公式的语法：括号、顺序与空白
2019 年，一道只有四个数的算式在社交网络上流传，引发了数以百万计的争论：
$$8\div2(2+2)=\;?$$一半人回答 $16$，另一半人回答 $1$。不同品牌的计算器给出不同的答案。数学老师们也意见不一。最有意思的是：双方都有道理，各自依据一种约定。
回答 $16$ 的人从左往右读：$8\div2=4$，$4\cdot(2+2)=16$。回答 $1$ 的人认为，没有符号、“粘”在一起的乘法 $2(2+2)$ 构成一个整体，要先于除法计算：$8\div(2\cdot4)=1$。这两种约定都存在，严肃的书里也都在用。问题不在计算，而在句法：这个表达式的写法没有说清楚符号如何组合。数学家绝不会这样写；他会写成 $\frac{8}{2}(2+2)$ 或 $\frac{8}{2(2+2)}$，争论也就不存在了。
同样的零件，不同的组装 公式不是一串排队的符号，而是一种组装，组装方式本身就是意义的一部分。比较：
$$a+b\cdot c\qquad\text{和}\qquad(a+b)\cdot c.$$零件是一样的：三个字母、一个 $+$、一个 $\cdot$。但按照通常的约定，第一个式子先做乘法；第二个式子里，括号迫使我们先做加法。取 $a=2$、$b=3$、$c=4$：
取 a = 2、b = 3、c = 4，两种组合分别得 14 和 20。为本书绘制的教学示意图。 括号是一种奇特的符号。它既不代表任何量，也不代表任何运算或对象。它只说明其他符号如何结合在一起。在莫里斯的分类中，它是纯粹句法性的。可它却改变了结果。
先乘后加的规则并不是自然法则，而是一种约定，它在十七到十九世纪之间确立下来，那时笛卡儿的代数开始在多项式中省去括号：写 $3x^2+2x+1$ 时，谁也不想写成 $(3\cdot(x^2))+(2\cdot x)+1$。这种约定的存在，是为了让最常见的表达式变短。
隐藏的树 每个表达式都有一个树状结构，读一个公式，归根结底就是重建这棵树。看看 $2(x+3)^2$：
如何组装 2(x + 3)²（点击继续）
从最“里面”的部分开始：$x+3$。 把结果平方：$(x+3)^2$。高高在上的小小指数，作用于整个括号。 乘以 $2$：$2\,(x+3)^2$。粘在左边的 $2$ 最后才起作用。 再和 $2x+3^2$ 比较一下，它的零件几乎一样。这里 $3^2$ 单独计算，$2x$ 是另一根枝杈，最后由加法把两者连起来。当 $x=1$ 时，第一个表达式得 $2\cdot16=32$，第二个得 $2+9=11$。
