無限小のない導関数と平均値の定理
18 世紀の終わり、微積分はとてもよく役に立っていましたが、なぜうまくいくのかをきちんと説明できる人はいませんでした。ライプニッツの $dx$ は「無限に小さい」量でした。それでわり算をするためにゼロでないものとしてあつかったかと思うと、すぐあとで、無視するためにゼロであるかのようにあつかうのです。1734 年、バークリー主教はこれをあざけって、「死んだ量の亡霊」と呼びました。
ラグランジュはこのことが気になっていました。1797 年、彼は副題そのものが一つの綱領になっている本を出版します。
微分計算の原理をふくみ、無限小、消えゆく量、極限、流率についてのあらゆる考察から解放され、有限な量の代数的解析に帰着させたもの。
— ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析関数論』（1797） 導かれた関数 ラグランジュの考えは、まともな関数ならどれもべき級数に展開できる、というものでした。変数 $x$ に増分 $i$ を与えると、
$$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots$$となり、$p, q, r, \ldots$ は $x$ の新しい関数です。ラグランジュはこのうち最初のもの、$i$ の係数を、$f$ の導かれた関数と定義し、ダッシュをつけて $f'(x)$ と書きました。$f'$ の導関数は $f''$、以下同様です。
$f(x)=x^3$ でどうなるか見てみましょう。3 乗を展開すると、
$$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ の係数は $3x^2$ なので、$f'(x)=3x^2$ です。あとで消えてしまうものでわる必要も、何かを無視する必要もありませんでした。係数を読みとるだけでよかったのです。これこそラグランジュが望んだことでした。
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残ったダッシュ
今日、学校では導関数に二つの記号を使います。ライプニッツの $\frac{dy}{dx}$ と、ラグランジュの $f'(x)$ です。導関数（derivative）ということばもこの本から来ています。fonction dérivée、もとの関数から導かれた関数です。文字の上に点をつけて $\dot y$ と書いたニュートンの記号は、今日ではおもに物理で、変数が時間のときに使われています。 計画がつまずいたところ この計画には欠陥があり、1823 年にコーシーがそれを指摘しました。すべての関数がそのべき級数に等しいわけではないのです。関数
$$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$はゼロの近くでとても平らなので、そこでの導関数はすべてゼロになります。ゼロのまわりでのべき級数は $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$ ですが、関数はゼロではありません。ラグランジュのように級数から出発するだけでは足りないのです。コーシーは極限の考えで微積分を立て直し、今日教えられているのは彼の版です。
それでもラグランジュは、その途中で、計画が難破したあとも生き残った二つの道具を見つけていました。
平均値の定理 一つめは平均値の定理で、彼は自分の級数をおさえるためにそれを必要としていました。今日の形ではこうです。$f$ が $a$ から $b$ までの区間で微分可能なら、そのあいだに少なくとも一つの点 $c$ があって、
