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当字母误导人：学生、教授与苹果

1981 年，马萨诸塞大学的三位研究者约翰·克莱门特、杰克·洛克黑德和乔治·蒙克给工科一年级学生出了一道简单的题： 用变量 $S$ 和 $P$ 写一个方程，表示下面这句话：“这所大学的学生人数是教授人数的六倍。”用 $S$ 表示学生人数，用 $P$ 表示教授人数。 大约 37% 的人答错了。而几乎所有答错的人都写了同一个式子： $$6S=P.$$为什么 6S = P 看起来是对的 方程 $6S=P$ 遵循的是词语的顺序：“六倍……学生……教授”。这是逐词翻译，就像不理解句子就去翻译一篇文章。它背后是把字母读作标签：$S$ 的意思是“学生”，就像在 $6\,\text{m}$ 中 m 的意思是“米”。这样读，$6S=P$ 说的是“每位教授对六名学生”，这恰恰是正确的想法。 问题在于，在方程里 $S$ 不是“学生”这个词：它是学生的人数。有 $P=100$ 位教授，就有 $600$ 名学生，正确的方程必须给出 $S=600$： $$S=6P.$$要检验，只需代入数字：$P=100$ 时，错误的方程会给出 $6S=100$，也就是不到 $17$ 名学生。把字母当标签是一种自然的读法，它来自日常语言和计量单位，必须被“忘掉”。 屈赫曼的六种读法 同一年，英国研究者迪特马尔·屈赫曼（Dietmar Küchemann）发表了一项针对 13 到 15 岁学生的大型研究，即 CSMS 项目的结果。他指出，学生对字母至少有六种不同的解释，从最简单到最高级： 字母的读法 学生怎么做 示例题目 给字母赋值 一上来就给字母一个值 若 $a+5=8$，$a$ 等于多少？ 不理会字母 不看字母就把题解了 若 $e+f=8$，$e+f+g$ 等于多少？ 字母作为物体 把字母当成一样东西 $2a+5b+a$“是 3 个苹果和 5 根香蕉” 特定的未知数 接受字母是一个未知的数 若 $e+f=8$，则 $e+f+g=8+g$ 推广的数 接受字母可以是好几个数 若 $c+d=10$ 且 $c

October 15, 2026 阅读
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哑字母：求和里的 k 与积分里的 t

这两个式子的值相同： $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$把 $k$ 换成 $j$，什么也没变。字母在那里只是为了标出计算经过的地方；求和一结束，它就消失了。这样的字母叫作哑字母，或约束字母。它们是未知数的反面：未知数保存一个重要的值；哑字母在运算结束后不保存任何值。 自由与约束 再比较： $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$这里有两种性质不同的字母。$k$ 被求和约束：它只存在于 $\Sigma$ 和式子结尾之间，可以换成任何别的字母。$n$ 是自由的：结果依赖于它。把 $n$ 换成 $m$，就成了另一个关于另一个数的论断。 积分里也一样： $$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$$t$ 被积分约束，$dt$ 标出它的辖域，像一个右括号。$x$ 是自由的：面积取决于积分到哪里。在逻辑的量词里也是这样： $$\forall x\,(x+0=x)$$$x$ 被 $\forall$ 约束，整句话不依赖任何值：它就是真的。 运算符 约束字母 辖域 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ 后面的那一项 $\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ $\int$ 与 $dt$ 之间 $\forall x,\ \exists x$ $x$ 后面的公式 $\lim\limits_{h\to0}$ $h$ 极限号下的表达式 $\{x\mid x>2\}$ $x$ 花括号之内 $x\mapsto x^2$ $x$ 函数的规则 捕获字母的错误 因为哑字母可以替换，就有一种危险的诱惑：用同一个字母表示两样东西。公式 $$\int_0^x x\,dx$$是一个陷阱。上限的 $x$ 是自由的；积分里面的 $x$ 是约束的。这个式子好像在说“把 $x$ 从 $0$ 积到 $x$”，但分不清哪个 $x$ 是哪个。正确的写法把字母分开：$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$。在逻辑和编程中，这个错误有个名字，叫变量捕获，编程语言的编译器会自动给变量改名来避免它。

October 15, 2026 阅读
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f、f(x) 与 x ↦ x²：给函数命名的三种方式

第 1 章讲述了欧拉如何在 1734 年发明 $f(x)$，函数又如何变成一个带空格的句子（欧拉与函数）。这一篇看的是给函数命名的各种方式，以及每一种带来的混淆。 函数与它的值 比较两句话： “函数 $f$ 是递增的”； “当 $x>0$ 时，$f(x)$ 是正的”。 在第一句里，$f$ 是整个函数，是规则，是可以求导、复合、画图的对象。在第二句里，$f(x)$ 是一个数：输入为 $x$ 时函数给出的值。两者的区别，就像“计算器”和“屏幕上显示的数”的区别。 实际上大家都写“函数 $f(x)=x^2$”，几乎从不出问题。但有些情况下这个区别很重要。函数 $f$ 的导数是另一个函数 $f'$，而 $f'(3)=2\cdot3=6$。如果先算出 $f(3)=9$，再“对 $9$ 求导”，就会得到 $0$，因为常数的导数是零。错误在于顺序：求导的是一个数，即值 $f(3)$，而不是函数 $f$。 三种写法 “平方”这同一个函数，至少有三种记号： 记号 读法 来源 $f(x)=x^2$ $f$ 在 $x$ 处的值是 $x^2$ 欧拉，1734 年 $f:x\mapsto x^2$ $f$ 把每个 $x$ 送到 $x^2$ 二十世纪由布尔巴基学派推广 $\lambda x.\,x^2$ 接受 $x$、返回 $x^2$ 的那个函数 阿隆佐·丘奇，1930 年代 箭头 $\mapsto$ 有一个优点：它把函数表现为从输入到输出的移动，不会让人觉得 $x$ 是某个特定的数。丘奇的 $\lambda$ 走得更远：它给函数一个不需要名字的名字。表达式 $\lambda x.\,x^2$ 就是函数本身，正如 $5$ 就是数本身。函数式编程语言正是从这个想法诞生的，在其中可以写出，例如，lambda x: x**2。

October 15, 2026 阅读
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参数：别的字母移动时保持不动的字母

在方程 $$y=ax^2+bx+c$$中有五个字母，它们不在同一个层次上。$x$ 和 $y$ 在变：它们走遍一条抛物线上的点。在这期间，$a$、$b$ 和 $c$ 保持不动，但可以事先随意选择。每一种选择给出一条不同的抛物线。这样的字母叫作参数，来自希腊语 pará（旁边）和 métron（度量）：站在度量旁边、调节它的东西。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 改变参数和改变变量不是一回事。改变 $x$，是沿着曲线走。改变 $a$，是换一条曲线：整条抛物线张开或收拢。 一个方程，一个家族 这是韦达的伟大发明，第 3 篇讲过：问题中给定的数也用字母表示。方程 $$ax^2+bx+c=0$$不是一个方程，而是一个方程家族，每个满足 $a\ne0$ 的三元组 $(a,b,c)$ 对应一个。在这里角色很清楚：$x$ 是未知数，$a$、$b$、$c$ 是参数。公式 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$用参数表示未知数，一次就解出了整个家族。这使得我们能提出任何单独一个方程都无法提出的问题：参数取哪些值时有两个解？答案 $b^2-4ac>0$ 是关于家族的论断，而不是关于某一个方程的。 物理学的字母 物理学是参数的王国。在匀速运动中， $$s=s_0+vt,$$时间 $t$ 和位置 $s$ 在运动中变化，而初始位置 $s_0$ 和速度 $v$ 保持固定。但换一个运动，它们就变了。在理想气体定律 $pV=nRT$ 中，$R$ 是普适常数，对所有气体都一样；$n$ 对给定的样品是固定的；$p$、$V$、$T$ 在变。一行之中有三个层次的“不动”，却没有任何记号来区分它们。 另一种参数 更复杂的是，参数这个词还有第二种意思。在方程 $$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$中，字母 $t$ 叫作参数，这些方程叫作参数方程。但在这里，$t$ 并不静止：它从 $0$ 跑到 $2\pi$，跑的时候点 $(x,y)$ 画出一个圆。好像 $t$ 是时间，点是一个运动的物体。在这个意义上，参数是指挥另外两个变量的隐藏变量。 超参数 在人工智能里，这套词汇又多了一层。神经网络在训练中调整的数是它的参数，有数十亿个。程序员事先选定、用来调节训练的数，比如学习率，就成了超参数。结构和 $y=ax^2+bx+c$ 一样：会动的字母，别的字母动时不动的字母，以及在那些字母不动时也不动的字母。

October 15, 2026 阅读
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变量：会移动的字母

连续增加或减少的量称为变量；反之，在其他量变化时保持不变的量称为常量。 — 洛必达侯爵，《无穷小分析》（1696），定义 I 未知数是一个静止的字母：它隐藏一个值，而这个值不变。变量是一个会移动的字母。在 $y=x^2-4x+3$ 中，没有人问“$x$ 等于多少？”。问的是另一件事：“$x$ 变化时，$y$ 会怎样？” 从方程到曲线 从一种想法到另一种想法的过渡发生在十七世纪。1637 年前后，笛卡儿和费马把方程和曲线联系起来，含两个字母的方程，比如 $y=x^2$，就不再只有一个答案，而有无穷多个：组成抛物线的所有数对 $(x,y)$。$x$ 不再被寻找，而是被走遍。对每一个位置，方程都告诉我们 $y$ 在哪里。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 流动的量 牛顿给这个想法赋予了一个物理形象。对他来说，变量是随时间流动的量，就像运动物体的位置，他称之为流量（fluent）；它流动的速度则是流数（fluxion）。莱布尼茨说 quantitas variabilis（可变的量），而第一本微积分教科书，洛必达 1696 年的著作，就以本页开头引用的定义开篇：变量增加或减少，常量保持不动。 这个词带着运动的形象。所以我们说“当 $x$ 趋于 $0$ 时”“$y$ 增长”“函数上升”，好像字母在走路。 一个字母依赖另一个 有了两个变量，就出现了依赖的观念。1755 年，欧拉在《微分学原理》的序言中写道：如果某些量依赖于另一些量，使得后者变化时前者也随之变化，那么前者就称为后者的函数。在 $y=x^2-4x+3$ 中： $x$ 是自变量：我们可以自由选择它的值； $y$ 是因变量：它的值由规则决定。 这种选择并没有写在字母里。在 $A=\pi r^2$ 中，我们通常把半径看作自变量，但如果问题是“多大的半径给出 $10$ 平方米的面积？”，角色就颠倒了：$r=\sqrt{A/\pi}$。 魏尔斯特拉斯的静止变量 运动的形象很有用，但也带来了问题。如果 $h$ 只是纸上的一个字母，“$h$ 趋于零”是什么意思？十九世纪，卡尔·魏尔斯特拉斯等人把时间从定义中去掉了。变量变成仅仅是一个可以被某个集合（它的定义域）中任何元素替换的字母。什么也不动：存在的只是所有可能替换的总和。这就是柯西与魏尔斯特拉斯的极限定义及其 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 背后的读法。 今天，两种形象并存。说“随着 $x$ 不断增大”的老师用的是牛顿的变量；书里的定义用的是魏尔斯特拉斯的变量。记号是同一个，读者需要懂得在两者之间切换。 常量不等于数字 对洛必达来说，常量是“在其他量变化时保持不变”的东西。它不必是用数字写出来的数。在 $y=ax^2$ 中，$a$ 在问题进行期间是常量，但可以取任何值。物理学里满是这样的字母：重力加速度 $g$，气体常数 $R$，光速 $c$。下一篇讨论它们。 练习：从表格找出规则一张表记录着：$x=0\to y=1$，$x=1\to y=3$，$x=2\to y=5$，$x=3\to y=7$。$x$ 增加 $1$，$y$ 增加 $2$，而 $x=0$ 时 $y$ 等于 $1$。规则是 $y=2x+1$。注意，有限的表格永远不能证明规则：另一条规则可能在这四个点上一致，却在 $x=4$ 处不同。表格只是提示；公式才是断言。

October 15, 2026 阅读
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用来推广的字母：从 3 + 5 = 5 + 3 到 a + b = b + a

算一算 $3+5$ 和 $5+3$：两次都得 $8$。再试 $12+7$ 和 $7+12$，$100+1$ 和 $1+100$。总是对的。可是要多少个例子才能确定呢？一千个？一百万个？多少个例子都不够，因为数对有无穷多个。 句子 $$a+b=b+a$$用另一种方式解决了这个问题。它不谈任何一对特定的数：它一次谈的是所有的数对。这里的字母 $a$ 和 $b$ 不像未知数那样隐藏一个值；它们代表任意的值。这就是乌西斯金所说的推广的算术。 想一个数 一个古老的聚会把戏：想一个数，乘以 2，加 $6$，除以 $2$，再减去你想的那个数。结果总是 $3$。 用例子可以增加信心：用 $5$，依次得到 $10$、$16$、$8$、$3$；用 $20$，依次得到 $40$、$46$、$23$、$3$。用一个字母就可以确定。把那个数叫作 $n$： $$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$字母做到了例子做不到的事：它一次走遍了所有的数。它还说明了把戏为什么灵：想的那个数进去又出来，只有 $6$ 除以 $2$ 留了下来。 一步一步看这个把戏（点击前进） 想一个数：$n$。 乘以 2：$2n$。 加 $6$：$2n+6$。 除以 $2$：$n+3$。 减去想的那个数：$(n+3)-n=3$。$n$ 消失了；结果与它无关。 奇数之和 把最前面的几个奇数加起来：$1=1$，$1+3=4$，$1+3+5=9$，$1+3+5+7=16$。出现了平方数。要对每一个 $n$ 说这件事，我们需要一个字母： $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式子 $2n-1$ 是第 $n$ 个奇数的画像：$n=1$ 时得 $1$，$n=4$ 时得 $7$。证明可以用另一个字母和一个倒着写的和来完成，就像少年高斯那样：把这列数和倒过来的自己相加，每一对都得 $2n$，共有 $n$ 对，所以和的两倍是 $2n\cdot n$，和就是 $n^2$。

October 15, 2026 阅读
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未知数：为所寻之物留一个位置

未知数，字面意思就是不知道的数。但它不是随便什么东西：它是一个我们还不知道的确定的数。方程 $x+3=7$ 说的不是所有的数；它说的是一个数，任务是找出是哪一个。 为不知道的东西起名字 很长时间里，未知数的名字是一个词，而不是一个字母。 公元 250 年前后，亚历山大的丢番图在《算术》中把未知数叫作 arithmós，“数”，并用一个像词尾西格玛的记号 $\varsigma$ 来缩写。他还有未知数平方的缩写 $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis，幂）和立方的缩写 $K^{\Upsilon}$（kýbos）。 公元 820 年前后在巴格达，花拉子米把它叫作 shay’，东西，把它的平方叫作 māl，财富。他全部用文字书写，没有任何符号。 十五、十六世纪，意大利人把 shay’ 译作 cosa，而抄写意大利人著作的德国代数学家被戏称为 cossists（“东西派”）。1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔仍然给“东西”、它的平方和它的立方各用不同的记号： 米夏埃尔·施蒂费尔《整数算术》（1544）中的“cossic”记号：未知数的每个幂都有自己的符号，彼此之间看不出关系。Michael Stifel · Wikimedia Commons · 公有领域 在这些记号里，“东西”的平方和立方看上去都不像“东西”。按本书的说法，这是一种无生气的记号：要知道立方乘平方得到五次幂，必须背一张表。当笛卡儿写下 $x$、$x^2$、$x^3$ 时，规则 $x^3\cdot x^2=x^5$ 在指数里变得看得见了。第 1 章的从修辞到符号一文更详细地讲述了这一转变。 丢番图的一页 1621 年，法国人克洛德-加斯帕尔·巴歇出版了希腊文的丢番图《算术》，旁边附有拉丁文译文。这是第 II 卷第 8 题的一页：把一个给定的平方数分成两个平方数。 巴歇版（1621）中的第 II.8 题：右边是希腊文，左边是拉丁文，用 N 表示未知数，用 Q 表示它的平方。费马正是在这一页的页边写下了他的大定理。Diophantus, ed. Bachet · Wikimedia Commons · 公有领域 在巴歇的拉丁文里，未知数是 N，取自 numerus（数），它的平方是 Q，取自 quadratus（平方）：“Ponatur primus 1 Q”，设第一个平方数为 $1Q$。用今天的语言说，要把 $16$ 分成两个平方数，丢番图把第一个取作 $x^2$，第二个取作 $16-x^2$，并为第二个的边选一个形式 $2x-4$。条件是

October 15, 2026 阅读
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一个字母，五种角色

看看这五行： $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \sin^2x+\cos^2x=1.$$它们都用了字母，看起来都是代数。但在任何两行里，字母做的事都不一样。 在 $x+3=7$ 中，$x$ 是一个确定而未知的数。只有 $4$ 合适。它是未知数。 在 $A=b\cdot h$ 中，字母什么也不隐藏：它们说的是三个量之间的关系。这是一个公式，字母是一起变化的量。 在 $a+b=b+a$ 中，字母是任意的数。这句话对每一对数都成立。字母在推广。 在 $y=kx$ 中，$x$ 和 $y$ 在移动，$k$ 保持不动。$k$ 是参数：在每个问题里固定，但可以任意取。 在 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 中，$x$ 也是任意的，但这句话不是要解的方程：它是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。 乌西斯金的观念 1988 年，美国教育学者扎尔曼·乌西斯金（Zalman Usiskin）在一篇后来成为经典的文章中提出：学校代数混合了至少四种观念，每一种都给字母一个不同的角色： 代数观 字母是什么 例子 推广的算术 推广某个规律的任意数 $a+b=b+a$ 解决问题 未知数，等待被发现 $3x+5=20$ 研究关系 变量，随其他量一起变化 $y=2x+1$ 研究结构 按规则操作的任意符号 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ 在最后一行，没有人去想数：$x$ 和 $y$ 是按规则移动的记号，就像棋子。在这四种之外，我们再加上第五种，它贯穿全书：作为名字的字母，函数的名字（$f$）、常数的名字（$\pi$、$e$、$c$）或对象的名字（点 $A$，直线 $r$）。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 文字不提醒你 符号学上的问题在于：对所有角色，写法都一样。能指里没有任何东西能区分未知数和变量：两者都是一个斜体的 $x$。起决定作用的是语境，也就是莫里斯所说的语用（见第 2 章）。线索通常是一些小词，学生学会了忽略它们，其实不该忽略：

October 15, 2026 阅读
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第2章：参考文献与图片来源

延伸阅读 索绪尔，《普通语言学教程》。原著：Cours de linguistique générale. Paris: Payot, 1916. Peirce, Charles Sanders. Collected Papers of Charles Sanders Peirce. 8 卷. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1931–1958. 第 2 卷收录了关于像似符、指示符与规约符的文章。 Peirce, Charles Sanders. The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings. 2 vols. Bloomington: Indiana University Press, 1992–1998. Morris, Charles W. Foundations of the Theory of Signs. Chicago: University of Chicago Press, 1938. Duval, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995. Duval, Raymond. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, p. 103–131. Falkner, Karen P.; Levi, Linda; Carpenter, Thomas P. Children’s understanding of equality: a foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 1999, p. 232–236. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Swetz, Frank J. Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century. La Salle: Open Court, 1987. 收录了《特雷维索算术》（1478）的译文，其中有比例法则和格子乘法。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于分数线、比例法则的名称和比例符号。 本站早期关于分数、乘法和比例法则的文章，提供了分子和分母的词源、埃及乘法、帕乔利的格子乘法，以及比例法则名称的表格。

October 13, 2026 阅读
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如何阅读一种记号：指南与术语表

如果数学记号是一种透明的代码，有一本词典就够了：$+$ 表示“加”，$=$ 表示“等于”，仅此而已。这一章说明了事情并非如此。同一道横线，可能是运算，也可能是一个数的名字；等号是天平而不是箭头；空白在 $ab$ 中表示相乘，在 $23$ 中却不是；根号只给出一个值，尽管方程有两个解。读数学，就是为每个公式重建书写、对象和规则之间的关系。 这篇文章把本章的工具汇集成一份实用指南。 面对陌生公式的七个问题 写了什么？ 看看符号、字母、每个符号的位置（上、下、相连、分开）和组合方式。这是句法。 需要知道哪些约定？ 运算顺序、特定字母的意义（$\pi$、$e$、$i$）、该领域的记号。如果某个约定不是通常的那种，文中应当说明。 表达式指的是什么对象？ 一个数、一个函数、一个集合、一个命题？在什么范围内？这是语义。 它要我做什么？ 计算、求解、证明、比较、作图？“求 $x$”和“设 $x$ 为任意数”要求的是相反的事。这是语用。 哪些变换是允许的？ 计算的每一步都需要一条许可它的规则，有时还需要一个前提：除以 $a$ 要求 $a\ne0$；$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 要求 $a,b\ge0$。 同样的内容有没有别的语域？ 图形、表格、句子、图像？各自最能显示什么？ 这种表示隐藏了什么？ 图形不一定按比例；表格只显示部分值；公式可能隐藏前提；图像的刻度可能被拉长。 能动的记号的检验 从本书第一篇文章起，我们就在使用能动的记号与贫瘠的记号这一对概念。借助皮尔斯的工具，可以把它变成一个包含三个问题的检验： 形状是否复现了对象的关系？ $\frac{dy}{dx}$ 有比的形状，因为导数是比的极限。$\dot y$ 什么也没有复现。 看着它，能否发现原本没有刻意放进去的东西？ 这是皮尔斯判断像似符的标准。位值制让人看出 9 的乘法表的规律；罗马数字不能。 它在新问题上是否依然管用？ 凯莱为线性方程组创造的矩阵，后来被用于旋转、量子力学和计算机。 还有一个提醒，欧拉的平方根已经说得很清楚：能动的记号也会提示错误的步骤。形状越是诱人，就越要知道规则在多大范围内成立。 对 dy/dx 的完整解读 最后，用七个问题来读一读 $\dfrac{dy}{dx}$： 书写： 两个表达式 $dy$ 和 $dx$，用分数线上下叠放。 约定： $d$ 不是乘以 $y$ 的变量，而是莱布尼茨的算子，取自 differentia。 对象： $y$ 对 $x$ 的导数，今天定义为一个极限：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$。 它要求什么： 取决于上下文；可能是计算变化率、求切线、建立微分方程。 变换： 分数的形状允许链式法则和积分中的换元，但并不允许一切对普通分数成立的操作。 其他语域： 图像在该点切线的斜率；拉格朗日的记号 $y'$；如果变量是时间，还有牛顿的 $\dot y$。 它隐藏了什么： 极限是存在的（并非每个函数都有导数）；单独的 $dy$ 和 $dx$ 只在更高深的理论中才有严格的意义。 一个只有五个字符的记号，承载着三百年的历史、一个定义、一组规则，以及至少三种画法。

October 13, 2026 阅读
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公式、表格与图像：处理与转换

1637 年笛卡儿出版《几何学》时，他既没有发明曲线，也没有发明方程。两者都已存在了几个世纪。他发明的是两者之间的一座桥：通过测量到一条参考直线的距离，把每条曲线变成一个方程，把每个方程变成一条曲线（今天所说的笛卡儿坐标系中那两条互相垂直的坐标轴，是在他之后才确立的）。笛卡儿平面首先是一部把一种书写翻译成另一种书写的机器。 这种翻译我们太熟悉了，以至于忘了它有多难。法国人雷蒙·杜瓦尔毕生研究为什么那么多计算很好的学生，一看到图像就卡住了，他得出的一个想法，今天已是数学教育的核心。 表征语域 杜瓦尔把有自己规则的符号系统称为表征语域：葡萄牙语或中文、代数书写、表格、笛卡儿坐标图、几何图形。同一个对象，比如“加倍再加一”的函数，在所有这些语域中都会出现： 用文字说：“对每个输入，输出是它的两倍加一”； 用公式写：$f(x)=2x+1$； 用表格列：数对 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$； 用图像画：一条在 $1$ 处与纵轴相交、每向右走 $1$ 就上升 $2$ 的直线。 拖动下面的图，在三种语域中追踪同一个点： 改变输入 x，在公式、表格和图像之间切换。高亮的点在三种语域中追踪的是同一个关系 f(x) = 2x + 1。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 没有哪一种语域是其他语域的副本。公式最适合计算 $f(100)$。表格展示具体的情形，但只是一部分。图像一眼就显示出函数在增长，以及增长多少。文字说明我们在谈论什么。每一种都照亮了对象的一部分，又把另一部分留在暗处。 处理与转换 杜瓦尔最有用的区分，把两种看似相同、实则不同的活动分开了。 处理是在一个语域内部进行的变换。解方程是一种代数处理： $$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$约分、多项式因式分解、把表格各栏相加，也都是处理。它们遵循语域自身的规则，而学校把这类任务训练得很好。 转换是从一个语域到另一个语域的过渡：从公式到图像，从句子到方程，从表格到公式。要画出 $f(x)=2x+1$ 的图像，必须知道那个 $1$ 变成了直线与纵轴的交点，那个 $2$ 变成了斜率。没有任何代数规则教你这一点；你必须知道两个语域如何对应。 数对 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) 都在 f(x) = 2x + 1 的图像上。为本书绘制的教学示意图。 上面的表格给出了三个点。为什么可以用直线把它们连起来？不是因为这些点：三个共线的点也可以落在无穷多条弯弯曲曲的曲线上。可以连成直线，是因为公式说明了这个函数是一次函数。从表格到图像的转换，依赖于只有公式才有的信息。

October 13, 2026 阅读
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平方根：正方形的边与遗忘了来历的符号

两个看起来一样的问题： 问题 答案 $\sqrt9$ 等于多少？ $3$ 哪些实数满足 $x^2=9$？ $3$ 和 $-3$ 很多人觉得第一行很奇怪。既然 $(-3)^2$ 也等于 $9$，为什么 $\sqrt9$ 不是“$\pm3$”？答案在第 1 章里，在这个符号古老的名字里。Radix quadrati 就是正方形的边。面积为 $9$ 的正方形边长是 $3$，没有哪条边的长度是 $-3$。 面积为 9 的正方形，边长是 3。方程 x² = 9 有两个解，但边长只有一个。为本书绘制的教学示意图。 一个符号，一个值 现代数学把对正方形的记忆保存在一个定义里：对于 $a\ge0$，符号 $\sqrt a$ 表示平方等于 $a$ 的那个唯一的非负数。这也有句法上的理由。一个符号如果接收一个数后，有时给出一个值、有时给出两个值，就无法参与计算：$\sqrt9+1$ 是多少？$4$ 还是 $-2$？要让 $\sqrt{\phantom{a}}$ 像其他运算一样工作，它就必须给出一个答案，而几何告诉我们是哪一个。 这并没有抹掉 $-3$。它仍然是 $x^2=9$ 的解，显示两个解的写法是 $$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ 或 }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3.$$$\pm$ 出现在根号外面，因为有两个解的是方程，而不是符号。这就是为什么二次方程求根公式在根号前面写了一个 $\pm$：根号本身只给出一个值，$\pm$ 要求两个都要。

October 13, 2026 阅读