数学史 | Euler's Eyes

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历史图片全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。约瑟夫-路易·拉格朗日肖像，作者不详的版画：来源页面 · 公有领域。拉格朗日侧面圆章，皮埃尔-让·大卫·德昂热的青铜作品，昂热博物馆藏：来源页面 · CC0。《分析力学》（Méchanique analitique）扉页，巴黎，1788 年：来源页面 · 公有领域。都灵的拉格朗日雕像，Twice25 摄，2009 年：来源页面 · CC BY-SA 3.0。本站图示封面、五个拉格朗日点的示意图，以及等面积曲线与约束直线的图都是原创插图，并为本站的每种语言制作了相应版本。拉格朗日点示意图未按比例绘制：实际上，L1 和 L2 离地球的距离只有太阳离地球距离的百分之一。记录文件 data/lagrange_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。拉格朗日的全部主题 · ← 拉格朗日的遗产

October 14, 2026 阅读

帕斯卡的赌注：是一笔计算，不是一个证明

许多人听说过帕斯卡“证明了上帝存在”。他并没有这样做，而且明明白白地说过这是做不到的。他提出的东西更耐人寻味：既然理性无法裁决这个问题，那就换一个问题。不问“上帝存在吗？”，而问“押哪一边更划算？”。然后用他刚刚和费马一起发明的数学——公平分配赌注的数学——来回答这第二个问题。一张写满涂改的纸《思想录》的手稿纸页，帕斯卡去世后被粘贴在一本大册子里，摄于 2016 年法国国家图书馆的展览。帕斯卡在碎纸片上写作，朝着不同方向书写，还涂改了很多。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晚年的帕斯卡为一本捍卫基督教的书收集笔记，但这本书始终没有写成。1662 年他去世后，朋友们找到了几百个片段，有些是用剪刀剪下来、再用线串起来的，并在 1670 年以《思想录》为题出版了其中的一部分。关于赌注的那个片段是一张对折的纸，两面都写满了字，页边和倒过来的方向上还有补充。编者用它开头的几个词来称呼它：“无限，虚无”。这是帕斯卡和一位不信者之间的对话，这位对话者或许是以他在巴黎社交生活中结识的赌徒为原型的，比如德·梅雷骑士。理性无法裁决出发点是承认无能为力：上帝存在，或者不存在。可是我们倒向哪一边呢？理性在这里什么也决定不了。有一片无限的混沌把我们隔开。在这无限距离的尽头，正进行着一场游戏，结果将是正面或反面。你押什么？ — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 对话者回答说，正确的做法是什么也不押。帕斯卡拒绝了这条退路：是的，但必须下注。这并不由你选择：你已经上了船。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 像信者那样生活，或像不信者那样生活，本身就已经是一种选择。不选择，就等于选择了后者。四格表今天，人们把这个赌注写成一张表。有两种选择和两种世界状态：上帝存在上帝不存在信无穷的收益：“无限幸福的无限生命” 损失很小：一些享乐不信失去一切得到很少：同样那些享乐帕斯卡分三步走遍这张表，每一步都比前一步更有力。哲学家伊恩·哈金在 1972 年的一篇文章中指出，这是三个不同的论证，而第三个是一笔期望值的计算。第一步：占优。“如果你赢了，你赢得一切；如果你输了，你一无所失。那就毫不犹豫地押他存在吧。”如果“信”在每一列都更好或一样好，那就根本不需要计算。 **第二步：机会均等时的计算。**对话者反驳说，他还是会失去一些东西。帕斯卡承认这一点，并像掷骰子那样算账：在输赢机会均等时，押一条命去赢两条命是值得的；押一条命去赢三条命而不押，就是愚蠢。 **第三步：无穷。**如果机会并不均等呢？帕斯卡回答说，这无关紧要：这里有无限幸福的无限生命可以赢得，一个赢的机会对有限个输的机会，而你押上的是有限的。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 计算设 $p$ 是你认为上帝存在的概率，无论多小，但大于零。设 $c$ 是信仰生活的代价，是一个有限的数，$G$ 是上帝存在时的收益。信的期望值是 $$E(\text{信})=p\cdot G-(1-p)\cdot c.$$如果 $G$ 有限，结果可以是任何值：它取决于 $p$、$G$ 和 $c$。但帕斯卡令 $G=\infty$。于是，对任何 $p>0$， $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty,$$任何有限的选项都无法与之竞争。这和分配赌注是同一个思想：每个赌注的价值等于奖金乘以机会。不同的是，现在奖金是无穷大。一本仿冒本中《思想录》的第一页，这是照 1670 年版翻印的盗版。第一章题为“驳无神论者的漠不关心”。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 这不是证明请注意这笔计算没有说什么。它丝毫没有提高概率 $p$。一个原来认为上帝存在的机会是千分之一的人，在赌注之后仍然认为是千分之一。这个论证关乎该怎么做，而不关乎什么是真的。

October 11, 2026 阅读

费马的遗产

数论之父 1670 年版丢番图《算术》的扉页，在图卢兹印制，标明“附 P. 德·费马的评注”。费马去世五年后由儿子出版的这本书，把页边注记传到了欧拉手中。贝尔纳·博斯克，图卢兹（1670） · Wikimedia Commons · 公有领域在费马之前，关于整数的问题被看作谜题，是丢番图式的智力游戏。费马把它们变成了一个数学领域，有深刻的问题和自己的方法。将近一个世纪里，几乎没有人跟上他。直到 1730 年起，欧拉读了费马的批注，证明了其中很多，才使数论成为数学的核心分支。随后又有拉格朗日、勒让德和高斯。其他发现完整的清单会很长。几个亮点：两平方和定理：一个奇质数能表示为两个平方数之和，当且仅当它除以 4 余 1。例如 $13=4+9$，$29=4+25$，而 $7$ 和 $11$ 不行。费马在 1640 年宣布，欧拉在 1749 年证明。佩尔方程：费马用来挑战英国人的方程 $x^2-Ny^2=1$，当 $N$ 不是平方数时总有无穷多个解。多边形数：每个正整数都能表示为至多三个三角形数之和、四个平方数之和、五个五边形数之和，依此类推。拉格朗日在 1770 年证明了平方数的情形，高斯在 1796 年证明了三角形数的情形。曲线求长：费马计算了一些曲线弧的长度，这是另一个为微积分铺路的问题。通向微积分之路费马的解析几何使曲线能写成方程。他的极值方法用一种本质上就是导数的计算来求切线和极值。他还计算了 $y=x^n$ 型曲线下的面积。所缺的只是认识到切线与面积是互逆运算——这一步将由牛顿和莱布尼茨迈出。在物理学中，最短时间原理解释了学校里学到的反射和折射，并开辟了现代物理中最优化原理的道路。错误的猜想同样有教益费马错误地认为所有形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是质数。即便如此，这个问题引导欧拉发展出新的技巧，又意外地出现在高斯的正十七边形中。在数学中，一个好问题价值连城，即使答案与直觉相反。而大定理，无论费马是否真有那个“绝妙”的证明，都迫使数学家创立了整套理论来解决它。怀尔斯的证明把两个看似遥远的领域联系在一起，这些工具如今的用途已远远超出了原来的问题。要点回顾费马的出生地博蒙德洛马涅的费马纪念像，雕塑家亚历山大·法尔吉耶尔的作品。Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 费马是图卢兹的法官，研究数学纯属爱好；生前几乎什么也没发表。他的出生年份有 1601 年和 1607 年两种说法，因为他有一个同名的同父异母哥哥。他独立于笛卡儿创立了解析几何。他的“近似相等”法在牛顿和莱布尼茨的微积分之前就能求极大值和极小值。小定理说：当质数 $p$ 不整除 $a$ 时，$a^{p-1}\equiv1\pmod p$。他猜想所有 $2^{2^n}+1$ 都是质数；欧拉证明了 $F_5$ 是 641 的倍数。 1654 年，他与帕斯卡通过点数问题创立了概率论。最短时间原理解释了折射定律。无穷递降法证明某些方程没有整数解。大定理等待了 358 年，于 1995 年由安德鲁·怀尔斯证明。资料来源：费马的生平与贡献，MacTutor。

October 11, 2026 阅读

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历史肖像克里斯托夫·伯恩哈德·弗朗克约 1695 年所绘的莱布尼茨肖像来自维基共享资源，属于公有领域。我们使用维基共享资源提供的 960 像素缩略图，未作编辑。来源页面。公有领域标记。博客图形封面和乘法 $23\times14$ 的示意图为原创插图。示意图解释的是计算，并不复制那台历史机器的机构。八个二进制位、乘积法则各项以及 π 级数部分和的交互图形是为本专题制作的。即使没有 JavaScript，读者也可以借助正文中的例子跟上计算。记录文件 data/leibniz_imagens.json 记录了肖像的来源、许可、核查日期和 SHA-256 哈希值。每个主题的历史资料列在各篇文章末尾。新增的历史图片这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/leibniz_imagens.json 中。莱布尼茨论文中的二进制表（1703）: 莱布尼茨（1703） · Wikimedia Commons · 公有领域白晋寄来的《易经》卦图（1701）: 白晋与莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域德累斯顿的莱布尼茨计算机: Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 《求极大极小的新方法》第一页（1684）: 莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域莱布尼茨的全部主题 · ← 莱布尼茨的遗产

October 11, 2026 阅读

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历史图片两张历史图片均来自维基共享资源，属于公有领域。我们使用维基共享资源提供的缩略图，未作编辑。艾萨克·牛顿肖像，戈弗雷·内勒，1689 年：来源页面 · 公有领域。《原理》扉页，1687 年：来源页面 · 公有领域。博客图形封面和棱镜示意图为原创插图。割线、√2 的逼近和轨道的交互图形是为本专题制作的。它们是教学辅助工具，并非手稿的复制品，也不是对牛顿实验的模拟。记录文件 data/newton_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核查日期和 SHA-256 哈希值。每个主题的历史资料列在各篇文章末尾。新增的历史图片这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/newton_imagens.json 中。伍尔索普庄园: DeFacto · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 伍尔索普的苹果树: David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 1668 年反射望远镜的复制品: Science Museum Group · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 《流数法》扉页（1736）: 牛顿著，约翰·科尔森译（1736） · Wikimedia Commons · 公有领域艾萨克·牛顿的全部主题 · ← 牛顿的遗产

October 11, 2026 阅读

方程组：行列式和高斯消元法

为了使用最小二乘法计算轨道，高斯需要求解方程组许多未知数。每个学生都知道的两个名字都来自这个故事：行列式和高斯消除。行列式。采用具有两个方程的系统： $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ 这完全取决于分母中的数字 $ad - bc$：如果它不为零，则系统有一个解决方案。这个数字“决定”了系统。系统、数字 ad - cb 和斜杠符号。欧拉之眼系列两条线的规则：a11·a22 - a21·a22 = 行列式。欧拉之眼系列 Matrix，在拉丁语中，意思是子宫：产生某种东西的地方。欧拉之眼系列这个词首次出现在高斯的Disquisitiones中，在1801中。他称之为决定因素决定二级形式的属性的数字，$ax^2 + 2bxy + cy^2$。在1815中，法国人 Augustin-Louis Cauchy 采用了该术语并给予认可：

October 10, 2026 阅读

笛卡尔和大炮问题

古老雕刻中的大炮和炮兵。欧拉之眼系列笛卡尔近距离经历了战争。在1618，他在拿骚莫里斯的军队中担任志愿者根据他的第一位传记作者阿德里安·巴耶特 (Adrien Baillet) 的说法，他在 1628 围攻拉罗谢尔时，率领由红衣主教黎塞留。在战场上，炮兵们面临着一个实际问题：用什么倾斜大炮的角度来击中一定距离的目标？它是两个数字之间的关系：到目标的距离（炮手“听到”的声音）和枪的角度。（他“说”什么）。伽利略在 1638 中表明，在没有空气阻力的情况下，子弹描述了抛物线，范围$R$取决于角度$\theta$和退出速度$v$： $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 不同的角度，不同的轨迹。欧拉之眼系列当子弹以 100 m/s 的速度离开时：角度 15° 30° 45° 60° 75° 范围 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m 选择角度并拍摄。范围在 45° 处最大，加起来为 90° 的角度落在同一位置。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读

费马数不是素数

皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 相信所有 $2^{2^n} + 1$ 形式的数字都是素数。对于 $n = 0, 1, 2, 3, 4$ 有效：3、5、17、257 和 65 537 是素数。下一个是 $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ 手动测试所有分隔线是不切实际的。在1732中，欧拉证明这个数是可整除的由641。一种优雅的看待方式是使用两种写法 641： $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 处理除以 641 的余数（符号 $\equiv$ 表示“保留相同的余数”）：四步推演（点击进阶）第一种方式，$5 \cdot 2^7 \equiv -1$。求四次方：$5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。第二种方式，$5^4 \equiv -2^4$。将步骤2替换为步骤1：$-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$，即$-2^{32} \equiv 1$。因此$2^{32} + 1 \equiv 0$：该数字是641的倍数。事实上，4294967297=641×6700417。直到今天，还没有其他数字被知晓费马素数超出前五名。

October 10, 2026 阅读

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历史图片与照片全部来自维基共享资源。我们使用共享资源提供的缩略图，除压缩外未作编辑。 16 岁的图灵，护照照片，据信为 Arthur Reginald Chaffin 所摄：来源页面 · 公有领域。 1951 年的图灵，Elliott & Fry 照相馆所摄肖像：来源页面 · 公有领域。国王学院礼拜堂，Martinvl 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。布莱切利园宅邸，DeFacto 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。三转子恩尼格玛，美国国家安全局：来源页面 · 公有领域。重建的炸弹机，Mike Peel 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 Pilot ACE，Philafrenzy 摄：来源页面 · CC BY 2.0。曼彻斯特“宝贝”复制品，Parrot of Doom 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。萨克维尔公园的雕像，David Dixon 摄：来源页面 · CC BY-SA 2.0。巨型河豚的皮肤，Chiswick Chap 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。图灵图案与猎豹，Philip Ball 制图：来源页面 · CC BY 4.0。本站制作的图封面、交互式图灵机和反应–扩散模拟都是为这条路线制作的。模拟使用格雷–斯科特模型，在 200×200 的网格上计算，图中没有文字，因此适用于本站的所有语言。交互式机器在四种语言中都能使用。记录文件 data/turing_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。

October 16, 2026 阅读

帕斯卡的遗产

心灵有其理由，而理性对此一无所知。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》帕斯卡留下的完整著作很少。他写的数学几乎都是以单页、书信的形式，或者在他去世后才发表的。尽管如此，很少有哪位作者会出现在这么多不同的地方：学校里的三角形、天气预报、汽车的刹车、保险的计算，甚至一种编程语言的名字。赌注《思想录》中最著名的一段与几何无关，但它用到了帕斯卡刚刚和费马一起发明的数学：这就是帕斯卡的赌注。它并不试图证明上帝存在。帕斯卡说理性无法裁决这个问题，于是问押哪一边更划算，并像计算期望值那样，按机会权衡得失。只要信仰一方的收益是无穷大，任何正的概率就都足够了。这个论证、它的三种形式以及狄德罗和伏尔泰的反驳，见帕斯卡的赌注。它被认为是决策论——在不确定性下做选择的数学——的第一篇文字。我没有时间把它写短在第 16 封《致外省人信札》的结尾，帕斯卡向读者致歉：“这封信之所以写得这么长，只是因为我没有时间把它写短。” 直到今天，凡是需要在匆忙中写好文章的人，还常常引用这句话。给费马的最后一封信 1660 年，费马提议两人见一面，各走图卢兹和克莱蒙之间路程的一半。帕斯卡因病婉拒了，他的回信显示了他晚年如何看待数学：坦白地说，我认为几何是心智最高的锻炼；但同时我又知道它是如此无用，以至于我认为一个只是几何学家的人和一个熟练的工匠没有多大区别。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1660 年 8 月 10 日）两人终生未曾谋面。留下了什么概率论。 1654 年的通信启发了惠更斯，他在 1657 年出版了这一主题的第一本书。随后有雅各布·伯努利、棣莫弗和拉普拉斯。保险、彩票、统计学和数据科学都源自那些信。组合数学与归纳法。《算术三角形论》整理了组合问题，并第一次清楚地表述了数学归纳法。射影几何。神秘六边形成为射影几何的奠基定理之一，19 世纪又被彭赛列和布里昂雄重新发扬。微积分。莱布尼茨说，正是在读帕斯卡关于四分之一圆的著作时，他想到了特征三角形，这是通向微积分的一步。物理学。真空实验和多姆山实验终结了“自然厌恶真空”的说法，催生了气压计和高度计。帕斯卡原理存在于每一个液压系统中。计算。帕斯卡计算器是第一台被制造和出售的计算机器。留下来的名字 1971 年，国际单位制的压强单位被命名为帕斯卡（Pa）。天气预报说“1013 百帕”时，指的就是 $101\,300$ Pa，也就是帕斯卡让姐夫去测量的海平面气压。 1970 年，瑞士计算机科学家尼克劳斯·维尔特设计了一种用来清晰地教授编程的语言，并为了纪念帕斯卡计算器的发明者，把它命名为 Pascal。好几代学生都是用它学会编程的。会思想的芦苇这条路线开头的那句话还有下文：“用不着整个宇宙都武装起来才能毁灭他；一口气、一滴水就足以致他死命。然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西高贵得多，因为他知道自己要死亡。” 写下这段话的人，从 18 岁起就知道自己活不长。要点回顾帕斯卡生于 1623 年，卒于 1662 年。16 岁时发表六边形定理；19 岁时开始制造帕斯卡计算器。在算术三角形中，每个数都是它上方两个数之和，第 $n$ 行的和是 $2^n$，这些数就是组合数 $\binom nk$。在帕斯卡之前，印度、波斯、中国和欧洲都已经知道这个三角形；他对它做了深入的研究。 1654 年，帕斯卡和费马一起创立了概率论和期望值的概念。一道摆线拱下的面积是 $3\pi r^2$，等于轮子面积的三倍。在静止的液体中，压强的增量会等值地传递到各点；水压机放大了力，但没有放大功。在多姆山顶，水银柱下降了 8.5 厘米：空气是有重量的。练习：一张抽奖券 5 雷亚尔，有 1/25 的机会赢 100 雷亚尔。按期望值算，值得买吗？期望收益是 $100\cdot\frac{1}{25}=4$ 雷亚尔。奖券要 5 雷亚尔，所以每张的期望值是 $4-5=-1$ 雷亚尔。平均每买一张亏 1 雷亚尔。

October 11, 2026 阅读

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历史肖像传为罗朗·勒费弗尔所绘的肖像来自维基共享资源，属于公有领域。我们使用维基共享资源提供的缩略图，未作编辑，图注保留了收藏方给出的作者归属。来源页面。公有领域标记。博客图形封面和折射示意图为原创插图。幂的余数、矩形面积和中断赌局分配的交互图形是为本专题制作的。它们是教学辅助工具，并不复制费马的手稿。例如，赌注分配的图形假设各局独立、双方机会均等。记录文件 data/fermat_imagens.json 记录了肖像的来源、许可、核查日期和 SHA-256 哈希值。每个主题的历史资料列在各篇文章末尾。新增的历史图片这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/fermat_imagens.json 中。丢番图《算术》（1670），第 II.8 题及费马的注记: 丢番图，萨米埃尔·德·费马编（1670） · Wikimedia Commons · 公有领域丢番图《算术》（1670）第 339 页，无穷递降法的证明: 丢番图，萨米埃尔·德·费马编（1670）；Leonid 2 修复 · Wikimedia Commons · 公有领域丢番图《算术》扉页（图卢兹，1670）: 贝尔纳·博斯克，图卢兹（1670） · Wikimedia Commons · 公有领域博蒙德洛马涅的费马纪念像: Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 费马的全部主题 · ← 费马的遗产

October 11, 2026 阅读

高斯求积：两点积分

Quadratura circuli：用多边形近似圆的面积，这个思想导致了积分。欧拉之眼系列 “平方”是计算面积的旧名称。希腊人将圆的面积近似为边数越来越多的多边形，积分微积分诞生了。实际问题是：如何计算曲线下的面积做了很少的数学？最简单的方法是梯形规则：仅查看曲线的两端，$x = -1$ 和 $x = 1$，并且计算梯形的面积。在 1814 中，高斯问道：如果我可以选择去哪里看怎么办？与两个点 $\pm t$ 和权重等于 1，估计为 $$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$ 他希望公式能够完全匹配尽可能多的多项式：寻找高斯点（点击前进）对于 $f(x) = 1$：面积为 2，公式给出 $1 + 1 = 2$。 ✓ 适用于任何 $t$。对于 $f(x) = x$（和 $x^3$）：面积为 0，公式给出 $-t + t = 0$。 ✓ 每次都有效。对于 $f(x) = x^2$：面积为 $\frac{2}{3}$，公式给出 $t^2 + t^2 = 2t^2$。等式：$2t^2 = \frac{2}{3}$，然后是 $t^2 = \frac{1}{3}$ 和 $t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。结果：只需两个点，该规则就准确命中到 3 次的任何多项式。蓝色区域就是准确的区域。比较两个高度为 f(±1/√3) 的高斯矩形和仅查看两端的梯形。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读