する場合があります。結論：ツアーは最大でも 2 つの地域に奇数の橋がある場合にのみ可能です。ケーニヒスベルクで数える: 地域橋偶数か奇数か？クナイプホフ島 5 (a, b, c, d, e) 奇数北岸 3 (a, b, f) 奇数南岸 3 (c, d, g) 奇数ロムセ島 3 (e, f, g) 奇数奇数地域が4 つあるので見学は不可能です。オイラーは 1735 で議論を提示しました。そしてこれは、今日遅れている領域であるグラフ理論の最初の成果と考えられています。 GPS、ソーシャルネットワーク、配送ルート。

October 10, 2026 読んだ

正規曲線、ガウスの鐘

測定誤差がランダムである場合、誤差はどのように分布するのでしょうか? Theoria motus では、ガウスはアイデアから始めました。平均が最良の推定値であることがわかり、誤差曲線の形状に到達しました。 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ ここで、$\mu$ は平均値、$\sigma$ は標準偏差です。それは正規曲線、またはガウスベルです。中程度、対称的で、平均から離れるにつれて低くなります。それは高みからどこにでも現れます。機械のエラーに人を巻き込む。ベルが上昇する様子を美しく見るのは、1873 でフランシスゴルトンが発明したゴルトンマシンです。ビー玉はグリッドのペグを通って落ち、各ペグで同じように左または右に移動します。チャンス。ほとんどは中央付近で終わりますが、端まで到達するものはほとんどありません。ビー玉を落として、ガウスベルが現れるのを見てください。ボールが数個あるだけで、すべてが台無しになります。何百もあると、形が単独で現れます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。正規曲線の場合、68-95-99,7 のルールが適用されます。値の約 68% は平均値から最大 1 標準偏差です。約 95% は最大 2 標準偏差離れています。約 99,7% は最大 3 標準偏差離れています。その後間もなく、ベルギーのアドルフ・ケトレは正規曲線を使用して人々の身長、体重、出生数、死亡数、収入はガウスの鐘にほぼ従った。 10 ドイツマルク紙幣 (1989 ～ 2001): ゲッティンゲンの建物の隣にあるガウス、正規曲線と公式。オイラーの目コレクション紙幣の鐘 1989から2001まで、10ドイツマルク紙幣にはガウスの顔、公式と曲線の描画が描かれていました普通の。フランス人のアブラアン・ド・モアブルがすでに 1733 でこの曲線を発見していたことは言及する価値がありますが、それは彼女を有名にした測定誤差におけるガウスの研究。による投稿も参照してください統計の概念. すべてのトピックはカール・フリードリッヒ・ガウスによる · ← セレスと最小二乗法 · エグレギウムの定理と曲率→

October 10, 2026 読んだ

デカルトと関数の考え方

デカルトは「関数」という言葉を決して使いませんでした。しかし、このアイデアを可能にしたのは彼でした。幾何学では、曲線は単なる図面ではなくなり、$x$ と $y$ という二つの数字の関係になります。一方が変化すると、ルールに従って他方もそれに伴って変化します。このパートでは、このアイデアがどのように得られたかを説明します名前、シンボル、グラフィック。次の 5 つのトピックは、この解釈とその後の関数の考え方の歴史を展開します。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。すべてのトピックはルネ・デカルトによる · ← なぜ42°に虹が現れるのですか · コギトの読み方: 聞くことと話すこと→ 画像のクレジットと出典.

October 10, 2026 読んだ

$V - A + F = 2$とサッカーボール

1750 では、オイラーは数学者クリスチャンゴールドバッハへの手紙の中で、凸多面体の頂点 ($V$)、辺 ($A$)、および面 ($F$): $$V - A + F = 2.$$ 指またはマウスで多面体を回転し、計算を確認します。 V、A、F はプログラムによって図面自体からカウントされます。いずれの場合も 2 となります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 5 つの正多面体を確認してください。多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$ 四面体 4 6 4 2 キューブ 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 正二十面体 12 30 20 2 この公式を使えば、驚くべきことを推測することができます。 $p$ の五角形と $h$ を縫い合わせたボールを考えてください。サッカーボールのように各頂点がちょうど 3 つの面の交わる点である六角形。古典的な。五角形は何個必要ですか? 顔: $F = p + h$。エッジ: 各五角形には 5 の辺があり、各六角形には 6 の辺があり、各エッジは 2 つで共有されます。顔。次に$A = \frac{5p + 6h}{2}$。頂点: 各頂点は 3 つの面によって共有されます。次に$V = \frac{5p + 6h}{3}$。 $V - A + F = 2$ に置き換えて、すべてに 6 を掛けます。

October 10, 2026 読んだ