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文字がだますとき：学生、教授、りんご

1981 年、マサチューセッツ大学の三人の研究者、ジョン・クレメント、ジャック・ロックヘッド、ジョージ・モンクは、工学部の一年生に簡単な問題を出しました。 変数 $S$ と $P$ を使って、次の文を表す方程式を書きなさい。「この大学には、教授の 6 倍の学生がいる。」$S$ を学生の数、$P$ を教授の数とする。 およそ 37% が間違えました。そして間違えた人のほとんどが、同じものを書いたのです。 $$6S=P.$$なぜ 6S = P が正しく見えるのか 方程式 $6S=P$ は言葉の順序にしたがっています。「6 倍……学生……教授」。文を理解せずに文章を訳すような、一語ずつの翻訳です。その背後には、文字をラベルとして読む読み方があります。$6\,\text{m}$ の m が「メートル」を意味するように、$S$ は「学生」を意味する、と。そう読めば、$6S=P$ は「教授一人につき学生六人」と言っていて、それはまさに正しい考えです。 問題は、方程式の中の $S$ が「学生」という言葉ではなく、学生の数だということです。教授が $P=100$ 人なら学生は $600$ 人で、正しい方程式は $S=600$ を与えなければなりません。 $$S=6P.$$確かめるには数を代入すればよいのです。$P=100$ なら、間違った方程式は $6S=100$、つまり学生は $17$ 人足らずになってしまいます。ラベルとしての文字は、日常の言葉や測定の単位から来る自然な読み方で、学び捨てなければならないものです。 キュヒェマンの六つの読み方 同じ年、イギリスの研究者ディートマー・キュヒェマン（Dietmar Küchemann）は、13 歳から 15 歳の生徒を対象とした大規模な研究、CSMS プロジェクトの結果を発表しました。彼は、生徒が文字に少なくとも六通りの解釈を与えていることを示しました。いちばん単純なものから、いちばん進んだものまでです。 文字の読み方 生徒がすること 課題の例 値を当てはめる文字 すぐに文字に値を与える $a+5=8$ なら $a$ はいくつ？ 使われない文字 文字を見ずに解く $e+f=8$ なら $e+f+g$ はいくつ？ 物としての文字 文字をものとして扱う $2a+5b+a$ は「りんご 3 個とバナナ 5 本」 特定の未知数 文字が知られていない一つの数だと受け入れる $e+f=8$ なら $e+f+g=8+g$ 一般化された数 文字がいくつもの数でありうると受け入れる $c+d=10$ かつ $c

October 15, 2026 読んだ
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ダミーの文字：和の k と積分の t

次の二つの式は同じ値です。 $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$$k$ を $j$ に替えても何も変わりませんでした。文字は、計算がどこを通るかを示すためだけにそこにあり、和が終われば消えてしまいます。このような文字をダミーの文字、あるいは束縛された文字と呼びます。それは未知数の反対です。未知数は大事な値をしまっていますが、ダミーの文字は演算が終わったあとには何の値もしまっていません。 自由と束縛 今度は次の式と比べてみましょう。 $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$ここには性質の違う二つの文字があります。$k$ は和に束縛されています。$\Sigma$ から式の終わりまでのあいだにだけ存在し、ほかのどんな文字にも替えられます。$n$ は自由です。結果は $n$ に依存します。$n$ を $m$ に替えると、別の数についての別の主張になります。 積分でも同じです。 $$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$$t$ は積分に束縛されていて、$dt$ が閉じ括弧のようにその範囲を示しています。$x$ は自由です。面積はどこまで積分するかによります。そして論理の量化子でも、 $$\forall x\,(x+0=x)$$の $x$ は $\forall$ に束縛されていて、文全体はどんな値にも依存しません。ただ正しいのです。 演算子 束縛される文字 範囲 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ うしろに続く項 $\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ $\int$ と $dt$ のあいだ $\forall x,\ \exists x$ $x$ うしろに続く論理式 $\lim\limits_{h\to0}$ $h$ 極限の下の式 $\{x\mid x>2\}$ $x$ 波括弧の中 $x\mapsto x^2$ $x$ 関数の規則 文字を捕まえる誤り ダミーの文字は取り替えられるので、危険な誘惑があります。同じ文字を二つのものに使うことです。式 $$\int_0^x x\,dx$$は罠です。上端の $x$ は自由で、積分の中の $x$ は束縛されています。この式は「$x$ を $0$ から $x$ まで積分せよ」と言っているように見えますが、どの $x$ がどれなのかはっきりしません。正しい形は文字を分けます。$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$。論理学やプログラミングでは、この誤りには変数の捕獲という名前があり、プログラミング言語のコンパイラはこれを避けるために変数の名前を自動的に付け替えます。

October 15, 2026 読んだ
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f、f(x)、x ↦ x²：関数に名前をつける三つの方法

第 1 章では、1734 年にオイラーが $f(x)$ を発明し、関数が穴のあいた文になったことを語りました（オイラーと関数）。この記事では、関数に名前をつけるさまざまな方法と、それぞれがもたらす混乱を見ます。 関数とその値 二つの文を比べてみましょう。 「関数 $f$ は増加する」 「$x>0$ のとき $f(x)$ は正である」 一つめでは、$f$ は関数全体、規則であり、微分したり、合成したり、グラフに描いたりできる対象です。二つめでは、$f(x)$ は数です。入力が $x$ のときに関数が返す値です。違いは、「電卓」と「画面に出ている数」の違いと同じです。 実際には、だれもが「関数 $f(x)=x^2$」と書き、問題になることはほとんどありません。けれども、区別が大事になる場合もあります。関数 $f$ の導関数は別の関数 $f'$ で、$f'(3)=2\cdot3=6$ です。先に $f(3)=9$ を計算してから「$9$ を微分する」と、定数の導関数はゼロなので $0$ になってしまいます。誤りは順序にあります。微分したのは数、つまり値 $f(3)$ であって、関数 $f$ ではなかったのです。 三つの書き方 「2 乗する」という同じ関数に、少なくとも三つの記法があります。 記法 読み方 由来 $f(x)=x^2$ $x$ における $f$ の値は $x^2$ オイラー、1734 年 $f:x\mapsto x^2$ $f$ は各 $x$ を $x^2$ に移す 20 世紀にブルバキ・グループが広めた $\lambda x.\,x^2$ $x$ を受け取って $x^2$ を返す関数 アロンゾ・チャーチ、1930 年代 矢印 $\mapsto$ には利点が一つあります。関数を入力から出力への移動として示し、$x$ が特定の数であるかのような印象を与えないことです。チャーチの $\lambda$ はさらに先へ進みます。関数に、名前のいらない名前を与えるのです。式 $\lambda x.\,x^2$ は関数そのものであり、$5$ が数そのものであるのと同じです。この考えから関数型プログラミング言語が生まれ、そこではたとえば lambda x: x**2 と書きます。

October 15, 2026 読んだ
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パラメータ：ほかの文字が動くあいだ止まっている文字

方程式 $$y=ax^2+bx+c$$には五つの文字があり、それらは同じ水準にはありません。$x$ と $y$ は変わります。放物線上の点をたどります。そのあいだ、$a$、$b$、$c$ は止まっていますが、前もって好きなように選べます。選ぶたびに違う放物線ができます。このような文字をパラメータと呼びます。ギリシア語の pará（そば）と métron（尺度）から来ていて、尺度のそばにあってそれを調節するもの、という意味です。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 パラメータを動かすのは、変数を動かすのと同じではありません。$x$ を動かすのは曲線の上を歩くことです。$a$ を動かすのは曲線を取り替えることで、放物線全体が開いたり閉じたりします。 一つの方程式、一つの族 これが、第 3 回で語ったヴィエトの大発明でした。問題で与えられた数にも文字を使うことです。方程式 $$ax^2+bx+c=0$$は一つの方程式ではなく、方程式の族です。$a\ne0$ である三つ組 $(a,b,c)$ ごとに一つあります。ここでは役割ははっきりしています。$x$ が未知数で、$a$、$b$、$c$ がパラメータです。公式 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$は、未知数をパラメータで表すことで、族全体を一度に解きます。これによって、一つだけの方程式では立てられない問いが立てられます。パラメータがどんな値のとき解が二つあるか。答え $b^2-4ac>0$ は、一つの方程式についてではなく、族についての主張です。 物理の文字 物理はパラメータの王国です。等速運動 $$s=s_0+vt$$では、時刻 $t$ と位置 $s$ は運動のあいだ変わり、初めの位置 $s_0$ と速度 $v$ は固定されています。けれども運動が変われば、これらも変わります。理想気体の法則 $pV=nRT$ では、$R$ はすべての気体に共通の普遍定数、$n$ はある試料について固定、$p$、$V$、$T$ は変わります。一行の中に三段階の「止まっている」があり、それを区別する印は何もありません。 もう一つのパラメータ ややこしいことに、パラメータという言葉には二つめの意味があります。方程式 $$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$では、文字 $t$ がパラメータと呼ばれ、これらの方程式は媒介変数表示（パラメータ表示）と呼ばれます。けれどもここでは $t$ は止まっていません。$0$ から $2\pi$ まで走り、走るあいだに点 $(x,y)$ が円を描きます。まるで $t$ が時間で、点が動く物体であるかのようです。この意味では、パラメータはほかの二つを操る隠れた変数です。 ハイパーパラメータ 人工知能では、この語彙にもう一階が加わりました。ニューラルネットワークが学習中に調整する数がそのパラメータで、何十億個もあります。プログラマーが前もって選び、学習を調節する数、たとえば学習率は、ハイパーパラメータになりました。構造は $y=ax^2+bx+c$ と同じです。動く文字、ほかの文字が動くあいだ止まっている文字、そしてそれらが止まっているあいだも止まっている文字。 練習：k がどんな値のとき解がただ一つになるか$x^2+kx+9=0$ では、$x$ が未知数、$k$ がパラメータです。判別式がゼロのとき解はただ一つです。$k^2-4\cdot9=0$、つまり $k=6$ または $k=-6$。$k=6$ なら解は $x=-3$、$k=-6$ なら $x=3$。問いはパラメータについてのもので、未知数は最後にしか出てきません。

October 15, 2026 読んだ
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変数：動く文字

たえず増加または減少する量を変量と呼ぶ。反対に、ほかの量が変わるあいだ同じままである量を定量と呼ぶ。 — ロピタル侯爵『無限小解析』（1696）、定義 I 未知数は止まっている文字です。値を隠していて、その値は変わりません。変数は動く文字です。$y=x^2-4x+3$ では、「$x$ はいくつか」とはだれも問いません。問われるのは別のことです。「$x$ が変わると、$y$ はどうなるか」。 方程式から曲線へ 一方の考えから他方への移行は 17 世紀に起こりました。1637 年ごろ、デカルトとフェルマーが方程式と曲線を結びつけると、$y=x^2$ のような二つの文字をもつ方程式は、答えが一つではなく無限にあることになりました。放物線をつくるすべての組 $(x,y)$ です。$x$ は探されるものではなく、たどられるものになりました。それぞれの位置について、方程式は $y$ がどこにあるかを告げます。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 流れる量 ニュートンはこの考えに物理的なイメージを与えました。彼にとって変数とは、動く物体の位置のように、時間とともに流れる量で、彼はそれを流量（fluent）と呼びました。それが流れる速さが流率（fluxion）です。ライプニッツは quantitas variabilis（変わる量）と言い、最初の微分積分学の教科書、1696 年のロピタルの本は、このページの冒頭に引いた定義で始まります。変数は増えたり減ったりし、定数は止まっている、と。 この言葉には運動のイメージがともなっています。だからわたしたちは、まるで文字が歩くかのように、「$x$ が $0$ に近づくとき」「$y$ が増える」「関数が上がる」と言うのです。 一つの文字がもう一つに依存する 二つの変数があると、依存の考えが現れます。1755 年、オイラーは『微分学教程』の序文で、ある量がほかの量に依存していて、後者が変わると前者も変わるとき、前者を後者の関数と呼ぶ、と書きました。$y=x^2-4x+3$ では、 $x$ は独立変数です。その値は自由に選べます。 $y$ は従属変数です。その値は規則によって決まります。 この選択は文字の中に書かれてはいません。$A=\pi r^2$ では、ふつう半径を独立と考えますが、「面積が $10$ m² になる半径は？」と問われれば、役割を入れ替えます。$r=\sqrt{A/\pi}$。 ワイエルシュトラスの止まった変数 運動のイメージは便利ですが、問題ももたらしました。$h$ が紙の上の文字にすぎないなら、「$h$ がゼロに近づく」とはどういう意味でしょう。19 世紀、カール・ワイエルシュトラスたちは定義から時間を取り除きました。変数は、ある集合、つまりその定義域の任意の要素で置き換えられる文字にすぎなくなりました。何も動きません。あるのは、ありうるすべての置き換えの集まりだけです。これが、$\varepsilon$ と $\delta$ を使ったコーシーとワイエルシュトラスの極限の定義の背後にある読み方です。 今日では二つのイメージが共存しています。「$x$ がどんどん大きくなると」と言う先生はニュートンの変数を使い、教科書の定義はワイエルシュトラスの変数を使います。記法は同じで、読者は一方から他方へ移れなければなりません。 定数は数字という意味ではない ロピタルにとって、定数とは「ほかの量が変わるあいだ同じままであるもの」です。数字で書かれた数である必要はありません。$y=ax^2$ では、$a$ は問題のあいだ定数ですが、どんな値でもかまいません。物理はこうした文字であふれています。重力加速度 $g$、気体定数 $R$、光の速さ $c$。次の記事ではそれを扱います。 練習：表から規則を見つけるある表に $x=0\to y=1$、$x=1\to y=3$、$x=2\to y=5$、$x=3\to y=7$ とあります。$x$ が $1$ 増えると $y$ は $2$ 増え、$x=0$ で $y$ は $1$ です。規則は $y=2x+1$。有限の表は規則を決して証明しないことに注意しましょう。別の規則がこの四点で一致し、$x=4$ で違うこともありえます。表はほのめかし、式は断言します。

October 15, 2026 読んだ
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一般化する文字：3 + 5 = 5 + 3 から a + b = b + a へ

$3+5$ と $5+3$ を計算してみましょう。どちらも $8$ です。$12+7$ と $7+12$、$100+1$ と $1+100$ も試してください。いつもうまくいきます。でも、確信するには例がいくつ必要でしょうか。千個？百万個？いくつあっても足りません。数の組は無限にあるからです。 文 $$a+b=b+a$$は、この問題を別のやり方で解決します。特定の組については何も言わず、すべての組について一度に語るのです。ここでの文字 $a$ と $b$ は、未知数のように値を隠してはいません。どんな値でも表します。ユーシスキンが一般化された算術と呼んだのはこれです。 数を一つ思い浮かべて パーティーの古い手品です。数を一つ思い浮かべ、2 倍し、$6$ を足し、$2$ で割り、最初に思い浮かべた数を引きます。答えはいつも $3$ です。 例を使えば自信はつきます。$5$ なら $10$、$16$、$8$、$3$。$20$ なら $40$、$46$、$23$、$3$。文字を使えば確信できます。その数を $n$ と呼びましょう。 $$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$文字は、例にはできないことをしました。すべての数を一度にたどったのです。そして手品がなぜうまくいくかも見せました。思い浮かべた数は入ってまた出ていき、$6$ を $2$ で割ったものだけが残るのです。 手品を一歩ずつ（クリックで進む） 数を一つ思い浮かべる：$n$。 2 倍する：$2n$。 $6$ を足す：$2n+6$。 $2$ で割る：$n+3$。 思い浮かべた数を引く：$(n+3)-n=3$。$n$ は消えた。答えは $n$ によらない。 奇数の和 はじめのほうの奇数を足していきます。$1=1$、$1+3=4$、$1+3+5=9$、$1+3+5+7=16$。平方数が現れます。これをすべての $n$ について言うには、文字が必要です。 $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式 $2n-1$ は $n$ 番めの奇数の肖像です。$n=1$ なら $1$、$n=4$ なら $7$ になります。証明は、別の文字と逆向きに書いた和で、少年ガウスのようにできます。並びを、逆にした自分自身と足すと、どの組も $2n$ になり、組は $n$ 個あるので、和の 2 倍は $2n\cdot n$、和は $n^2$ です。

October 15, 2026 読んだ
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未知数：探しているもののための場所

未知数とは、文字どおり、まだ知られていない数のことです。けれども、なんでもよいわけではありません。それはまだわかっていない、決まった数です。方程式 $x+3=7$ はすべての数について語っているのではなく、一つの数について語っていて、課題はそれがどれかを見つけることです。 知らないものの名前 長いあいだ、未知数の名前は文字ではなく、言葉でした。 250 年ごろ、アレクサンドリアのディオファントスは『算術』で、未知数を arithmós、「数」と呼び、語末のシグマに似た記号 $\varsigma$ で略しました。未知数の平方には $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis、累乗）、立方には $K^{\Upsilon}$（kýbos）という略記もありました。 820 年ごろのバグダードで、フワーリズミーはそれを shay’、ものと呼び、その平方を māl、財産と呼びました。彼はすべてを言葉で書き、記号は一つも使いませんでした。 15 世紀と 16 世紀に、イタリア人は shay’ を cosa と訳し、イタリア人を写したドイツの代数学者たちは コス派（cossists）とあだ名されました。1544 年になっても、ミヒャエル・シュティーフェルは「もの」、その平方、その立方に別々の記号を使っていました。 ミヒャエル・シュティーフェル『整数算術』（1544）の「コス記号」。未知数の累乗ごとに記号があり、それらのあいだに目に見える関係はない。Michael Stifel · Wikimedia Commons · パブリックドメイン これらの記号では、「もの」の平方も立方も、「もの」に似ていません。この本の言い方では、不毛な記法です。立方と平方をかけると 5 乗になることを知るには、表を暗記しなければなりませんでした。デカルトが $x$、$x^2$、$x^3$ と書いたとき、規則 $x^3\cdot x^2=x^5$ が指数の中に見えるようになりました。第 1 章の修辞から記号へで、この移り変わりをもっと詳しく語っています。 ディオファントスの一ページ 1621 年、フランスのクロード＝ガスパール・バシェは、ディオファントスの『算術』をギリシア語で出版し、隣にラテン語訳を添えました。これは第 II 巻の問題 8、与えられた平方数を二つの平方数に分ける問題のページです。 バシェ版（1621）の問題 II.8。右がギリシア語、左がラテン語で、未知数を N、その平方を Q と書いている。フェルマーが最終定理の書き込みをしたのは、このページの余白だった。Diophantus, ed. Bachet · Wikimedia Commons · パブリックドメイン バシェのラテン語では、未知数は numerus（数）の N、その平方は quadratus（平方）の Q です。「Ponatur primus 1 Q」、最初の平方数を $1Q$ とせよ。今日のことばで言えば、$16$ を二つの平方数に分けるために、ディオファントスは一つめを $x^2$、二つめを $16-x^2$ とし、二つめの辺の形として $2x-4$ を選びます。条件は

October 15, 2026 読んだ
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一つの文字、五つの役割

次の五行を見てください。 $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \sin^2x+\cos^2x=1.$$どれも文字を使っていて、どれも代数に見えます。けれども、文字が同じことをしている行は一つもありません。 $x+3=7$ では、$x$ は決まっているが知られていない数です。当てはまるのは $4$ だけ。これは未知数です。 $A=b\cdot h$ では、文字は何も隠していません。三つの量がどう関係しているかを言っています。これは公式であり、文字はいっしょに変わる量です。 $a+b=b+a$ では、文字は任意の数です。この文はどの二つの数についても成り立ちます。文字は一般化しています。 $y=kx$ では、$x$ と $y$ が動き、$k$ は止まっています。$k$ はパラメータです。それぞれの問題では固定されていますが、任意です。 $\sin^2x+\cos^2x=1$ では、$x$ はやはり任意ですが、この文は解くべき方程式ではありません。すべての $x$ について正しい恒等式です。 ユーシスキンの考え方 1988 年、アメリカの教育学者ザルマン・ユーシスキン（Zalman Usiskin）は、のちに古典となった論文で、学校の代数には少なくとも四つの考え方が混ざっていて、それぞれが文字に違う役割を与えている、と述べました。 代数の考え方 文字は何か 例 一般化された算術 パターンを一般化する任意の数 $a+b=b+a$ 問題解決 未知数、見つけ出すもの $3x+5=20$ 関係の研究 変数、ほかの量といっしょに変わるもの $y=2x+1$ 構造の研究 規則にしたがって操作される任意の記号 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ 最後の行では、だれも数のことを考えていません。$x$ と $y$ は、チェスの駒のように規則にしたがって動かされる印です。この四つに、ここでは本全体に出てくる五つめを加えます。名前としての文字です。関数の名前（$f$）、定数の名前（$\pi$、$e$、$c$）、対象の名前（点 $A$、直線 $r$）。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 書かれたものは注意してくれない 記号論的な問題は、どの役割でも書き方が同じだということです。シニフィアンのどこにも、未知数と変数を区別するものはありません。どちらも斜体の $x$ です。決め手になるのは文脈、モリスが語用論と呼んだものです（第 2 章を参照）。手がかりはたいてい小さな言葉で、生徒はそれを無視することを覚えてしまいますが、無視すべきではありません。 「……となる $x$ を求めよ」は未知数を告げます。 「すべての $x$ について……」や「$a$、$b$ を実数とする」は任意の数を告げます。 「$x$ が増えるとき、$y$ は……」は変数を告げます。 「$a>0$ が与えられたとき……」はパラメータを告げます。 プロの数学者は、気づかないうちにこれらの手がかりを読んでいます。生徒はそうした手がかりがあることさえ知らないことが多く、その結果は第 8 回で見る誤りに現れます。

October 15, 2026 読んだ
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第2章：参考文献と図版出典

さらに学ぶために ソシュール『一般言語学講義』。原著：Cours de linguistique générale. Paris: Payot, 1916. Peirce, Charles Sanders. Collected Papers of Charles Sanders Peirce. 全 8 巻. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1931–1958. 第 2 巻にイコン・インデックス・シンボルについての論文が収められている。 Peirce, Charles Sanders. The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings. 2 vols. Bloomington: Indiana University Press, 1992–1998. Morris, Charles W. Foundations of the Theory of Signs. Chicago: University of Chicago Press, 1938. Duval, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995. Duval, Raymond. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, p. 103–131. Falkner, Karen P.; Levi, Linda; Carpenter, Thomas P. Children’s understanding of equality: a foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 1999, p. 232–236. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Swetz, Frank J. Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century. La Salle: Open Court, 1987. 三数法とゲロジアのかけ算をふくむ『トレヴィーゾ算術書』（1478）の翻訳を収める。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 全 2 巻. Chicago: Open Court, 1928–1929. 分数の横線、三数法の名前、比例の記号について。 このサイトの以前の記事のうち、分数、かけ算、三数法についての記事から、分子と分母の語源、エジプトのかけ算、パチョーリのゲロジア、三数法の名前の表を得ました。

October 13, 2026 読んだ
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記法の読み方：手引きと用語集

もし数学の記法が透明な暗号だったら、辞書が一冊あれば足りるでしょう。$+$ は「たす」、$=$ は「等しい」、それで終わりです。この章は、そうではないことを示してきました。同じ線が演算にも数の名前にもなり、等号は矢印ではなく天秤であり、空白は $ab$ ではかけ算を表すのに $23$ ではそうではなく、方程式には解が二つあっても根号は値を一つしか返しません。数学を読むとは、式ごとに、書かれたもの・対象・規則のあいだの関係を組み立て直すことなのです。 この記事では、この章の道具を実用的な手引きにまとめます。 見なれない式のための七つの問い 何が書かれているか。 記号、文字、それぞれの位置（上、下、くっついている、離れている）、まとまり方を見る。これが統語論。 どんな約束ごとが必要か。 演算の順序、特定の文字の意味（$\pi$、$e$、$i$）、その分野の記法。ふつうとちがう約束ごとなら、文章がそう言っているはずだ。 式はどんな対象を指しているか。 数か、関数か、集合か、命題か。どんな範囲で考えるのか。これが意味論。 私に何を求めているか。 計算か、解くことか、証明か、比較か、作図か。「$x$ を求めよ」と「$x$ を任意とする」は正反対のことを求めている。これが語用論。 どんな変形が許されるか。 計算のどの一歩にも、それを許す規則が必要で、ときには仮定も必要だ。$a$ でわるには $a\ne0$、$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ には $a,b\ge0$ が必要。 同じ内容の別のレジスターはあるか。 図、表、文、グラフ。それぞれ何をいちばんよく見せるか。 その表現は何を隠しているか。 図は縮尺どおりとはかぎらない。表は一部の値しか示さない。式は仮定を隠すことがある。グラフの目盛りはのばされているかもしれない。 生きた記法のテスト この本の最初の記事から、生きた記法と不毛な記法という考えを使ってきました。パースの道具を使えば、それを三つの問いからなるテストにできます。 形が対象の関係を写しているか。 $\frac{dy}{dx}$ は、導関数が比の極限だから、比の形をしている。$\dot y$ は何も写していない。 それを見ることで、意図して入れなかったことを発見できるか。 これはパースのイコンの基準である。位取りは九の段の規則性を見せてくれるが、ローマ数字は見せてくれない。 新しい問題でも働きつづけるか。 連立一次方程式のためにつくられたケイリーの行列は、のちに回転にも、量子力学にも、コンピュータにも役立った。 そして、オイラーの平方根がはっきり示した注意があります。生きた記法はまちがった一歩も示唆するのです。形がさそいかければさそいかけるほど、規則がどこまで成り立つかを知ることが大切になります。 dy/dx をまるごと読む 最後に、七つの問いで $\dfrac{dy}{dx}$ を読んでみましょう。 書かれたもの： 二つの式 $dy$ と $dx$ が、分数の横線で上下に重ねられている。 約束ごと： $d$ は $y$ にかけられた変数ではない。differentia から来たライプニッツの作用素である。 対象： $x$ についての $y$ の導関数。今日では極限として定義される：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$。 求めていること： 文脈による。変化率の計算かもしれないし、接線を求めることかもしれないし、微分方程式を立てることかもしれない。 変形： 分数の形は連鎖律や置換積分を許すが、ふつうの分数で成り立つことをすべて許すわけではない。 ほかのレジスター： グラフの接線の傾き、ラグランジュの記法 $y'$、変数が時間ならニュートンの $\dot y$。 隠していること： 極限が存在すること（すべての関数に導関数があるわけではない）、そして $dy$ と $dx$ が単独で厳密な意味をもつのは、より進んだ理論の中だけだということ。 五文字の記法の中に、三百年の歴史と、一つの定義と、ひとにぎりの規則と、少なくとも三通りのかき方がつまっているのです。

October 13, 2026 読んだ
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式・表・グラフ：処理と変換

1637 年にデカルトが『幾何学』を出版したとき、彼は曲線も方程式も発明したわけではありません。どちらも何世紀も前からありました。彼が発明したのは、その二つのあいだの橋でした。基準となる直線からの距離を測ることで、あらゆる曲線を方程式に、あらゆる方程式を曲線に変える方法です（今日デカルト座標と呼ぶ、たがいに垂直な二本の軸が定着したのは、彼よりあとのことです）。座標平面とは、何よりもまず、ある書き方を別の書き方に翻訳する機械なのです。 この翻訳はあまりになじみ深いので、それがどれほど難しいかを私たちは忘れています。フランスのレイモン・デュヴァルは、計算はよくできる生徒の多くが、なぜグラフを前にすると固まってしまうのかを生涯かけて研究し、今では数学教育の中心にある一つの考えにたどりつきました。 表現のレジスター デュヴァルは、それ自身の規則をもつ記号の体系を表現のレジスターと呼びます。日本語やポルトガル語のような言語、代数の書き方、表、座標のグラフ、幾何学の図。「倍にして一をたす」関数のような一つの同じ対象は、そのすべての中に現れます。 言葉で：「どの入力についても、出力は二倍たす一」 式で：$f(x)=2x+1$ 表で：組 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$ グラフで：縦軸と $1$ で交わり、横に $1$ 進むごとに $2$ 上がる直線 下の図を動かして、三つのレジスターで同じ点を追ってみてください。 入力 x を変えて、式・表・グラフをめぐってみよう。強調された点は、三つのレジスターで同じ関係 f(x) = 2x + 1 を追っている。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 どのレジスターも、ほかのレジスターの写しではありません。$f(100)$ を計算するには式がいちばんです。表は具体的な場合を示しますが、その一部だけです。グラフは関数が増えていくこと、そしてどれだけ増えるかを一目で示します。言葉は何について話しているのかを言います。それぞれが対象の一部を照らし、別の部分を暗がりに残しているのです。 処理と変換 デュヴァルのいちばん役に立つ区別は、似ているようで実はちがう二つの活動を分けるものです。 処理とは、一つのレジスターの中での変形です。方程式を解くことは代数的な処理です。 $$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$約分や多項式の因数分解、表の列の合計も処理です。それらはレジスターそのものの規則に従っていて、学校はこの種の課題をとてもよく訓練します。 変換とは、あるレジスターから別のレジスターへの移行です。式からグラフへ、文から方程式へ、表から式へ。$f(x)=2x+1$ のグラフをかくには、$1$ が直線と縦軸の交点になり、$2$ が傾きになることを知っていなければなりません。それを教えてくれる代数の規則はありません。二つのレジスターがどう対応しているかを知る必要があるのです。 組 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) は f(x) = 2x + 1 のグラフ上にある。この本のために作成した説明図。 上の表は三つの点を与えています。なぜそれを直線で結んでよいのでしょうか。点のおかげではありません。一直線に並んだ三点は、くねくねした曲線にも無数にのります。直線で結んでよいのは、式がこの関数は一次関数だと言っているからです。表からグラフへの変換は、式だけがもっていた情報に頼っているのです。 人をあざむく変換 デュヴァルは、変換には易しいものと非常に難しいものがあり、その難しさは二つの書き方が同じ順序で進むかどうかによることに気づきました。二つの文を比べてみましょう。

October 13, 2026 読んだ
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平方根：正方形の辺と、忘れてしまった記号

同じように見える二つの問い： 問い 答え $\sqrt9$ はいくつか $3$ $x^2=9$ をみたす実数はどれか $3$ と $-3$ 一行目をふしぎに思う人はたくさんいます。$(-3)^2$ も $9$ なのに、なぜ $\sqrt9$ は「$\pm3$」ではないのか。答えは第 1 章、この記号の古い名前の中にあります。Radix quadrati は正方形の辺でした。面積 $9$ の正方形の辺は $3$ で、長さが $-3$ の辺はありません。 面積 9 の正方形の辺は 3。方程式 x² = 9 には解が二つあるが、辺は一つしかない。この本のために作成した説明図。 一つの記号、一つの値 現代の数学は、正方形の記憶を一つの定義の中に残しました。$a\ge0$ のとき、記号 $\sqrt a$ は、2 乗すると $a$ になるただ一つの負でない数を表す、というものです。これには統語論的な理由もあります。数を受けとって、ときには一つ、ときには二つの値を返す記号は、計算の中に入れられません。$\sqrt9+1$ は $4$ なのか $-2$ なのか。$\sqrt{\phantom{a}}$ がほかの演算と同じように働くには、答えを一つ返さなければならず、それがどれかは幾何学が教えてくれるのです。 だからといって $-3$ が消えるわけではありません。それはやはり $x^2=9$ の解であり、二つの解を示す書き方は $$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ または }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3$$です。$\pm$ は根号の外に現れます。解が二つあるのは記号ではなく方程式だからです。二次方程式の解の公式で、根号の前に $\pm$ が書かれているのはそのためです。根号だけなら値は一つで、$\pm$ が両方を求めているのです。

October 13, 2026 読んだ