平面幾何学

周囲の長さ

缶に紐を巻きつけて直径いっぱいに伸ばすと３倍強くらい入ります。これは、あらゆる缶、ホイール、コインに当てはまります。この「３強」がπ という数字になります。発見者円の輪郭が直径の 3 倍より少し大きいことは、4 000 年ほど前にバビロニア人とエジプト人によってすでに知られていました。 3、$3\tfrac{1}{8}$、3,16 などの値が使用されました。最初に確実にπ を計算したのはシラクサのアルキメデス (紀元前3世紀) で、辺が96の多角形を用いて、πが$3\tfrac{10}{71}$と$3\tfrac{1}{7}$の間にあることを証明しました。 π という記号はウェールズ人のウィリアム・ジョーンズが1706で使用し、普及させたのはレオンハルト・オイラーです。歴史アルキメデスは円を内側と外側の 2 つの多角形で囲み、辺の数を 6、12、24、48、96 の 4 倍にしました。ポリゴンの周囲は下から上から輪郭に近づきます。 5 世紀に中国の祖崇志は 3,1415926 < π < 3,1415927 に達し、その記録はほぼ千年続きました。今日、π の小数点以下の何兆桁もコンピューターによって計算されることが知られていますが、エンジニアリングのほぼすべての場合、3,14159 で十分です。日常生活での応用車輪と走行距離計。各回転ごとに、車輪はその長さ $C = 2\pi r$ を移動します。車のダッシュボードがラップをカウントします。自転車。リム 29 のホイールとタイヤの直径は約 74 cm で、1 回転あたり約 2,3 m 移動します。陸上競技場外側の車線はカーブが長いため、より前から始まります。裁縫師のメジャーウエストを測ることは「周囲」を測ることです。式半径を選択し、ホイールを 1 回転させます。展開された赤い部分が円周です。黄色のマークは直径です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。定理 · 周囲の長さ円の長さ $C$ とその直径 $d$ の比率は常に同じ数値 $\pi \approx 3{,}14159$ になります。このような、 $$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

October 12, 2026 読んだ

角度: ターンとコーナー

ドアを開けるとき、ドアノブを回すとき、または角を右に曲がるとき、あなたはを回します。この回転の大きさを角度と呼びます。どれくらい回しましたか？ 1 回転: もう一度同じ場所を見るまで回転します。半回転: 見ていた方向に背を向けます。クォーターターン: コーナーのように横に曲がります。この回転により直角が形成されます。数学者は回転全体を360 個の等しい部分に分割し、これを度 (°) と呼びます。それで半分回転は180°、1/4回転は90°です。コントロールを移動するか、ボタンを使用します。青色のポインターが灰色のポインターから回転します。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。鋭角、直線、鈍角定義 · 3種類の角度直角: 4 分の 1 回転 (90°)。紙の隅です。鋭角: 直角より小さい。ピザのスライスの先端を思い出します。鈍角: 直角より大きく、半回転未満です。ワイドオープンファンを思い出します。角度を分類します。シートの隅を使ってチェックしてください！このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。なぜ 360 なのでしょうか? 4 000 年以上前、バビロニアの天文学者は、太陽が太陽に沿って空を一周するのを観察しました。彼らはそれを約 360 日と数えました。彼らはまた、多くに分割される数字も好きでした等分し、360 を 2、3、4、5、6、8、9、10、12 で割ります… そのため、今日までリターンは 360 度になっています。時計の角度時計の針は角度を形成します。 3 時間で直角になります。 6 時に、半回転を形成します。 1 時では鋭角を形成します。

October 12, 2026 読んだ

平面図形の面積

土地は何平方メートルありますか、壁にはどのくらいのペンキがかかりますか、旗にはどのくらいの布地がかかりますか?これらの質問はすべて面積に関するものであり、ほぼすべての公式は 1 つ、つまり長方形から得られます。発見者記録が残っている最初の面積計算はエジプトとメソポタミアの書記たちによるもので、リンドのパピルス（紀元前1650年頃）では長方形、三角形、さらには円形のフィールドの面積が計算されており、バビロニアの石板には台形の面積が示されています。ギリシャ人はこれらの規則に正当性を与えました。原論では、ユークリッド (c. 300 BC) は、同じ底辺と同じ高さの平行四辺形は同じ面積を持つこと (命題 I.35) と、三角形が平行四辺形の半分であること (I.41) を証明しました。円の公式はアルキメデス (紀元前 3 世紀) によって実証されました。歴史ギリシャのアイデアは、数字を使わずに切り貼りで図形を比較するというもので、一方を分解してもう一方に組み立てることができれば、2 つの図形の面積は同じになります。以下の図と同じ方法です。エジプト人は円の場合、「直径から $\tfrac{1}{9}$ を取り出し、それを二乗する」というルールを使用しました。これは $\pi \approx 3{,}16$ を使用するのと同じです。アルキメデスは、円の面積が、底辺が円周に等しく、高さが半径に等しい三角形の面積に等しいことを示しました。つまり、$\pi r^2$です。日常生活での応用物件。アパートの価格は平方メートルあたりに表示されます。平面図には各部屋の面積が示されています。塗料と床。塗料とセラミックの量は壁と床の面積によって異なります。農業。生産量と種子はヘクタール (10 000 m²) ごとに計算されます。ピザ。直径 40 cm のピザは、30 cm のピザのほぼ 2 倍の面積があります (1 257 cm² 対 707 cm²)。長方形から他の図形へまとめ · 面積の計算式形エリアアイデア矩形 $A = b \cdot h$ 正方形の線平行四辺形 $A = b \cdot h$ 三角形を切り取って長方形にします三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四辺形の半分台形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 2 つの台形が平行四辺形を形成しますダイヤモンド $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 対角線の長方形の半分丸 $A = \pi r^2$ 扇形は「ほぼ長方形」を形成します図形を選択し、黄色の頂点をドラッグします。高さは常にベース (破線) に対して垂直に測定されます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 12, 2026 読んだ

直線と曲線、平行線と垂直線

ぴんと張った糸も、アリの通り道も、雲の輪郭も、すべて線です。まっすぐな線もあれば、曲がった線もあります。直線と曲線、開いた線と閉じた線ぴんと張ったひものような直線は、向きが変わりません。蛇の通り道のような曲線は、向きが変わり続けます。円の輪郭のような閉じた線は、始まったところで終わります。開いた線には、離れた二つの端があります。直線の部分だけでできた線を折れ線といいます。折れ線が閉じていると、多角形になります。これはどんな線でしょう？答えをクリックして、5問連続正解を目指しましょう。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。平行線と垂直線電車の線路を思い浮かべてください。二本の線路は並んでいますが、決して交わりません。このような直線を平行線といいます。次に、二本の道が交わって、紙の角のような角を作る交差点を考えてみましょう。このように交わる直線は垂直です。交わると四つの直角ができます。直角を作らずに交わる直線を斜交する直線といいます。丸い点をドラッグして直線を動かし、平行、斜交、垂直のどれになるか確かめましょう。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。まとめ · どこで見つかる？平行線: 電車の線路、ノートの罫線、道路の車線、ギターの弦。垂直線: ドアや窓の角、格子の交点、アルファベットの T。斜交する直線: 開いたはさみの刃、アルファベットの X。紙の角で確かめよう二本の線が垂直かどうかを調べるには、紙の角を交点に当てます。二本の線が紙の辺に沿っていれば、直角を作っています。職人も同じように、直角定規を使って確かめます！直線でできた文字 E、H、L、N、T、V、Z に注目しましょう。平行線があるのはどれですか？垂直線があるのはどれですか？答えを確認する平行線: E（横線三本）、H（縦線二本）、N（縦線二本）、Z（横線二本）。垂直線: E、H、L、T。Vにあるのは鋭角を作る斜交する直線だけです。正しい？間違い？硬貨の輪郭は閉じた曲線です。正誤正しい。始点と終点が同じで、直線の部分はありません。平行線は、ずっと先で交わります。正誤誤り。平行線は、どこまでも延ばしても決して交わりません。ノートの角で交わる二つの辺は垂直です。正誤正しい。二つの辺は直角を作ります。ある直線と交わる直線は、すべて垂直です。正誤誤り。直角を作るときだけ垂直です。そうでなければ、斜交する直線です。 ↻ 最初からやり直す

October 12, 2026 読んだ

定規とコンパスを使った作図

マークのない定規とコンパス。この 2 つの道具だけを使って、ギリシャ人は中点、垂線、平行線を極めて正確に作成しました。発見者古典的な構造は、ユークリッドの原論 (紀元前 300 頃) の垂直二等分線と中間点 (命題 I.10) の角の二等分線にあります。 (I.9)、1 点による垂直(I.11およびI.12)、1 点による平行(I.31)。マークのない定規とコンパスのみを使用するというルールは、ユークリッドの最初の 3 つの公準から来ています。つまり、2 点を通る直線を引き、それを延長し、任意の中心と半径の円を描きます。歴史ギリシャ人にとって、建設とは図面の形での実証であり、各段階はすでに証明された結果によって正当化される必要がありました。だからこそ、目盛り付き定規には価値がなかったのです。測定は概算であり、構築は保証です。 2,000 年以上にわたってこれらのツールに抵抗してきた 3 つの有名な問題は、あらゆる角を 3 等分すること、別の体積の 2 倍の立方体を構築すること、円と同じ面積の正方形を構築することです。 19 世紀、ピエールヴァンツェル (1837) とフェルディナントフォンリンデマン (1882) は、定規とコンパスだけではこの 3 つが不可能であることを証明しました。日常生活での応用大工仕事と金属細工。ドライポイントコンパスは中心をマークし、ピースを半分に分割し、直角を必要とせずに垂直を描きます。技術図面。 CAD プログラムや GeoGebra の「垂直二等分線」、「角の二等分線」、および「垂直」ツールは、Euclid の構造を繰り返します。ガーデニング。 2 本の杭と紐を使って、円形の花壇や壁に垂直な線を引くことができます。 4つの構造各図で、点をドラッグして 1 ステップずつ進めます。本物の定規とコンパスを使って、紙の上で作図を繰り返します。垂直二等分線と中点定義 · 垂直二等分線線分$\overline{AB}$ の垂直二等分線は、$\overline{AB}$の中点を通る垂線です。垂直二等分線上のすべての点は、$A$ および $B$ から同じ距離にあります。

October 12, 2026 読んだ

私たちの周りの平らな形状

周りを見回してください。瓶の蓋、寝室のドア、ピザのスライス、道路標識: それぞれが幾何学模様に似ています。平面形状と非平面形状形状が「かさばり」なく、紙の上に完全に収まっているときは平らです。ノートに描いた絵、物体の影やコインの輪郭は平面的な形状です。靴箱、ボール、缶は平らではありません。体積があり、場所をとります。でも注意: 箱の面は長方形で、缶の蓋は円です。平らな形状は、物体の表面に「接着」されます。まとめ · 最も一般的な形式形認識方法どこで見つけるかサークル丸い、角のないコイン、プレート、ホイールトライアングル 3 辺と 3 コーナー「優先」のサイン、ピザのスライススクエア 4 等しい辺と 4 直線の角タイル、チェス盤長方形 4 直線のコーナー、向かい合う辺が等しいドア、ノートシート、携帯電話ペンタゴン 5 辺屋根のあるデザインの小さな家六角形 6 辺ハニカム、ネジナットゲーム: この形の名前は何ですか? 図はさまざまなサイズ、色、位置で表示されます。正方形は依然として正方形ですたとえそれが「曲がっていても」！正しい名前をクリックしてください。 5 回連続でヒットすると、スターパーティーに勝利します。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。なぜミツバチは六角形を作るのでしょうか？ハニカムは六角形を隙間なく組み合わせたものです。この形だと、ミツバチは同じ数の家を建てるのに使用するワックスの量を減らします。 1 600 年以上前、ギリシャの数学者アレクサンドリアのパプスはすでにこの「ミツバチの知恵」を賞賛していました。正方形も長方形ですか？長方形とは、4 辺の図形の4 直線の角です。この正方形には 4 個の真っ直ぐな角があります。つまり、それも長方形です！これは、4 辺すべてが同じサイズの特別な長方形です。

October 12, 2026 読んだ

13 章の演習 — 三角形と点の累乗の相似

演習と解決策 445 図中の三角形$ABC$と$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$は相似です。 1 番目と 2 番目の類似率が $\dfrac{3}{2}$ である場合、次のように決定します。 a) $a$、$b$、および $c$。 b) それらの周囲間の比率。解答を見るa) $a = 21$、$b = 18$、および $c = 15$ b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ と $PQR$ は相似です。 $x$と$y$を求めます。解答を見る$x = 16$ および $y = 14$ 447 $\triangle KLM$が$\triangle FGH$と類似している場合は、$x$を決定します。解答を見る$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ の 3 辺の長さは 8 cm、18 cm、16 cm です。 1 番目と 2 番目の類似比が 3 に等しいことがわかっているので、$ABC$ に類似した三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ の辺を決定します。解答を見る$\dfrac{8}{3}$cm、6cm、$\dfrac{16}{3}$cm

October 11, 2026 読んだ

ポイントパワー

円内で交差する 2 つのコード。一方の部分の積は他方の部分の積に等しい。この考え方により、地平線までの距離を計算することができます。発見者 2 つの古典的な形式は次のとおりです。要素のユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題III.35、切れたロープの上で、 III.36、同じ外部点から引かれた割線と接線上にあります。名前ポイントの力ずっと後の1826年にスイス人によって作られました。ジェイコブ・シュタイナー、点によって描かれた直線が何であれ、製品は常に同じであることに気づきました。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインジェイコブ・シュタイナー。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史シュタイナーは、19 世紀の合成幾何学の偉大な名前の 1 人でした。農民の息子である彼は、14 歳になって初めて文字を学び、最終的にはベルリン大学の教授になりました。彼にとって、点の力は、ユークリッドの定理のいくつかを 1 つのアイデアにまとめる方法でした。 2 つのコードが P で交差します。Euclid III.35 に記録されている結果のように、各部分の積は等しいです。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。この概念は他の概念にもつながります。2 つの円の根軸は、両方に関して同じ力を持つ点の場所であり、接線の問題で今日まで使用されているツールです。日常生活での応用地平線からの距離。海の上 $h$ の高さから、地平線への接線は $d$、$d^2 = h(2R + h)$ になります。$R$ は地球の半径です (III.36)。高度 1,7 m では、地平線は約 4,7 km 離れています。弓の半径弦$c$と矢$s$(弓の高さ)を計測すると半径は$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$となります。修復家は古いアーチや窓を再構築するためにそれを使用します。道路のカーブ。測量士は、アスファルト上で測定された弦と矢印を使用して、同様の方法でカーブの半径を計算します。レンズとミラー。レンズの曲率半径は、直径が既知の部分の深さを測定することで得られます。出典: 要素、命題 III.35 · 要素、命題 III.36 · シュタイナー (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ

類似する事例（基準）

2 つの三角形が相似であることを確認するために、すべてをチェックする必要はありません。2 つの角度、または辺間の 3 つの比率で十分です。発見者 3 つの基準は、ユークリッドの原論の書 VI にあります (c. 300 BC)。三角形等角は比例した辺を持ちます (VI.4、ケース AA)、三角形は 3 つの辺を持ちます。比例辺は相似であり (VI.5、LLL)、間の角度が等しい 2 つの比例辺でも十分です (VI.6、LAL)。ずっと以前から、伝統では物語がアクセスできない距離を測定するために同じ形の三角形を使用したとされています。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史類似性の基準は国全体を測定する三角測量というツールでした。 1615 では、オランダ人のヴィレブロルド・スネリウスがアルクマールとベルゲン・オプ・ズームの間の距離を三角形の連鎖で測定し、地球の大きさを推定しました。 18 世紀にカッシーニ家が同様の方法でフランス初の一般地図を作成しました。ヴィレブロルド・スネリウス。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインセザール・フランソワ・カッシーニ・ド・テュリー。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン異なるスケールで同じ形状の三角形: 等しい角度と比例した対応する辺。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 AA のケースは特に強力です。簡単な機器を使用して、遠くからでも 2 つの角度を測定でき、すべての面の比率が保証されます。

October 11, 2026 読んだ

三角形の相似性

2 つの図形は、サイズが異なっていても、同じ形であれば似ています。それは写真、地図、モデルの数学です。発見者このアイデアはミレトスの物語の物語にあり、ピラミッドの影と棒の影を比較することでピラミッドの高さを測定したと考えられます。完全な理論はユークリッド (紀元前 300 頃) の原論の第 VI 巻にあり、角度と比例した辺を持つ相似図形を定義しています。これは、第 V 巻のクニドゥスのエウドクソス (紀元前 4 世紀) による比例理論に依存しており、これにより、不可分セグメント間の比率の処理も可能になりました。ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカジョルダーノ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメインユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン歴史影法が手段となった。中世以降、アストロラーベや象限には複雑な計算をせずに塔の高さや井戸の深さを測るために本影直方体と本影正方という２つのスケールを備えた影の四角形が刻まれていました。古い彫刻: 塔の高さは、観察者の 2 つの位置からの影 (本影の直下と本影の逆) の 2 乗で測定されます。オイラーの目ブログのコレクション。紀元前270 年頃、サモスのアリスタルコスは、相似の三角形を使用して、地球から月と太陽までの相対距離を推定しました。数値は実際の数値とはかけ離れていましたが、空にある類似の三角形を比較するという方法は正しかったのです。サモス島のアリスタルコス、後の芸術的表現。Claudio Camozzi · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン日常生活での応用写真を拡大します歪みを与えずに「ズーム」すると、すべての測定値に同じ係数が乗算されます。モックアップとミニチュア。スケール 1 : 43 のカートの各寸法は、実車の 43 倍小さいです。影による建物の高さ建物の影と身長が既知の人の影を同時に比較します。プロジェクターとカメラ。スクリーンまたはセンサー上の画像は物体と同様であり、そのサイズは距離に比例します。出典: テイルズ (MacTutor) · エレメンツ、第 6 巻 · アリスタルコス (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ

読書: ルジャンドル: 厳密で教訓的な幾何学を目指して

補足資料補足資料ルジャンドル: 厳格で教訓的な幾何学を目指して古代ギリシャでは公理はあらゆる学問分野に共通の真理、公準は特定の分野の真理を意味していたようです。ユークリッドは 5 つの公準 (その中には、任意の点から他の点に直線が引かれること、すべての限られた直線が伸びること、任意の中心と半径で円が描かれること、直角は等しいこと、そして有名な 5 番目の平行線の公準) と、「同じものに等しいものは互いに等しい」や「全体は部分よりも大きい」などの 5 つの公理を仮定しました。それ以来、原論は演習や応用なしで定理をガタガタ言い続けます。このテキストは現代の基準からするとあまり教訓的ではありません。ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン 18 世紀のフランスでは、ユークリッドをよりわかりやすくするための本がいくつか出版されましたが、その多くは厳密さを犠牲にしていました。注目すべき例外は、アドリアン・マリー・ルジャンドルによる幾何学の要素 (1752 – 1833) でした。ルジャンドルは、楕円関数と二次相互法則を完全に説いた数論の研究で才能を発揮し、厳密さと教訓を調和させた彼の幾何学の本は、著者の存命中にフランスで20版を発行しました。 1809 ではリオデジャネイロで翻訳され、翌年創設された王立陸軍士官学校で採用されました。約 40 年間、ルジャンドルは他の公準から 5 番目の公準を証明しようとしましたが、これは不可能な作業でした。しかし、この試みにおいても彼は素晴らしい創意工夫を示しました。アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン

October 11, 2026 読んだ

12 章の演習 — タレスの定理

演習と解決策 413 $r$、$s$、$t$ の平行線を使用して、以下のそれぞれの場合の $x$ の値を求めます。解答を見るa) 3 ・ b) 12 ・ c) 15 ・ d) 6 414 図中、$r$、$s$、$t$ の線は平行です。 $x$と$y$の値を決定します。解答を見るa) $x = \dfrac{10}{3}$ b) $x = \dfrac{25}{6}$ c) $x = \dfrac{10}{3}$ および $y = \dfrac{18}{5}$ 415 図において、$\overline{MN}$は三角形$ABC$の底辺$\overline{BC}$と平行です。 $x$の値を計算します。解答を見る$x = 25$ 416 図では$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$となります。 $AB$の値を計算します。解答を見る$AB = 18$ 417 図中、$x$の値を計算します。解答を見る$x = 24$

October 11, 2026 読んだ