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万有引力：从苹果到月亮

苹果会落下，月亮为什么不会？ 在牛顿之前，答案似乎很简单：天上和地上遵循不同的规则。地上的东西会落下；天上的星体永远沿着完美的圆周运转。牛顿的伟大想法是怀疑这种割裂：也许月亮一直在下落。 牛顿的大炮 伍尔索普庄园果园里的苹果树，传统上认为它就是“牛顿的树”。David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 在为《原理》准备的草稿中，牛顿提出了一个思想实验。想象一座极高的山顶上有一门大炮，水平开火。火药少，炮弹落在近处；火药多，就落得更远。但地球是圆的：如果炮弹足够快，地面向下弯曲的程度恰好等于它下落的程度。炮弹永远在下落，却永远到不了地面。它进入了轨道。 在地球表面附近，这个速度约为 7.9 km/s，即每小时 2.8 万公里，正是低轨道卫星的速度。绕一圈大约需要 84 分钟（不计空气阻力；实际上卫星必须飞到大气层以上很高的地方）。 月亮就是这样一颗炮弹。它时时刻刻都在朝地球下落，但横向运动得太快，所以永远落不下来。 平方反比定律 要让这个想法成立，引力必须随距离增大而减弱。牛顿假设它与距离的平方成反比。用今天的记号： $$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$这里 $M$ 和 $m$ 是两个质量，$r$ 是两个中心之间的距离，$G$ 是一个普适常数。距离加倍，力变为原来的 $1/2^2=1/4$；距离变为三倍，力变为 $1/9$。 月球检验 牛顿做了一个计算，把这个假设变成了科学。月亮到地心的距离约为地球半径的 60 倍。如果引力随距离平方减弱，月亮的加速度应当是地面上苹果的 $60^2=3600$ 分之一： $$\frac{9.81}{3600}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$现在只用天文学，换一种方法来测量月亮的加速度。它在约 $T\approx27.3$ 天内走完半径 $r\approx384\,400$ 公里的圆周。做圆周运动的物体的加速度是 $$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3.844\times10^8}{(27.32\cdot86\,400)^2}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$两个数字吻合。让苹果落地的力和拉住月亮的力是同一个力。牛顿写道，他发现结果“相当接近”。不过在 1666 年，他使用的地球半径数值不准，吻合得并不完美。直到多年后有了更好的测量，这个计算才彻底对上。 四行推出开普勒定律 几十年前，开普勒从天文数据中发现：行星周期的平方与轨道大小的立方成正比。没人知道为什么。有了万有引力和第二定律，解释只需几行（至少对圆轨道是这样）。 引力就是使物体保持在弯曲轨道上的力： $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}.$$绕一圈的长度是 $2\pi r$，所以周期 $T=\dfrac{2\pi r}{v}$。两边平方并代入 $v^2$： $$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$这就是开普勒第三定律。对于椭圆轨道，计算更长，牛顿在《原理》中完成了它，并证明在平方反比力作用下的轨道是椭圆——正是他 1684 年给哈雷的回答。 相对于初始半径的倍数： 比较绕同一中心质量运行的圆轨道半径。轨道越大越慢：周期随 r 的 3/2 次方增长。 请启用 JavaScript 以使用控件。论证和数值例子都在正文中。

October 11, 2026 阅读
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历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图；较大的图片缩小到 1 200 像素宽，未作其他编辑。 1921 年的爱因斯坦像，可能出自 Herman Mishkin，诺贝尔基金会使用：原始页面 · 公有领域。 1904 年前后在伯尔尼的爱因斯坦，Lucien Chavan 摄：原始页面 · 公有领域。 爱因斯坦在国家博物馆，里约热内卢，1925 年 5 月 7 日，作者不详：原始页面 · 公有领域。 爱因斯坦在里约热内卢植物园，1925 年 5 月，作者不详：原始页面 · 公有领域。 索布拉尔考察队的仪器，1919 年，Charles Davidson 摄：原始页面 · 公有领域。 1919 年日食底片，出自戴森、爱丁顿和戴维森的报告：原始页面 · 公有领域。 本站绘图 封面、光钟示意图和 2 000 步的随机游走图都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。光钟示意图是根据本站旧的相对论课程中的一幅图重新绘制的，宇航员和宇宙射线粒子的例子也来自那门课程。随机游走图由计算机以随机方向生成。 记录 文件 data/einstein_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 阿尔伯特·爱因斯坦的全部主题 · ← 阿尔伯特·爱因斯坦的遗产

October 14, 2026 阅读
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詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的遗产

这种对实在的观念的改变，是自牛顿时代以来物理学所经历的最深刻、最富有成果的改变。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，在麦克斯韦百年诞辰（1931） 麦克斯韦 48 岁去世，大众对他知之甚少。在他生前，除了一小群英国物理学家之外，几乎没有人接受他的场论。今天，任何一个用手机的人每秒都要依赖它几十次。 携带信息的波 麦克斯韦方程组预言了任何频率的电磁波。1887 年赫兹之后，接踵而来的是马可尼的无线电报、广播、雷达、电视、卫星、手机、无线网络、GPS 和微波炉。设计天线、芯片或光纤的工程师，都在以这样或那样的形式求解麦克斯韦方程组。 不取决于任何人的速度 方程组给出了光速 $c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$，却没有说是相对于什么的。对牛顿物理学来说这是个问题：速度总是取决于由谁来测量。十九世纪末的物理学家们假设存在一种静止的以太，但 1887 年迈克耳孙和莫雷的实验没有发现以太。1905 年，爱因斯坦 用最激进的方式解决了这个问题：光速对所有人都相同，变的是时间和空间。相对论正是从认真对待麦克斯韦方程组中诞生的。 概率的物理学 1860 年的速度分布是 统计力学 的开端。奥地利人路德维希·玻尔兹曼推广了它，并证明熵——那个总在增加的量——衡量的是分子排列方式的数目。麦克斯韦妖引发了一个世纪的争论，最终把热力学与信息论和计算联系了起来。 第一篇控制论论文 1868 年，麦克斯韦发表了一篇短文《论调速器》，讨论控制蒸汽机速度的离心调速器。他展示了如何通过一个多项式的根的计算，来判断调速器会使机器稳定，还是使它越振越厉害。这被认为是 控制论 的第一篇数学著作，自动驾驶仪、恒温器和机器人背后都是这门学科。 矢量与物理学的语言 与泰特关于四元数的争论、curl 和 convergence 这两个词，以及亥维赛和吉布斯的改写，使 矢量 成为物理学和工程学的语言。微积分课程中学到的点积、叉积、散度和旋度，都是为了写出麦克斯韦方程组而诞生的。 留下了什么 电磁学。 四个方程、位移电流，以及光是电磁波。 统计物理。 速度分布、气体的黏度和麦克斯韦妖。 光学与颜色。 三色理论、麦克斯韦三角形和第一张彩色照片。 天文学。 土星环的结构。 工程。 控制论和结构分析：麦克斯韦-克雷莫纳图至今仍用于计算桁架。 实验室。 卡文迪许实验室，电子、中子和 DNA 结构都是在那里发现的。 单位"麦克斯韦" 在旧的 CGS 单位制中，磁通量的单位叫 麦克斯韦。月球上有一个麦克斯韦环形山，金星上有麦克斯韦山脉，是那颗行星上最高的山，夏威夷还有一台詹姆斯·克拉克·麦克斯韦望远镜。2008 年，爱丁堡在乔治街为麦克斯韦和小狗托比的雕像揭幕，离他出生的房子不远。 要点回顾 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦生于 1831 年，卒于 1879 年：爱丁堡、剑桥、阿伯丁、伦敦，再回到剑桥。 三个数就足以描述一种感知到的颜色；麦克斯韦用三张分别透过红、绿、蓝滤镜的照片，做出了第一张彩色照片。 土星环不可能是固体：里面的部分必须比外面的部分运动得快，$v=\sqrt{GM/r}$。 气体分子的速度服从麦克斯韦分布；27 °C 的空气，峰值约为 420 m/s。 四个方程描述了一切电磁现象。位移电流这一项保证了电荷守恒。 从方程组中推出一种速度为 $\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx300\,000$ km/s 的波：光。 来源： 麦克斯韦传记，MacTutor · Basil Mahon，The Man Who Changed Everything（Wiley，2003）· James Clerk Maxwell，“On governors”，Proceedings of the Royal Society 16（1868）。

October 14, 2026 阅读
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帕斯卡原理：用水放大力

一头大象和一位穿高跟鞋的女士：谁会在松软的泥地上陷得更深？可能是那位女士。大象比她重五十倍，但它的重量分散在四只宽大的脚掌上；而她的重量集中在细细的鞋跟尖上。 让地面下陷的不是力，而是压强：力除以它所作用的面积。 $$p=\frac FA.$$压强的单位是帕斯卡：$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$，即一牛顿的力分布在一平方米上。这是很小的压强；在海平面，大气压强大约是 $100\,000$ Pa。 关于液体的论著 大约在 1653 年，帕斯卡写成了《论液体的平衡》，这本书在他去世后的 1663 年才出版。书中有一条我们今天称为帕斯卡原理的规律： 在密闭容器内静止的液体中，任一点所增加的压强，会等值地传递到液体的各个部分和容器壁上。 在中间捏一管牙膏，牙膏会从管口挤出来：你手指的压强传到了那里。把一个气球灌满水，在几个地方扎上小孔再一挤：水会从每一个孔向各个方向喷出来。 被撑破的木桶 据说帕斯卡做过一个著名的演示。他拿来一个装满水、封得很严的木桶，在桶盖上插了一根又细又高、约 10 米长的管子。他登上阳台，往管子里倒水。只倒了一升多一点，木桶就破裂了。 我们不知道这一幕是否完全如此发生，但计算表明它是可能的。高度为 $h$ 的液柱底部的压强是 $$p=\rho gh,$$其中 $\rho$ 是液体的密度，$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$。对于 10 米高的水柱，$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$， $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$起作用的是水柱的高度，而不是水的多少。如果管子的横截面是 $1\ \text{cm}^2$，10 米高的水只有 $1$ 升。但这 $98\,000$ Pa 会传到整个桶盖上。如果桶盖的面积是 $0.2\ \text{m}^2$，它受到的力就是 $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$相当于两吨重的物体。细管里的一升水推着桶盖，就像有一辆汽车压在上面。 水压机 帕斯卡意识到，他可以利用这条原理来放大力。设想两个装满水的圆筒，底部相连，各用一个活塞封住，一个细，一个粗。用力 $F_1$ 推细活塞，压强增加 $F_1/A_1$，同样的增量传到粗活塞上： $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 一个人推动小活塞，就能抵得上一百个人推动大一百倍的活塞的力量。 — 布莱兹·帕斯卡，《论液体的平衡》 如果小活塞的面积是 $2\ \text{cm}^2$，大活塞是 $8\ \text{cm}^2$，比值就是 $4$。在小活塞上施加 $50$ N 的力，大活塞上就得到 $200$ N。抬起汽车的液压千斤顶、用一只脚的力就能让汽车停下的刹车，还有挖掘机，都是这样工作的。 小活塞上的力（N）： 面积之比 A₂/A₁： 理想模型：两个活塞高度相同，小活塞面积 2 cm²，流体不可压缩。 改变力的大小和两个面积之比。大活塞上的力变大了，但它移动的距离按同样的比例变小。 请启用 JavaScript 以使用控件。正文中也算出了这些例子。

October 11, 2026 阅读
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光与颜色：棱镜并不制造彩虹

在牛顿的时代，人们已经知道阳光穿过玻璃棱镜会形成一条彩色光带。公认的解释来自亚里士多德和笛卡儿：白光是纯净的，玻璃改变了它，使它逐渐变暗。改变少就是红色，改变多就是蓝色和紫色。 牛顿对此表示怀疑。会不会颜色本来就在白光里，棱镜只是把它们分开了？ 暗室 1666 年，牛顿把一个房间弄暗，在窗板上开一个小孔，让一束细细的阳光射进来。他在光路上放了一块棱镜。对面墙上出现了一条从红到紫的彩色光带。 第一个意外是它的形状。小孔是圆的，按照“改变”理论，应当出现一个圆形彩斑。但光带的长度是宽度的五倍。在牛顿看来，这说明每种颜色偏折的角度不同：紫色偏折最多，红色最少。 判决性实验 这还不能证明什么。也许棱镜一直在“制造”颜色。于是牛顿做了他所说的 experimentum crucis，即判决性实验。 他在一块挡板上开孔，只让光带中的一种颜色（比如红色）通过，再让这束光穿过第二块棱镜。如果玻璃会制造颜色，第二块棱镜应当把红光变成一道新的彩虹。结果没有。红光出来仍是红光，只是被偏折了，而且偏折角总是相同。蓝光也一样，只是偏折得更多。 结论：每种颜色都是白光的一个成分，有自己特定的折射程度。棱镜不制造颜色，只是把它们分开。为了让论证完整，牛顿又用透镜和第二块棱镜把各种颜色重新汇聚，再次得到了白光。 教学示意图：棱镜把白光中原本就有的颜色分开。线条表示不同颜色的路径，未按比例绘制。本博客原创插图。 危险的实验 牛顿拿自己的身体做视觉实验。他在笔记中描述，曾把一根粗针插进眼球和眼眶骨之间，按压眼底，观察出现的彩色光圈。还有一次，他通过镜子盯着太阳看了太久，不得不在黑暗中关了好几天，视力才恢复。千万不要模仿。 用数字描述折射 今天我们用斯涅尔定律描述折射，它在牛顿之前就已被发现（伊本·萨尔、斯涅尔和笛卡儿各自独立得到）： $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$角度从垂直于表面的法线量起，$n$ 是各介质的折射率。用今天的话说，牛顿的发现是：玻璃的折射率取决于颜色。普通玻璃对红光约为 $1.51$，对紫光约为 $1.53$。差别很小，却足以把颜色展开成扇形。 例如，一束光以 $\theta_1=45°$ 从空气（$n_1=1$）射入玻璃：对红光，$\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.51}\approx0.468$，得 $\theta_2\approx27.9°$；对紫光，$\sin\theta_2=\dfrac{0.707}{1.53}\approx0.462$，即 $\theta_2\approx27.5°$。仅在棱镜的第一个面上就相差半度。 为什么是七种颜色？ 光谱是连续的，颜色之间并没有天然的边界。牛顿起初数出五种，后来加上橙色和靛色凑成七种，因为他想和音阶的七个音对应。这就是为什么人们至今仍说彩虹有七种颜色。 反射望远镜 牛顿 1668 年第一架反射望远镜的复制品，1924 年为伦敦科学博物馆制作。Science Museum Group · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 这个发现带来了实际后果。当时的望远镜使用透镜，而透镜和棱镜一样，对每种颜色的偏折都不同。星星看起来边缘带色、模糊不清。牛顿断定，用简单透镜无法解决这个问题，于是用一面对所有颜色反射都相同的曲面镜取代了主透镜。 1668 年，他亲手磨制金属镜面，造出了第一架实用的反射望远镜，长约 15 厘米。正是这台仪器在 1671 年展示给皇家学会后，使他声名鹊起。今天的大型望远镜，包括詹姆斯·韦布太空望远镜，都是反射式的。 1672 年，牛顿发表了颜色理论。罗伯特·胡克对此提出批评，争执让人极不愉快，以至于牛顿直到 1704 年，也就是胡克去世一年后，才出版完整的著作《光学》。 练习：如果光在两种介质中的速度相同，光线会改变方向吗？不会。速度相同意味着折射率相同，$n_1=n_2$，斯涅尔定律给出 $\sin\theta_1=\sin\theta_2$。光线沿直线前进。 资料来源： 牛顿的光学工作，牛顿项目 · 1672 年关于光与颜色的信。

October 11, 2026 阅读
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历史图片与照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 麦克斯韦像，G. J. Stodart 所刻版画，1890 年：原始页面 · 公有领域。 格子呢丝带，第一张彩色照片，麦克斯韦与托马斯·萨顿，1861 年：原始页面 · 公有领域。 从上方看土星，卡西尼号，2013 年：NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute，原始页面 · 公有领域。 迈克尔·法拉第，1850 年代照片，作者不详：原始页面 · 公有领域。 《电磁通论》扉页，牛津，1873 年：原始页面 · 公有领域。 麦克斯韦与小狗托比的雕像，爱丁堡，Зеленый кабинет 摄：原始页面 · CC BY-SA 2.0。 本站绘图 封面、波形图和氮气的麦克斯韦分布图都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。分布图是用分布的精确公式计算绘制的。方程组一文中关于四元数和矢量的讨论，采用了本站旧矢量课程中的一些段落。 记录 文件 data/maxwell_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的全部主题 · ← 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的遗产

October 14, 2026 阅读
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空气的重量：多姆山实验

两千年来，学者们一直重复着亚里士多德的一句话：自然厌恶真空。你用吸管吸走空气，液体就会上升，因为自然不允许那里空着。这似乎能解释一切。 可是佛罗伦萨的掘井工人遇到了一个难题：不管怎么努力，抽水泵都无法把水抽到大约 10 米以上。为什么自然对真空的厌恶偏偏止步于 10 米？ 托里拆利的管子 1643 年，伽利略的学生、意大利人埃万杰利斯塔·托里拆利，把一根一端封闭、长一米的玻璃管灌满水银。他用手指堵住另一端，把管子倒过来插进一盆水银里，然后松开手指。水银往下降，停在大约 76 厘米的高度，在管子顶部留下一段空的空间。 托里拆利的解释很大胆：撑住水银柱的不是对真空的厌恶，而是压在水银盆表面上的空气的重量。他写道，我们生活在一片空气海洋的底部。水银的密度大约是水的 13.6 倍，而 $76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m：正是佛罗伦萨抽水泵的极限。 帕斯卡把实验搬上高处 帕斯卡在 1646 年听说了这个实验，并在鲁昂用装满水和葡萄酒的巨大玻璃管重复了它。但他想要一个决定性的检验。他的推理是：如果撑住水银的是空气的重量，那么在山顶上，上方的空气更少，水银柱就一定更低。如果原因是对真空的厌恶，海拔就不会有任何影响。 帕斯卡住在巴黎，身体又不好。1647 年 11 月，他写信给住在克莱蒙的姐夫弗洛林·佩里耶。克莱蒙就在多姆山脚下，那是一座高近 1500 米的死火山。 1648 年 9 月 19 日 佩里耶和克莱蒙的一群神父和名人一起登山，好让他们作见证。他们带了两根管子和水银。这个实验里有一个很现代的想法：登山之前，他们先在城里地势最低的米尼姆修道院的花园里装好两根管子，确认两者的高度相同。一根管子留在那里，由一位神父——沙斯坦神父——负责整天看守。另一根带上了山。 多姆山顶纪念 1648 年实验的标志石，摄于 1923 年帕斯卡诞辰三百周年之际。Agence Rol，1923 年 · 法国国家图书馆 · Wikimedia Commons · 公有领域 用当时的单位，测量结果是： 地点 水银柱高度 克莱蒙的米尼姆修道院花园 26 法寸 3½ 法分 多姆山顶，约高出 500 突阿斯 23 法寸 2 法分 一法寸大约是 $27.07$ 毫米，一法分是一法寸的 $\frac1{12}$。换算一下：

October 11, 2026 阅读
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牛顿的遗产

牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运的：宇宙只有一个，而发现它的机会也只有一次。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，据同时代人记述 微积分之争 牛顿在 1665–1666 年创立了流数法，但没有发表。莱布尼茨在 1675 年独立地得到了微积分，并于 1684 年发表。最初几年里，没有人争执。1676 年，两人甚至通过亨利·奥尔登堡友好地通信，牛顿还把自己的想法藏在一个字谜里。 大约 1700 年，气氛开始恶化。牛顿的追随者暗示莱布尼茨抄袭了他在伦敦见过的手稿。莱布尼茨向皇家学会申诉，请求公正调查。皇家学会任命了一个委员会，并于 1712 年发表报告，裁定牛顿胜诉。 当时很少有人知道：皇家学会会长正是牛顿本人，报告也是他亲手写的。之后，他还匿名发表了一篇赞扬这份报告的书评。 今天的历史学家一致认为，两人是各自独立发明微积分的。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，并创造了最终胜出的记号。这场争执代价高昂：出于民族自尊，英国数学家一百多年里坚守牛顿的小点记号，而欧洲大陆则借助莱布尼茨的 $dx$，在伯努利家族和欧拉手中突飞猛进。直到 1812 年，一群剑桥学生成立了分析学会，才把莱布尼茨的记号重新带回英国。 在莱布尼茨专题中可以看到这个故事的另一面。 牛顿力学的边界 两百多年里，牛顿定律似乎处处成立。20 世纪初，两大理论揭示了它的界限： 相对论。 在接近光速时，时间和空间不再像牛顿所设想的那样是绝对的。在相对论中，运动时钟测得的时间间隔 $t'$，对于静止的观察者对应更长的时间间隔： $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$当速度 $v$ 远小于光速 $c$ 时，根号几乎等于 1，我们回到了牛顿的世界：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。而当 $v\to c$ 时，差别无限增大。 量子力学。 对于原子和粒子，明确的运动轨迹不再有意义。 这并不意味着牛顿在日常生活中是错的。对于桥梁、汽车、飞机和火箭，他的力学精确到至今仍是首选工具。相对论没有抹去牛顿，而是指明了他适用的范围。 纪念 “他的才智超越了全人类” 剑桥三一学院的礼拜堂里有一尊牛顿手持棱镜的大理石雕像，由路易-弗朗索瓦·鲁比利亚克于 1755 年创作。底座上刻着罗马诗人卢克莱修的一句话：Qui genus humanum ingenio superavit，“他的才智超越了全人类”。曾在那里求学的诗人华兹华斯形容这尊雕像是“一颗心灵的大理石标志，它永远独自航行在思想的奇异海洋之中”。 牛顿安葬在威斯敏斯特教堂，与历代君王为邻。他的墓碑上刻着手持棱镜、反射望远镜和新铸钱币的小天使，还有一个标出 1680 年彗星轨迹的天球。 要点回顾 按当时英国的历法，牛顿生于 1642 年；按我们的历法，生于 1643 年。 22 岁时，因瘟疫隔离在家，他创立了二项式级数、流数法和颜色理论。 二项式 $(1+x)^\alpha$ 对任意指数成立，只要 $|x|<1$。 流数 $\dot x$ 度量变化率；面积是它的逆运算。 牛顿法沿着切线逼近方程的根：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。 《原理》（1687）包含三大运动定律和万有引力定律。 月球检验表明地球引力随距离的平方减弱。 棱镜分开的是白光中本来就有的颜色，而不是制造颜色。 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。 资料来源： 手稿导读，牛顿项目 · MacTutor 传记。

October 11, 2026 阅读
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帕斯卡的遗产

心灵有其理由，而理性对此一无所知。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》 帕斯卡留下的完整著作很少。他写的数学几乎都是以单页、书信的形式，或者在他去世后才发表的。尽管如此，很少有哪位作者会出现在这么多不同的地方：学校里的三角形、天气预报、汽车的刹车、保险的计算，甚至一种编程语言的名字。 赌注 《思想录》中最著名的一段与几何无关，但它用到了帕斯卡刚刚和费马一起发明的数学：这就是帕斯卡的赌注。它并不试图证明上帝存在。帕斯卡说理性无法裁决这个问题，于是问押哪一边更划算，并像计算期望值那样，按机会权衡得失。只要信仰一方的收益是无穷大，任何正的概率就都足够了。这个论证、它的三种形式以及狄德罗和伏尔泰的反驳，见帕斯卡的赌注。它被认为是决策论——在不确定性下做选择的数学——的第一篇文字。 我没有时间把它写短 在第 16 封《致外省人信札》的结尾，帕斯卡向读者致歉：“这封信之所以写得这么长，只是因为我没有时间把它写短。” 直到今天，凡是需要在匆忙中写好文章的人，还常常引用这句话。 给费马的最后一封信 1660 年，费马提议两人见一面，各走图卢兹和克莱蒙之间路程的一半。帕斯卡因病婉拒了，他的回信显示了他晚年如何看待数学： 坦白地说，我认为几何是心智最高的锻炼；但同时我又知道它是如此无用，以至于我认为一个只是几何学家的人和一个熟练的工匠没有多大区别。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1660 年 8 月 10 日） 两人终生未曾谋面。 留下了什么 概率论。 1654 年的通信启发了惠更斯，他在 1657 年出版了这一主题的第一本书。随后有雅各布·伯努利、棣莫弗和拉普拉斯。保险、彩票、统计学和数据科学都源自那些信。 组合数学与归纳法。 《算术三角形论》整理了组合问题，并第一次清楚地表述了数学归纳法。 射影几何。 神秘六边形成为射影几何的奠基定理之一，19 世纪又被彭赛列和布里昂雄重新发扬。 微积分。 莱布尼茨说，正是在读帕斯卡关于四分之一圆的著作时，他想到了特征三角形，这是通向微积分的一步。 物理学。 真空实验和多姆山实验终结了“自然厌恶真空”的说法，催生了气压计和高度计。帕斯卡原理存在于每一个液压系统中。 计算。 帕斯卡计算器是第一台被制造和出售的计算机器。 留下来的名字 1971 年，国际单位制的压强单位被命名为帕斯卡（Pa）。天气预报说“1013 百帕”时，指的就是 $101\,300$ Pa，也就是帕斯卡让姐夫去测量的海平面气压。 1970 年，瑞士计算机科学家尼克劳斯·维尔特设计了一种用来清晰地教授编程的语言，并为了纪念帕斯卡计算器的发明者，把它命名为 Pascal。好几代学生都是用它学会编程的。 会思想的芦苇 这条路线开头的那句话还有下文：“用不着整个宇宙都武装起来才能毁灭他；一口气、一滴水就足以致他死命。然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西高贵得多，因为他知道自己要死亡。” 写下这段话的人，从 18 岁起就知道自己活不长。 要点回顾 帕斯卡生于 1623 年，卒于 1662 年。16 岁时发表六边形定理；19 岁时开始制造帕斯卡计算器。 在算术三角形中，每个数都是它上方两个数之和，第 $n$ 行的和是 $2^n$，这些数就是组合数 $\binom nk$。 在帕斯卡之前，印度、波斯、中国和欧洲都已经知道这个三角形；他对它做了深入的研究。 1654 年，帕斯卡和费马一起创立了概率论和期望值的概念。 一道摆线拱下的面积是 $3\pi r^2$，等于轮子面积的三倍。 在静止的液体中，压强的增量会等值地传递到各点；水压机放大了力，但没有放大功。 在多姆山顶，水银柱下降了 8.5 厘米：空气是有重量的。 练习：一张抽奖券 5 雷亚尔，有 1/25 的机会赢 100 雷亚尔。按期望值算，值得买吗？期望收益是 $100\cdot\frac{1}{25}=4$ 雷亚尔。奖券要 5 雷亚尔，所以每张的期望值是 $4-5=-1$ 雷亚尔。平均每买一张亏 1 雷亚尔。

October 11, 2026 阅读
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帕斯卡图片来源

历史图片 全部来自 Wikimedia Commons。我们使用 Commons 提供的缩略图，未作编辑。 布莱兹·帕斯卡肖像，作者不详，约 1690 年，凡尔赛宫：来源页面 · 公有领域。 杨辉三角，见朱世杰 1303 年的著作：来源页面 · 公有领域。 《算术三角形》（Triangulus arithmeticus）第一页，克莱蒙奥弗涅大都会收藏本：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 巴黎工艺博物馆的帕斯卡计算器，David Monniaux 摄于 2005 年：来源页面 · CC BY-SA 3.0。 多姆山实验纪念标志，Agence Rol，1923 年，法国国家图书馆：来源页面 · 公有领域。 圣艾蒂安杜蒙教堂的墓地铭牌，Agence Meurisse，1923 年，法国国家图书馆：来源页面 · 公有领域。 《思想录》手稿，法国国家图书馆展览，ActuaLitté 摄，2016 年：来源页面 · CC BY-SA 2.0。 《思想录》第一页，1670 年版的仿冒本，克莱蒙奥弗涅大都会藏本：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客插图 封面、碗的喷泉、进位示意图和摆线拱都是原创插图。三角形、赌注分配和水压机的控件是为这条路线制作的。它们是教学辅助工具，不是手稿的复制，也不是帕斯卡计算器内部机构的复原。 记录 文件 data/pascal_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章的末尾。 帕斯卡的全部主题 · ← 帕斯卡的遗产

October 11, 2026 阅读