摆线：一场牙痛带来的曲线
在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。
在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。
车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于
$$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。
一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。
它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。
用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$，
$$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分：
$$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得
$$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。
1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。
随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。
