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德·梅雷骑士的骰子与公平的分配

安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。 谈到这位朋友，帕斯卡对费马说： 他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 第一个问题：一个六点和两个六点 德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。 于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。 结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。 正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以 $$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$： $$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。 光靠赌能看出来吗？ 几乎不能。49.1% 和 50% 的差别太小了，要赌上几千次才能可靠地察觉。所以历史学家认为，德·梅雷怀疑的是算法，而不是自己的钱包：他认为都正确的两条规则给出了不同的答案，他想知道哪一条错了。 第二个问题：中断的赌局 两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？ 费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。 下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

October 11, 2026 阅读
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E = mc²：藏在质量里的能量

我又想到了电动力学论文的一个推论。相对性原理加上麦克斯韦方程，要求质量是物体所含能量的直接量度。这个想法既有趣又诱人；但我不知道上帝是不是正在笑话这件事，牵着我的鼻子走。 — 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信（1905 年夏） 1905 年 9 月，在相对论论文发表三个月后，爱因斯坦给《物理学年鉴》寄去一篇只有三页的补充，标题是一个问句：“物体的惯性取决于它所含的能量吗？“答案是肯定的，而结论——用文字和别的字母写出——就是物理学中最著名的公式： $$\boxed{E=mc^2.}$$简化的论证 爱因斯坦设想一个静止的物体，同时向相反方向发出两个相同的光脉冲，每个能量为 $\frac E2$。由于两个脉冲相互抵消，物体保持静止。到这里没什么奇怪：物体损失了能量 $E$。 现在让一个以很小速度 $v$ 经过的人来看同一场景。对这位观察者来说，物体前后都在以同一速度 $v$ 运动。但按照相对论，向前发出的光看起来能量稍大，向后发出的稍小，对于很小的 $v$，总共是 $$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right).$$对这位观察者来说，总能量也必须守恒。物体除了 $E$ 之外还多损失了 $E\frac{v^2}{2c^2}$，而这份损失只能来自它的运动能量 $\frac12mv^2$。既然速度没变，变的就是 质量： $$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$一个物体以任何形式损失能量 $E$，就损失质量 $\frac E{c^2}$。爱因斯坦的结论是：“物体的质量是它所含能量的量度”。质量就是储存起来的能量。 那是多少？ 数 $c^2$ 非常巨大：$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。所以很小的质量对应着巨大的能量。仅仅一克： $$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$这相当于约 2.1 万吨 TNT 的能量，比广岛原子弹还多，或者一座约 1 万人口的城镇一年的全部用电量。 反过来，日常的能量对应的质量小得可笑。把一升水从 20 °C 加热到 100 °C，水获得约 335 000 J，它的质量增加 $$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$大约十亿分之四克。没有哪台秤能察觉。所以几个世纪以来，质量看起来是严格守恒的。 太阳与恒星 质量真正变成能量的地方，是原子核。在太阳中心，四个氢核聚变成一个氦核。但账算不平： $$4\times1.00783\ \text{u}=4.03130\ \text{u}\quad\text{对比}\quad\text{氦的}\ 4.00260\ \text{u}.$$少了 $0.0287$ u，约为质量的 0.7%。这部分消失的质量以能量 $\Delta m\,c^2$ 的形式释放出来，太阳就是因此发光的。太阳的辐射功率为 $3.8\times10^{26}$ 瓦；除以 $c^2$，它每秒损失

October 14, 2026 阅读
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麦克斯韦方程组：从法拉第的力线到矢量

起初，看到这么强大的数学力量被施加在这个问题上，我几乎吓了一跳；后来我又惊讶地发现，这个问题竟然承受得这么好。 — 迈克尔·法拉第致麦克斯韦的信（1857 年 3 月 25 日） 1820 年以前，电和磁是两门不相干的学问。电会产生火花，让人头发竖起；磁让指南针指向北方。那一年，丹麦人汉斯·克里斯蒂安·奥斯特在哥本哈根大学的一堂课上把电池接到一根导线上，看到旁边的磁针动了。电流产生了磁。 法拉第的力线 迈克尔·法拉第（1791–1867），想象出力线的铁匠之子。作者不详，1850 年代 · Wikimedia Commons · 公有领域 在伦敦，铁匠的儿子迈克尔·法拉第——他 13 岁就离开学校去当装订学徒——把这一发现推进了一步。1821 年，他造出了第一台电动机：一根绕着磁铁转动的导线。1831 年，他发现了奥斯特效应的反面：一块在导线附近 运动 的磁铁会产生电流。这就是 电磁感应，所有电站发电机和自行车发电机的原理。 法拉第除了算术之外不懂数学。他思考时，想象磁铁和电荷周围的空间充满了 力线，就像铁屑在磁铁周围画出的线条那样。重要的是力线，而不是磁铁。数学家们认为这个想法很幼稚：在他们看来，力是超距作用的，就像牛顿的引力一样。 麦克斯韦认真对待法拉第的力线。1855 年，24 岁的他发表了《论法拉第的力线》，把图像翻译成了方程。1861 年和 1862 年，他在《论物理力线》中设想了一个空间的力学模型：旋转的流体管，管与管之间隔着像齿轮一样的小球。这个模型很奇特，但起到了脚手架的作用。借助它，麦克斯韦找到了 位移电流 和 波的速度。1865 年，在《电磁场的动力学理论》中，他拆掉了脚手架：只剩下方程，共 二十个，含二十个未知量，按分量一个个写出。 四元数还是矢量？ 二十个方程很难读。需要一种更好的记号，而且已经有一个候选者：爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿的 四元数，一种由四部分组成的数，$q=w+ai+bj+ck$。麦克斯韦的中学同学彼得·格思里·泰特是四元数的大力倡导者，在 1870 年至 1871 年两人的通信中，他试图说服麦克斯韦在《通论》里使用四元数。 麦克斯韦只接受了一半。他喜欢含三个分量的部分 $ai+bj+ck$，它能很好地表示有方向的量，比如磁场；但他看不出第四部分 $w$ 有什么物理意义。在《电磁通论》（1873）中，他把标量部分与矢量部分分开，并且只是适度地使用四元数。在 1871 年的一篇论文中，他为场的运算起了一些我们至今仍在使用的名字：curl，即旋度，衡量一个场绕某点旋转的程度；还有 convergence，衡量场向某点汇聚的程度，它与今天的散度正好相反。 《电磁通论》第一卷扉页（牛津，1873）。Wikimedia Commons · 公有领域 下一步是由两位自学成才的《通论》读者迈出的。英国人奥利弗·亥维赛，一位 16 岁辍学的电报员，和耶鲁大学的美国人约西亚·威拉德·吉布斯，抛弃了四元数，各自独立地创立了现代 矢量分析，包括点积和叉积。1884 年和 1885 年，亥维赛把麦克斯韦的二十个方程改写成了 四个。今天每本教科书里出现的都是这种形式。

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

October 11, 2026 阅读
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位移电流：缺失的一项

麦克斯韦的四个方程中，有三个在他之前就以某种形式为人所知：高斯定律、磁场定律和法拉第定律。第四个，安培定律，也是已知的，但它是 不完整的。麦克斯韦给它加上的只是一项：$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$。看起来微不足道。正是这一项让电和磁变成了光。 安培定律 1826 年，法国人安德烈-马里·安培找到了电流与其周围磁场之间的规律。用今天的语言说：沿着导线周围的一条闭合路径，把磁场沿路径的分量加起来，结果与穿过以这条路径为边界的 任意 曲面的电流 $I$ 成正比： $$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$“任意"这个词很重要。想一想捕蝶网的网圈：网可以短也可以长，但穿过网圈的导线也穿过网。穿过网的电流与网的形状无关。 打破规则的电容器 现在在电路里接一个 电容器：两块平行金属板，中间隔着空气或真空。电容器充电时，电流 $I$ 沿一根导线流到一块板上，另一股电流从另一块板流出。但两板之间没有电流：那里没有导线，只有空隙。 在电容器前面，绕导线取一条圆形路径。如果网是 平的，切过导线，穿过它的电流是 $I$。如果网是 长的，像一个口袋从两板之间穿过而不碰到导线，穿过它的电流就是 零。同一条路径，同一个磁场积分，两个不同的答案。在这种情况下，安培定律不可能是对的。 两板之间变化的东西 两板之间没有电荷通过，但有东西在变化：电场。当极板积累电荷 $Q$ 时，面积为 $A$ 的两板之间的电场增大： $$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$穿过极板面积的电场通量为 $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$，它的变化率为 $$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I.$$恰好等于导线中流来的电流！麦克斯韦提出，变化的电场就像电流一样起作用。他称之为 位移电流，$I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$，并把它加进安培定律： $$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$现在两张网的结果一致了。穿过平网的只有导线中的电流 $I$。穿过长网的没有电流，但有两板之间变化的电场，它贡献的量完全相同。 为什么叫"位移”？ 这个名字来自 1861 年的力学模型。麦克斯韦设想，即使在真空中也存在一种介质——以太，当电场变化时，其中的带电粒子会稍稍 位移，就像被拉伸的弹簧。这种微小的位移就是一种真实的电流。以太并不存在，迈克耳孙、莫雷和 爱因斯坦 后来证明了这一点，但这一项比模型活得更久：即使力学解释是错的，自然界仍然遵守这个方程。 电荷守恒 这一项必须存在还有另一个理由。在微分形式下，未经修正的安培定律是 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。但旋度的散度总是零，所以它会迫使 $\nabla\cdot\mathbf J=0$：电流永远不能在任何地方积累，任何电容器都无法充电。加上麦克斯韦的一项， $$0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E).$$由高斯定律，$\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}$，剩下 $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$这就是 电荷守恒：一个区域里的电荷只有在电流流入时才会增加。麦克斯韦的修正正好是让方程组遵守这一原理所需要的。 自我维持的一项 位移电流有一个惊人的推论。由法拉第定律，变化的磁场产生电场。由修正后的安培定律，变化的电场产生磁场。于是两种场可以相互维持，一个产生另一个，完全不需要电荷和电流，并在真空中传播。这就是波。在 下一篇 中，我们来计算它的速度。 练习：一个电容器在 2 毫秒内积累了 6 微库电荷。两板之间的平均位移电流是多少？导线中的平均电流为 $\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{6\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}=3\times10^{-3}$ A，即 3 mA。两板之间的平均位移电流也是 3 mA，尽管没有一个电子穿过两板之间的空间。

October 14, 2026 阅读
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广义相对论：从电梯到索布拉尔日食

我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：一个人如果自由下落，他就感觉不到自己的重量。我吃了一惊。这个简单的想法给我留下了深刻的印象，它推动我走向一种引力理论。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，谈 1907 年的一个想法 1905 年的相对论有一个缺陷：它没有包括引力。牛顿定律说，太阳隔着 1.5 亿千米瞬间吸引地球；而相对论说，没有什么比光传得更快。爱因斯坦花了八年时间试图解决这个问题。出发点是他所说的"一生中最快乐的想法"。 下坠的电梯 设想你在一部缆绳断了的电梯里。你和电梯里的一切以相同的加速度一起下落。如果你松手放开一个苹果，它就飘在你面前。在电梯里，就好像没有引力一样。空间站上的宇航员时时刻刻都在体验这一点：他们飘浮不是因为远离地球，而是因为在绕着地球下落。 反过来也一样：在远离一切的太空中，一枚以 $9.8$ m/s² 加速的火箭里，你会感到双脚紧压着地板，和在地球上一模一样。在一个小舱室里做的任何实验，都无法区分引力和加速度。这就是 等效原理。 现在在加速的火箭里水平打开一支手电筒。在光穿过舱室的过程中，火箭向上运动，光到达对面舱壁的位置比出发点略低：在火箭里，光走的是一条曲线。既然引力与加速度无法区分，那么 引力也会使光弯曲。 引力就是几何 爱因斯坦把这个想法推到了极致：引力不是一种力，而是 空间和时间的形状。像太阳这样的大质量物体使周围的时空弯曲，自由下落的物体——包括光——只是沿着这个弯曲空间中尽可能直的线，即 测地线 运动。地球绕太阳转，不是因为被拉着，而是因为它在被太阳弯曲的空间里"走直线"。 要把这一点写出来，爱因斯坦需要弯曲空间的几何，那是 高斯 开创、黎曼推广的，而他并不熟悉。他请朋友马塞尔·格罗斯曼帮忙，经历了多年的尝试和失败。1915 年 11 月 25 日，他向普鲁士科学院提交了 场方程： $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左边的 $G_{\mu\nu}$ 描述时空的 曲率；右边的 $T_{\mu\nu}$ 描述那里的 物质和能量。物理学家约翰·惠勒总结道：“物质告诉空间如何弯曲；空间告诉物质如何运动。” 这是十个相互交织的方程，解起来很难；但在弱场下，它们又回到了牛顿的引力。 第一个检验：水星 水星的轨道不是一个完全固定的椭圆：椭圆本身在缓慢地绕太阳转动。这种转动几乎全部可以用其他行星的吸引来解释，但还剩下 每世纪 43 角秒，牛顿物理学解释不了。有人提出在水星和太阳之间有一颗看不见的行星，叫作"火神星"。 1915 年 11 月，爱因斯坦用他的方程计算了这个效应，得到的恰好是每世纪 43 角秒。他写信告诉一位朋友，他好几天都"高兴得忘乎所以"，感到心跳加快。 第二个检验：偏折的光 对于掠过太阳的一束光，理论预言的偏折角为 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$取 $GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²，太阳半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m， $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$这相当于从 3 千米外看一枚硬币的视大小。要测出它，就得拍摄出现在太阳旁边的恒星，再与几个月后夜里太阳移到天空别处时这些恒星的位置作比较。但太阳旁边的星星只有在 日全食 时才看得见。 英国考察队在塞阿拉州索布拉尔架设的望远镜，为 1919 年 5 月 29 日的日食做好了准备。Charles Davidson · Wikimedia Commons · 公有领域 索布拉尔，1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日的日食条件理想：太阳正好位于一群明亮的恒星——毕星团前面。全食带经过巴西北部和非洲沿岸。英国皇家天文学会派出两支考察队：阿瑟·爱丁顿去了几内亚湾的普林西比岛，安德鲁·克罗姆林和查尔斯·戴维森去了塞阿拉州的 索布拉尔。里约热内卢国家天文台的天文学家也在索布拉尔，研究日冕。

October 14, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 11, 2026 阅读
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运动定律：力与速度的变化

在亚里士多德看来，物体只有在被推着的时候才会运动。不推车了，车就停下。这似乎显而易见，也被接受了将近两千年。 伽利略对此表示怀疑。他让小球沿斜面滚动，发现表面越光滑，小球滚得越远。如果完全没有摩擦，它将永远不会停下。笛卡儿也得出了类似的想法。牛顿把这些线索汇集起来，在 1687 年的《原理》中写下了三条定律，它们成了整个力学的基础。 1687 年《原理》第一版的扉页。艾萨克·牛顿 · Wikimedia Commons · 公有领域。 这本书用拉丁文写成，证明几乎全部采用欧几里得式的几何。牛顿当时已经掌握了流数法，但他选择了读者不会争议的语言。三条定律一开篇就作为公理出现。 第一定律：惯性 每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力迫使它改变这种状态。 — 《原理》，定律一 车停下来是因为摩擦力使它减速，而不是因为它“累了”。在太空中，远离一切，一个关闭了发动机的探测器会沿直线飞行数百万公里。1977 年发射的旅行者号探测器就是这样，至今仍在远离太阳。 这一课违反直觉：力不是维持运动的原因，而是改变运动的原因。 第二定律：力与加速度 运动的改变与所施加的动力成正比，并沿该力作用的直线方向发生。 — 《原理》，定律二 牛顿所说的“运动”，就是今天所说的动量：质量乘以速度。当质量不变时，这条定律就变成我们熟悉的公式： $$\sum\vec F=m\,\vec a.$$$\sum$ 提醒我们，起作用的是所有力的合力。如果 10 N 的力向右推一个 2 kg 的木块，4 N 的摩擦力向左拉，合力就是向右 6 N，于是 $$a=\frac{6}{2}=3\ \text{m/s}^2.$$用流数的语言，加速度是 $\ddot x$，即位置的流数的流数。第二定律于是说 $m\ddot x=F$：这是一个微分方程。知道了力，就能一瞬接一瞬地算出整个运动。正是这一点使牛顿力学成为一台预测机器。 第三定律：作用与反作用 每一个作用总有一个大小相等、方向相反的反作用。 — 《原理》，定律三 你推墙时，墙以同样大小的力推你。游泳的人向后推水，水向前推人。火箭也是一样：它向下喷出气体，气体向上推动火箭。 一个常见的困惑：既然两个力大小相等、方向相反，为什么不会抵消？因为它们作用在不同的物体上。你施加的力作用在墙上，墙施加的力作用在你身上。要判断你是否加速，只看作用在你身上的力。 以他命名的单位 在国际单位制中，力的单位叫作牛顿（N）。1 牛顿是使 1 千克物体产生 1 m/s² 加速度的力。一个普通的苹果重约 1 N，这个巧合让物理老师们津津乐道。 三定律的影响 凭借这三句话，再加上万有引力定律，《原理》解释了物体的下落、抛射体的运动、潮汐、月亮的轨道以及地球两极的扁平。直到今天，设计桥梁、计算卫星轨道、模拟汽车碰撞，用的仍是这些定律。 练习：一个物体所受合力为零，它的速度一定为零吗？不一定。根据第一定律，它可以静止，也可以做匀速直线运动。合力为零意味着加速度为零，而不是速度为零。 练习：一辆 1000 kg 的汽车在 10 s 内从 0 加速到 20 m/s，平均合力是多少？平均加速度为 $\dfrac{20}{10}=2$ m/s²。由第二定律，$F=1000\cdot2=2000$ N。

October 11, 2026 阅读
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光是电磁波

我们几乎无法回避这样的结论：光是由同一种介质的横向波动构成的，而这种介质正是电磁现象的起因。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，《论物理力线》（1862），斜体为原文所加 1861 年夏天，在远离书本的格伦莱尔，麦克斯韦用他的涡旋和小轮子模型做了一个计算：如果传递电力和磁力的介质受到扰动，扰动会以波的形式传播。速度是多少？计算给出的数只取决于两个在实验室里用磁铁和电荷测得的常数。他手头没有这些数值。10 月回到伦敦后，他去查了。那个数就是 光速。 波动方程 我们用今天形式的方程重新算一遍。在没有电荷也没有电流的地方，$\rho=0$，$\mathbf J=0$，方程组变成 $$\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$对第三个方程取旋度： $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},$$这里用到了第四个方程。左边，一个矢量恒等式给出 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E$，而由第一个方程，第一项为零。剩下 $$\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.}$$这就是 波动方程，与达朗贝尔的振动弦和声音的方程相同。在波动方程 $\nabla^2u=\frac1{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$ 中，波速是 $v$。所以这里 $$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$那个数 用今天的数值，$\varepsilon_0\approx8.854\times10^{-12}$ F/m，$\mu_0\approx1.257\times10^{-6}$ H/m， $$v=\frac1{\sqrt{8.854\times10^{-12}\cdot1.257\times10^{-6}}}\approx2.998\times10^8\ \text{m/s}=299\,792\ \text{km/s}.$$1862 年，麦克斯韦用了德国人威廉·韦伯和鲁道夫·科尔劳施 1856 年用莱顿瓶放电测得的常数，得到 310 740 km/s。当时最好的光速测量是法国人伊波利特·菲佐 1849 年用齿轮和 8 千米外的一面镜子做的，结果是 314 858 km/s。这两个数是用毫不相干的途径得到的，一个靠磁铁，一个靠镜子，相差只有百分之一多一点。这就是引文那句话的由来，麦克斯韦把它写成了斜体。 波的样子 最简单的解是沿 $x$ 方向传播的平面波： $$\mathbf E=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y},\qquad\mathbf B=\frac{E_0}{c}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z},$$其中 $\omega=ck$。电场在 $y$ 方向振荡，磁场在 $z$ 方向振荡，两者都垂直于波的传播方向：这是 横波，正如麦克斯韦所预言的，这也是光可以 偏振 的原因，而这一点早在十八世纪就已为人所知。磁场比电场小 $c$ 倍，两者同步振荡，相位相同。

October 14, 2026 阅读
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阿尔伯特·爱因斯坦的遗产

想象力比知识更重要。知识是有限的，而想象力环抱整个世界。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，接受《星期六晚邮报》采访（1929） 爱因斯坦是唯一一位人人都认得出长相的科学家。但他的遗产不在海报上，而在我们不假思索地使用的设备里，在物理学家至今仍在试图回答的问题里。他的好几项预言直到他去世几十年后才得到证实。 激光 1917 年，爱因斯坦在研究物质如何吸收和发射光时意识到，处于激发态的原子除了自发地吸收和发射光子之外，还可以被一个光子 激励，发出另一个完全相同、方向相同的光子。这是一个理论上的发现。四十年后，它变成了 激光，英文缩写意为"受激辐射光放大"。条形码扫描器、光纤、眼科手术和讲课用的激光笔，都是受激发射的应用。 一种新的物态 1924 年，印度物理学家萨特延德拉·纳特·玻色给爱因斯坦寄去一篇论文，提出了一种计数光子的新方法。爱因斯坦把它译成德文发表，并把这个想法推广到原子。他预言，在非常接近绝对零度时，某些原子组成的气体会凝聚到同一个状态，仿佛所有原子变成了一个。玻色-爱因斯坦凝聚 于 1995 年在实验室中制成，实现者获得了 2001 年诺贝尔奖。 宇宙与"最大的错误" 1917 年，爱因斯坦把广义相对论应用于整个宇宙。方程表明宇宙不可能静止不动：它必须膨胀或收缩。由于当时人人都相信宇宙是静态的，爱因斯坦在方程中加了一项，即 宇宙学常数 $\Lambda$，只为让宇宙保持静止。1929 年，埃德温·哈勃证明星系在相互远离：宇宙在膨胀。据物理学家乔治·伽莫夫说，爱因斯坦称这个常数是他一生中"最大的错误"。 故事还有一个转折。1998 年发现宇宙的膨胀正在 加速，而最简单的解释恰恰就是一个宇宙学常数。这个"错误"又回到了方程里。 时空中的波 1916 年，爱因斯坦预言加速运动的质量会产生 引力波，即时空本身以光速传播的涟漪，但他认为它们太弱，永远无法测到。2015 年 9 月 14 日，将近一百年后，美国的 LIGO 探测器记录到了一个引力波：它来自 13 亿光年外两个黑洞的并合。这个波使探测器 4 千米长的臂伸缩了不到质子大小的千分之一。 黑洞 爱因斯坦的方程允许存在这样的区域：时空弯曲得如此厉害，连光都逃不出来。爱因斯坦本人怀疑自然界会产生它们。如今我们知道，银河系中心有一个 400 万倍太阳质量的黑洞；2019 年，事件视界望远镜发布了第一张黑洞阴影的照片，那个黑洞位于 M87 星系。 1925 年 5 月，爱因斯坦在里约热内卢植物园。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 爱因斯坦与巴西 1925 年的访问留下了印记。接待爱因斯坦的有巴西科学院，以及国家天文台台长、参加过索布拉尔日食观测的科学家恩里克·莫里泽。报纸刊登了漫画和专栏文章；其中一份拿"相对论"一词做文章，登了一幅题为《不相对论》的漫画。如今索布拉尔有一座 日食博物馆，就建在当年架设望远镜的地方；2019 年的百年纪念在这座城市举办了一周的科学活动。 留下了什么 量子物理。 光子、光电效应、受激发射和玻色-爱因斯坦统计。 原子。 布朗运动第一次直接测出了阿伏伽德罗常数，结束了关于原子是否存在的争论。 空间与时间。 狭义相对论把空间和时间统一起来，并证明质量就是能量。 引力。 广义相对论把引力变成了几何，创立了现代宇宙学。 技术。 GPS、激光、光电池、核能和 PET 检查。 爱因斯坦的大脑 爱因斯坦要求火化，骨灰撒在了一个未公开的地方。但做尸检的病理学家托马斯·哈维未经许可取出了他的大脑，泡在罐子里，在家中保存了几十年。好几位科学家研究过其中的切片，但关于他天才的来源，没有得出任何确定的结论。

October 14, 2026 阅读
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摆线：一场牙痛带来的曲线

在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。 在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。 车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于 $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。 一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。 它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。 用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$， $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分： $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得 $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。 1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。 随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

October 11, 2026 阅读
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费马原理：光走最快的路

一名救生员站在沙滩上，看到有人在远处偏向一侧的海里溺水。救生员该走哪条路？直线是最短的路，却不是最快的：在沙滩上跑要比在水里游快得多。多在沙滩上跑一段，少游一段，反而划算。 费马意识到，光做的正是这样的选择。 反射：最短路径 最古老的想法与镜子有关。公元 1 世纪，亚历山大的希罗就已注意到，光在反射时，走的是经过镜面连接两点的最短路径。 我们用导数来验证。光源 $S$ 在镜面上方高 $a$ 处，眼睛 $T$ 在高 $b$ 处，两者的水平距离为 $\ell$。光在点 $M$ 处射到镜面上，$M$ 到 $S$ 的垂足距离为 $x$。 路径 $S\to M\to T$ 的长度为 $$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$在最小值处，导数为零： $$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$每个分式都是一个角的正弦：$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ 是入射角 $\hat i$（从镜面的法线量起）的正弦，$\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ 是反射角 $\hat r$ 的正弦。因此 $$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$这就是反射定律：入射角等于反射角。 折射：最短时间 在反射中，光始终在同一种介质里，最短的路径也是最快的路径。但光从空气进入水中时会改变方向。弯折的路径比直线长。光为什么要这样做？ 1662 年，费马给出了答案：光走的不是最短的路，而是最快的路。如果光在水中走得更慢，那么在空气中多走一段距离就是划算的，就像沙滩上的救生员。 两种介质：穿过点 P 决定了在每种介质中走过的距离和总时间。角度从界面的法线量起。本博客原创插图。 设光在第一种介质中的速度为 $v_1$，在第二种介质中为 $v_2$。距离与前面相同，只是现在点 $T$ 在界面下方，总时间为 $$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$求导并令其为零： $$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$认出其中与法线夹角的正弦： $$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{或}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$这就是中学里学的折射定律——斯涅尔定律。如果光在第二种介质中更慢（$v_2

October 11, 2026 阅读