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*Physis*：解读自然特征

宇宙中任何事情的发生都存在某种最大或最小的规则。 — 莱昂哈德·欧拉，1744 对于莱布尼茨和欧拉来说，自然是以尽可能最好的方式创造的，因此遵循规则。在我们的 语言：创作者的推理（方法）在于自然（物理）的特征（graphiko’s），并且 由我们来破译它们（máthema）。相同的图画出现在最不同的地方： 犰狳甲壳：六角形板。欧拉之眼系列 地壳：熔岩冷却时形成的六边形玄武岩柱。欧拉之眼系列 榫头：又是六角形图案。欧拉之眼系列 鹦鹉螺壳：对数螺旋。欧拉之眼系列 蛋：椭圆曲线像弧线一样分布压力。欧拉之眼系列 海星：五边形对称。欧拉之眼系列 为什么有这么多六边形？ 只有三种正多边形覆盖平面而不留孔：三角形、正方形和六边形。 其中，六边形是包围面积最大且边界最少的一种。这是最经济的分割方式 空间等分，这就是数学家 Thomas Hales 在 1999 中证明的。 鹦鹉螺螺旋与笛卡尔有直接联系：他是第一个描述它的人，在 1638 写给梅森的信。它总是以相同的速度生长，这就是为什么壳会改变大小 不改变形状： 笛卡尔的等角螺旋线。改变每圈的增长：与辐条的角度在整个转弯过程中保持不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← “函数”这个词 · 无穷大和除以零 → 图片来源和来源.

October 10, 2026 阅读
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无穷大和除以零

修士兼数学家Marin Mersenne是笛卡尔的好朋友。是通过信件 梅森认为笛卡尔与包括费马在内的欧洲智者进行了交谈。在下一代， 英国人 John Wallis 在 1655 中创建了表示无穷大的符号 $\infty$。 马林·梅森 (1588–1648)，笛卡尔的朋友和主要通讯员。欧拉之眼系列 John Wallis (1616–1703)，∞ 符号的创建者。欧拉之眼系列 在学校我们学到了准则，即一条规则：你永远不会被零除。但这几乎从未被解释过 为什么。让我们建立这个想法，逐渐减少除数： $$\begin{aligned} \frac{1}{0{,}1} &= 10 \\ \frac{1}{0{,}01} &= 100 \\ \frac{1}{0{,}001} &= 1\,000 \\ \frac{1}{0{,}0001} &= 10\,000 \\ \frac{1}{0{,}00001} &= 100\,000 \end{aligned}$$ 除数越接近零，结果就越高，不停歇。我们说限制是无限的： $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$ 右边，结果增加到$+\infty$；在左侧，向下转到 $-\infty$。没有一个 可能是 $1 \div 0$ 结果的数字，因此未定义除以零。

October 10, 2026 阅读
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其他贡献和遗产

其他贡献 笛卡尔的漩涡：对他来说，行星被每颗恒星周围的物质漩涡所拖曳。勒内·笛卡尔，哲学原理·公共领域 **光学：**除了折射定律之外，他还研究了镜片的理想形状，即应该具有轮廓 椭圆或双曲线将光线聚焦在一点上。 **笛卡尔的作品集：**曲线 $x^3 + y^3 = 3axy$，他提出该曲线是对费马的挑战 找到切线。 **物理学：**制定了惯性原理的一个版本，即运动中的物体继续运动 如果没有任何障碍，请直线。 **哲学：沉思和哲学原理使其成为 现代哲学。 要记住 笛卡尔生活在法国、荷兰和瑞典之间，并用法语写了方法论 供大家阅读。 他创建了解析几何：点变成了对 $(x, y)$，图形变成了方程。 他展示了如何用尺子和圆规构造 $\sqrt{a}$，并固定了符号 $x$、$y$、$z$ 和 $x^3$。 符号规则告诉我们多项式可以有多少个正根。 多面体的顶点缺陷之和为720°，由此得出公式$V - A + F = 2$。 他解释了彩虹：光线从太阳对面的点开始在 42° 处聚集。 随之而来的是函数的想法：一种“听”一个数字并“说”另一个数字的规则。这个词出自 拉丁文functus，符号$f(x)$是欧拉(1734)。 不存在 $1 \div 0$：接近于零，$\frac{1}{x}$ 一侧跑向 $+\infty$，另一侧跑向 $-\infty$。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 无穷大和除以零 · 图片来源 → 图片来源和来源.

October 10, 2026 阅读
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图片来源

图片来自维基共享资源，全部属于公共领域： 笛卡尔的肖像：弗兰斯·哈尔斯。 方法论, 1637. 波西米亚的伊丽莎白公主：杰拉德·范·洪霍斯特。 笛卡尔和克里斯蒂娜女王：尼尔斯·福斯伯格，根据皮埃尔·路易斯·杜梅尼尔的说法。 页 几何学 e 第一本书 几何学：勒内·笛卡尔，1637。 彩虹图：勒内·笛卡尔， 流星, 1637. 漩涡：勒内·笛卡尔， 哲学原理. “笛卡尔和函数思想”部分中的图像来自欧拉之眼收藏。数字 为该网站制作了互动内容。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 其他贡献和遗产

October 10, 2026 阅读
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ENEM 2025 – 已解决的数学：问题 136 到 150

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。 ENEM 数学和技术测试 2025 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 136 到 150。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。 模板 问题 主题 模板 136 周长 C 137 百分比：溶液浓度 E 138 推理问题：废弃体积 C 139 统计：中位数 C 140 乘法和比较 A 141 空间几何：多面体的面 D 142 图表阅读 D 143 小数运算 B 144 空间几何：正交投影 E 145 可能性 B 146 理性与消费 C 147 解析几何：垂直平分线 A 148 条形图和折线图读取 C 149 百分比和图表 E 150 规模 C 问题 136：自行车道上的警察（周长） 陈述 围绕半径为 1 公里的圆形泻湖，有一条自行车道。 由于自行车被盗事件频发，市政府计划拨款 处于战略地位的警察在这条自行车道上巡逻，以便 使其得到充分的保护。自行车道上的一个点被认为是受保护的，如果 距离该点最多 200 米至少有一名警察， 位于自行车道上方。该图显示了循环路径上的点 $P$， 如果至少有一名警察驻守在该区域上方，该区域将受到保护 深灰色区域。

September 26, 2026 阅读
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FUVEST 2022 – 第二阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （笔记本上有当天的所有问题），问题 M01 到 M06。 FUVEST没有发布第二阶段的模板；决议是我们的。 在 FUVEST 第二阶段的第二天 2022 每位考生都收到了 12 条推理题 您职业生涯的具体学科。数学有 6 个问题（M01 到 M06）。 只做4数学题的人获得M01至M04；谁只做了3，M01到M03。 下面的每个解决方案均通过第二条路径（另一种方法或帐户 在计算机上）。 模板 问题 主题 答案 M01 由递归定义的序列 (Collat​​z) a) 17; b) 12, 13 e 80; c) 4 M02 由零件和区域定义的功能 a）$[0, 2]$和$[5, 9]$； b) $\frac{9}{4}$、4 和 $\frac{11}{2}$； c) 参见分辨率 M03 笛卡尔平面中的计数和概率 a) 6 点； b）$\frac{19}{49}$； c) $\frac{10}{147}$ M04 截棱锥体：周长、体积和距离 a) $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$; b) $\frac{4\sqrt{2}}{27}$; c) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ M05 圆与抛物线的交点 a) $(0, 1)$; b) $(0, 1)$, $(\pm\sqrt{3}, 4)$; c) $a > \frac{1}{4}$ M06 包裹数量（整数解） a) 101; b) 10 201; c) 506 问题 M01：序列“3n + 1”（重复） 陈述 自然数序列的构造如下：其第一项 $t_1$被选择为任意自然数。如果 $t_1$ 是偶数，则 $t_2 = \frac{t_1}{2}$，如果 $t_1$ 是奇数，则 $t_2 = 3t_1 + 1$。条款 根据同样的规则获得以下$t_n$。例如，如果 $t_1 = 3$，然后是 $t_2 = 10$、$t_3 = 5$、$t_4 = 16$ 等等。

September 26, 2026 阅读
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FUVEST 2023 – 第二阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （问题 M01 至 M06）和文件 预期方法。 FUVEST 2023的第二阶段持续了两天。第一天是葡萄牙语和写作；在 第二天，测试每个科目都有 6 个问题，数学从 M01 至 M06。每个候选人只回答了他们职业生涯的主题（在 有些职业，只有每个科目的第一个问题）。 FUVEST没有发布第二阶段的模板；决议是我们的。她透露 一份“预期方法”文件，其中包含候选人的预期路径。 下面的每个分辨率均由第二条路径检查并与此进行比较 文档。 模板 问题 主题 答案 M01 各部分相关功能：运费 a）$f_A(x) = 4x + 30$； b）$15 < x < 45$； c) 190千克和10千克，或150千克和50千克 M02 二次函数 a) $a = 1$、$b = c = 0$； b) $c = 12$； c) $b \leq -5$ 或 $b \geq 5$ M03 计数函数和概率 a) 256; b) 76; c) $\frac{91}{144}$ M04 切圆和 PG a) 6; b) $\frac{1}{3}$; c) $18\pi$ M05 不等式：NBR 阶梯 9077 a）$31 \leq L \leq 32$； b) 15步长为16,8厘米×30,4厘米； c) 最大。 $\frac{2}{3}$，分钟。 $\frac{1}{2}$ M06 复数 a) $b = -2$; b) $z = \frac{3}{2} - 2i$; c) $a < 2$, $a \neq 0$ 问题M01：两家快递公司的资费（相关功能） 陈述 两家货运公司 $A$ 和 $B$ 是竞争对手。公司 $A$ 每公斤订单收取 R$ 4,00 加上 R$ 30,00 作为固定费用。已经是 对于以下订单，公司的关税 $B$ 为每公斤 R$ 6,00，无固定费用 最多 30 公斤；对于超过 30 公斤的订单，公司 $B$ 收取 R$ 2,00 费用 每公斤，另加固定费用 R$ 120,00。

September 26, 2026 阅读
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FUVEST 2024 – 第二阶段：解决数学问题

以下是 M01 至 M06 的解决方案，以及每项的推理和结果验证。使用官方笔记本，第二天查阅报表和图纸；下面我们只返回计算所需的数据。 解释是版权。检查答案使用官方 FUVEST 指南，第 40 至 48 页，可在2024 集合中找到。 M02需要注意：打印数据不一致，指南接受不同方法。 模板 问题 主题 答案 M01 手机和系统 a）顶部64；空圆圈：从左到右：4、11、8、8、16； b）27； c) $5/4$、$35/12$、$7/4$、$7/6$ M02 条件概率 不兼容的数据：偏好加起来达到110%；查看以明确假设为条件的讨论和计算 M03 直线和抛物线 a) $(-1,1)$ e $(3,9)$; b) $(28/25,21/25)$; c) $B=(5/2,25/4)$, $C=(3/2,9/4)$ M04 指数 a) $2$ m; b) $9\sqrt2/4$ m; c) $2\log_2(2+\sqrt3)$ m M05 旋转固体 a) $16$ 面积单位； b) $128\pi/3$ 体积单位； c) $32\sqrt2\pi/3$ 体积单位 M06 楼层功能 a) $10/3$; b) $[5/2,3)$; c) $[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})$ M01：如何阅读数学移动 请参阅测试 PDF 的第 3 页上的三张图。规则为$ac=bd$和$x=ac+bd$；没有编号的分支具有系数 1。在计算中，子结构的值包括它所支撑的圆。

September 26, 2026 阅读
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FUVEST 2025 – 第一阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 常识测试，版本 V1 和官方答案 从第一阶段 (17/11/2024) 开始，可在 FUVEST 集合 2025 中找到。 FUVEST 2025 的第一阶段是常识测试，其中 90 个问题来自 所有学科。这篇文章仅涵盖数学问题。编号 这里使用的是Proof V1；在版本V2、V3和V4中出现相同的问题 与其他数字。 模板 问题 主题 模板 16 百分比：坡道的坡度 C 17 平面上各点之间的距离 C 45 算术平均值 E 48 图表读数和百分比 D 52 余弦函数：图变换 D 69 模函数和抛物线 B 70 算术级数 A 75 圆锥体体积 A 76 圆柱体的体积和侧面积 D 77 圆的相对位置 E 问题 16：无障碍坡道的坡度（百分比） 陈述 建造可供轮椅使用者使用的坡道必须 遵循ABNT NBR 9050标准。本文件规定了坡道的倾斜度 必须取决于每个斜坡段的最大水平差，根据 下表： 每个坡道段的最大坡度和不平整度 水平差 $h$（单位：米） 允许斜率 $i$（%） $1 < h \le 1{,}5$ $5$ $0{,}8 < h \le 1$ $5 < i \le 6{,}25$ $0 < h \le 0{,}8$ $6{,}25 < i \le 8{,}33$ 建筑物、家具、空间和城市设备的可达性。在 https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/ 中可用（已修改）。

September 26, 2026 阅读