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正規曲線、ガウスの鐘

測定誤差がランダムである場合、誤差はどのように分布するのでしょうか? Theoria motus では、ガウスはアイデアから始めました。 平均が最良の推定値であることがわかり、誤差曲線の形状に到達しました。 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ ここで、$\mu$ は平均値、$\sigma$ は標準偏差です。それは正規曲線、 またはガウスベルです。 中程度、対称的で、平均から離れるにつれて低くなります。それは高みからどこにでも現れます。 機械のエラーに人を巻き込む。 ベルが上昇する様子を美しく見るのは、1873 でフランシス ゴルトンが発明したゴルトン マシンです。 ビー玉はグリッドのペグを通って落ち、各ペグで同じように左または右に移動します。 チャンス。ほとんどは中央付近で終わりますが、端まで到達するものはほとんどありません。 ビー玉を落として、ガウスベルが現れるのを見てください。ボールが数個あるだけで、すべてが台無しになります。何百もあると、形が単独で現れます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 正規曲線の場合、68-95-99,7 のルールが適用されます。 値の約 68% は平均値から最大 1 標準偏差です。 約 95% は最大 2 標準偏差離れています。 約 99,7% は最大 3 標準偏差離れています。 その後間もなく、ベルギーのアドルフ・ケトレは正規曲線を使用して人々の身長、体重、 出生数、死亡数、収入はガウスの鐘にほぼ従った。 10 ドイツ マルク紙幣 (1989 ～ 2001): ゲッティンゲンの建物の隣にあるガウス、正規曲線と公式。オイラーの目コレクション 紙幣の鐘 1989から2001まで、10ドイツマルク紙幣にはガウスの顔、公式と曲線の描画が描かれていました 普通の。フランス人のアブラアン・ド・モアブルがすでに 1733 でこの曲線を発見していたことは言及する価値がありますが、それは 彼女を有名にした測定誤差におけるガウスの研究。による投稿も参照してください 統計の概念. すべてのトピックはカール・フリードリッヒ・ガウスによる · ← セレスと最小二乗法 · エグレギウムの定理と曲率→

October 10, 2026 読んだ
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デカルトと関数の考え方

デカルトは「関数」という言葉を決して使いませんでした。しかし、このアイデアを可能にしたのは彼でした。幾何学では、 曲線は単なる図面ではなくなり、$x$ と $y$ という二つの数字の関係になります。 一方が変化すると、ルールに従って他方もそれに伴って変化します。このパートでは、このアイデアがどのように得られたかを説明します 名前、シンボル、グラフィック。 次の 5 つのトピックは、この解釈とその後の関数の考え方の歴史を展開します。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 すべてのトピックはルネ・デカルトによる · ← なぜ42°に虹が現れるのですか · コギトの読み方: 聞くことと話すこと→ 画像のクレジットと出典.

October 10, 2026 読んだ
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$V - A + F = 2$とサッカーボール

1750 では、オイラーは数学者クリスチャン ゴールドバッハへの手紙の中で、 凸多面体の頂点 ($V$)、辺 ($A$)、および面 ($F$): $$V - A + F = 2.$$ 指またはマウスで多面体を回転し、計算を確認します。 V、A、F はプログラムによって図面自体からカウントされます。いずれの場合も 2 となります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 5 つの正多面体を確認してください。 多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$ 四面体 4 6 4 2 キューブ 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 正二十面体 12 30 20 2 この公式を使えば、驚くべきことを推測することができます。 $p$ の五角形と $h$ を縫い合わせたボールを考えてください。 サッカーボールのように各頂点がちょうど 3 つの面の交わる点である六角形。 古典的な。五角形は何個必要ですか? 顔: $F = p + h$。 エッジ: 各五角形には 5 の辺があり、各六角形には 6 の辺があり、各エッジは 2 つで共有されます。 顔。次に$A = \frac{5p + 6h}{2}$。 頂点: 各頂点は 3 つの面によって共有されます。次に$V = \frac{5p + 6h}{3}$。 $V - A + F = 2$ に置き換えて、すべてに 6 を掛けます。

October 10, 2026 読んだ
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ライプニッツの遺産

微積分戦争 ライプニッツは 1684 年と 1686 年に微積分を発表しました。ニュートンは 1665–1666 年に同じ考えに達していましたが、すべてを手稿にしまい込んでいました。15 年間、誰も何も争いませんでした。 1699 年、ニュートンの友人でスイスの数学者ニコラ・ファシオ・ド・デュイリエが、ライプニッツはニュートンを参考にしたと著書でほのめかしました。1708 年、スコットランドのジョン・キールはさらに進んで、ライプニッツを剽窃で告発しました。根拠は、1676 年にロンドンを訪れたライプニッツが、ニュートンの『解析について』の写しを見たというものでした。 王立協会の会員だったライプニッツは、協会に公正な調査を求めました。1712 年、委員会はニュートンが最初の発明者であると結論しました。ライプニッツは自分の言い分を述べる機会を一度も与えられず、しかも報告書は、協会の会長であるニュートン本人がひそかに書いたものでした。 ライプニッツは匿名のパンフレットで応じ、争いを数学の挑戦問題で決着させようとしました。1716 年、問題が未解決のまま彼は亡くなりました。ニュートンはその死を聞いて、自分は「ライプニッツの心を打ち砕いた」と言ったと伝えられています。 今日の歴史家の結論ははっきりしています。二人はそれぞれ独立に微積分を発明しました。ライプニッツの手稿は、ニュートンとは異なる道を通って彼がどのように考えに達したかを一歩ずつ示しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、しかもよりよい記号を使ったのです。 同じ物語をニュートンの側から語ったものは、ニュートンの遺産で読めます。 勝ち残った記号 この争いには思いがけない勝者がいました。記号です。ベルヌーイ家、オイラー、ラグランジュといった大陸の数学者たちはライプニッツの $dx$ と $\int$ を使い、18 世紀に微積分を大きく発展させました。イギリスではニュートンへの忠誠から点の記号が使われ続け、イギリスの数学は遅れました。1812 年、ケンブリッジの学生たちはまさにライプニッツの記号を採用するために解析協会を作り、それを冗談めかして、大学の「点の時代（もうろく時代）」に対抗する「純粋 d 主義」の推進だと言いました。 ライプニッツが数学に残したもの： 記号 $dx$、$\dfrac{dy}{dx}$、$\int$ 数学的な意味での関数と座標という言葉 掛け算の点「$\cdot$」と割り算のコロン「:」 相似の記号 $\sim$ と合同の記号 $\cong$（今日のものに近い形で） 数学を超えて ライプニッツは歴史上偉大な哲学者の一人でもあり、『モナドロジー』と『弁神論』を著しました。物理学では、動く物体の「力」をどう測るかをめぐってデカルトの支持者たちと論争し、彼の「活力」（$mv^2$）は運動エネルギーという考えの祖先です。計算の分野では、二進法と推論を計算するという夢が、20 世紀になってようやく実現する考えを先取りしていました。 サイバネティクスの創始者ノーバート・ウィーナーは、ライプニッツをこの分野の「守護聖人」と呼びました。ドイツでもっとも重要な学術研究賞は、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ賞と呼ばれています。 まとめ ライプニッツは 1646 年から 1716 年まで生き、数学者であると同時に法学者、外交官、図書館長、哲学者だった。 大人になってからパリでホイヘンスに本格的に数学を学んだ。 1675 年に記号 $d$ と $\int$ を作り、1684 年と 1686 年に微積分を発表した。 連鎖律 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ は、記号のおかげで約分のように見える。 積の導関数は $u\,dv+v\,du$ であって、$du\,dv$ ではない。 $\int$ と $d$ は逆の操作である。差を足し合わせると全体が戻ってくる。 二進法の算術を体系化し、1703 年に発表した。 段付き円筒を使って掛け算のできる機械を作った。 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$ を見つけたが、マーダヴァとグレゴリーがすでに知っていた。 ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。 資料： 生涯と業績、MacTutor · ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ図書館のライプニッツ文書。

October 11, 2026 読んだ
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ニュートンの遺産

ニュートンは史上最大の天才であり、もっとも幸運な人でもあった。宇宙は一つしかなく、それを発見できるのは一度きりなのだから。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、同時代人の記録による 微積分戦争 ニュートンは 1665–1666 年に流率法を作りましたが、発表しませんでした。ライプニッツは 1675 年に独立に微積分にたどり着き、1684 年に発表しました。最初の数年間、争いはありませんでした。1676 年には二人はヘンリー・オルデンバーグを通じて友好的な手紙を交わし、ニュートンは自分の考えをアナグラムに隠しました。 1700 年ごろ、空気が変わりました。ニュートンの支持者たちが、ライプニッツはロンドンで見た手稿から考えを写したのだとほのめかし始めたのです。ライプニッツは王立協会に抗議し、公正な調査を求めました。王立協会は委員会を設置し、1712 年にニュートンに有利な報告書を発表しました。 当時ほとんど知られていなかったことがあります。王立協会の会長はニュートン本人で、報告書を書いたのも彼だったのです。その後、彼は報告書を称賛する書評を匿名で発表しました。 今日の歴史家は、二人がそれぞれ独立に微積分を発明したという点で一致しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、勝ち残った記号を作りました。この争いの代償は大きなものでした。国の誇りのために、イギリスの数学者たちは 1 世紀以上ニュートンの点の記号にこだわり、その間に大陸はライプニッツの $dx$ を使って、ベルヌーイ家やオイラーの手で大きく前進しました。1812 年になってようやく、ケンブリッジの学生たちが解析協会を作り、ライプニッツの記号をイギリスに取り戻しました。 この物語のもう一方の側は、ライプニッツのシリーズで読むことができます。 ニュートン力学の限界 200 年以上、ニュートンの法則はどこでも成り立つように見えました。20 世紀のはじめ、二つの理論がその限界を明らかにしました。 相対性理論。 光の速さに近い速度では、ニュートンが考えたように時間と空間が絶対的なものではなくなります。相対性理論では、動いている時計で測った時間間隔 $t'$ は、静止している人にとってはより長い時間間隔に対応します。 $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$速度 $v$ が光速 $c$ に比べて小さいとき、根号はほぼ 1 になり、ニュートンの世界に戻ります：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。$v\to c$ のときは、差はいくらでも大きくなります。 量子力学。 原子や粒子では、はっきりした軌道というものが意味をもたなくなります。 だからといって、日常生活でニュートンがまちがっているわけではありません。橋、自動車、飛行機、ロケットにとって、彼の力学は今でも使われるほど正確です。相対性理論はニュートンを消し去ったのではなく、ニュートンがどこまで通用するかを示したのです。 讃辞 「才知において人類を超えた人」 ケンブリッジのトリニティ・カレッジの礼拝堂には、プリズムを手にしたニュートンの大理石像があります。1755 年にルイ＝フランソワ・ルビリアックが制作したものです。台座にはローマの詩人ルクレティウスの言葉が刻まれています。Qui genus humanum ingenio superavit、「才知において人類を超えた人」。ここで学んだ詩人ワーズワースは、この像を「思想の見知らぬ海を、永遠にただ一人旅する精神の、大理石の標」と表現しました。 ニュートンはウェストミンスター寺院に、王や女王たちに囲まれて葬られました。墓碑には、プリズム、反射望遠鏡、鋳造したばかりの硬貨を手にした天使たちと、1680 年の彗星の軌道が描かれた天球儀が刻まれています。 まとめ ニュートンは当時のイギリスの暦では 1642 年、私たちの暦では 1643 年に生まれた。 22 歳のとき、ペストで隔離されていた間に、二項級数、流率法、色の理論を生み出した。 二項式 $(1+x)^\alpha$ は、$|x|<1$ ならどんな指数でも成り立つ。 流率 $\dot x$ は変化率を測り、面積はその逆の操作である。 ニュートン法は接線をたどって根に近づく：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。 『プリンキピア』（1687）には三つの運動法則と万有引力の法則がある。 月の検証は、地球の重力が距離の 2 乗に反比例して弱まることを示した。 プリズムは白い光にもともとある色を分けるのであって、色を作るのではない。 ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。 資料： 手稿への案内、ニュートン・プロジェクト · MacTutor の伝記。

October 11, 2026 読んだ
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エグレギウムの定理と曲率

ハノーバーを測定しながら、ガウスは曲がった地球の地図を作成する方法についてよく考えました。 1827で公開されました 彼はその結果をエグレジウム定理と呼び、「注目すべき定理」と呼びました。 曲面の曲率は次のとおりです。 外から見に行くことなく、その中に住んでいる人によって測定されます。 結果: 平面内では、三角形の角度の合計は 180° になります。球体ではそれらを合計するとさらに多くになります。取ってください 1 つの頂点が北極にあり、他の 2 つの頂点が赤道にある三角形: 赤道の２つの角は直角です。 90° を極として、三角形には 3 つの直角があります: 270°。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 子午線は赤道を直角に切っているため、赤道の 2 つの角度は 90° になります。を追加すると、 極の角度 $\alpha$: $$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$ 180°以上は三角形の面積に比例し、表面が曲面であることを示します。だからこそ 完璧な地球の平面図は存在しません。距離、角度、面積には常に歪みが生じます。 ピザのトリック ピザのスライスを先端が落ちないように食べるために、スライスを半分に折りたたむことに気づいたことがありますか?それは 定理エグレギウムが作動中。スライスは最初は平ら (曲率ゼロ) であり、両方向に湾曲させることはできません。 同時に。片側を曲げると反対側が硬くなり、先端が抜けなくなります。 ガウスはまた、ユークリッドの平行公準が存在しない幾何学が存在する可能性があることにも気づきました。 価値がある。しかし彼は何も公表しなかった。1829からの手紙の中で、彼は「ボイオティア人の叫び声」、つまりそうしなかった人々の叫びを恐れていると述べた。 分かるだろう。非ユークリッド幾何学は、最終的にロバチェフスキーとヤノス・ボリャイによって出版されました。 すべてのトピックはカール・フリードリッヒ・ガウスによる · ← 正規曲線、ガウスベル · 連立方程式: 行列式とガウス消去法 → 画像のクレジットと出典.

October 10, 2026 読んだ
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コギトの読み方: 聞くことと話すこと

デカルト平面上に描かれたコギト エルゴ サム。オイラーの目コレクション ここオイラーの目では、「我思う、故に我あり」を小さな機械として読みたいと思っています。その思い 何かを聞き（ラテン語ではオーディレ）、別のことを話します（ファブラリ）。何を縛るかというルール 聞こえてくるのは機能です。 メソッドワード 物理学: 自然。 方法: 推論、経路。 グラフィコ: 線、描画。 数学: 学んだこと、解読する行為。 機能: タスクを実行する人。 ドミナス: 領主、ドミニオンという言葉の由来。 例: 「聞いたことを 2 回言う」。空の括弧は待機耳として機能します 数字: $$f = 2\,(\;\;) \qquad\text{hoje escrevemos}\qquad f(x) = 2x.$$ 括弧 ( ) は耳として使用されます。関数は数字を聞くことを期待します。オイラーの目コレクション ドミナス、ファンクトゥス、グラフィコ: ドメイン、機能、そしてそれが残す痕跡。オイラーの目コレクション $f = 2(\quad)$、$f = (\quad) - 2$、$f = [(\quad) - 1]\cdot[(\quad) - 3]$ の 3 つのルールでマシンを試してください。それぞれ 聞いた数字は点 $(x;\ f(x))$ となり、点の集合はグラフ、グラフィコを形成します。 ルールの:

October 10, 2026 読んだ
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合計から無限に多くの素数が得られる

ユークリッドは、紀元前 300 年頃に、素数が無限に存在することをすでに証明していました。 1737 オイラーで 素数を微積分に結び付ける、まったく異なる証明を発見した。 各素数 $p$ について、等比数列の和は次のようになります。 $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ これらの式を $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ に乗算すると、各項の積は次の形式になります。 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。つまりすべての自然数は積として単一の方法で記述されます。 素数の場合、各分数 $\frac{1}{n}$ は 1 回だけ出現します。 $$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ しかし、右側の合計は、 高調波系列、無制限に成長します: の条件 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{4}$ 合計すると以上になります $\frac{1}{2}$、のそれら $\frac{1}{5}$ の $\frac{1}{8}$ また、それらの $\frac{1}{9}$ の $\frac{1}{16}$ また、など。有限の量があったとしたら、 素数の場合、左側は有限数の積、つまり有限数になります。矛盾： 無限の素数がある.

October 10, 2026 読んだ
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フェルマーの遺産

数論の父 1670 年版ディオファントス『算術』の扉。トゥールーズで「P. ド・フェルマーの注釈つき」で印刷された。フェルマーの死から 5 年後に息子が出版したこの本によって、余白の書き込みはオイラーのもとに届いた。ベルナール・ボスク、トゥールーズ（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン フェルマー以前、整数についての問題は、ディオファントスのパズルのような謎解きと見なされていました。フェルマーはそれを、深い問いと独自の方法をもつ数学の一分野に変えました。1 世紀近く、彼のあとに続く人はほとんどいませんでした。1730 年以降、フェルマーの書き込みを読み、その多くを証明して数論を数学の中心的な分野にしたのはオイラーでした。そのあとにラグランジュ、ルジャンドル、ガウスが続きました。 そのほかの発見 すべてを挙げれば長くなります。いくつかのハイライトを： 二つの平方数の和： 奇素数が二つの平方数の和になるのは、それを 4 で割った余りが 1 のときに限る。たとえば $13=4+9$、$29=4+25$ だが、$7$ や $11$ はそうならない。フェルマーが 1640 年に発表し、オイラーが 1749 年に証明した。 ペル方程式： フェルマーがイギリス人に挑んだ方程式 $x^2-Ny^2=1$ は、$N$ が平方数でなければ、つねに無限に多くの解をもつ。 多角数： すべての正の整数は、高々 3 つの三角数の和、4 つの平方数の和、5 つの五角数の和、以下同様に表せる。平方数の場合はラグランジュが 1770 年に、三角数の場合はガウスが 1796 年に証明した。 曲線の長さ： フェルマーはいくつかの曲線の弧の長さを計算した。これも微積分への道を開いた問題である。 微積分への道 フェルマーの解析幾何学によって、曲線を方程式で書けるようになりました。彼の極大・極小の方法は、本質的には導関数である計算で接線や極値を求めました。$y=x^n$ の形の曲線の下の面積も計算しました。欠けていたのは、接線と面積が逆の操作だと気づくことだけでした。その一歩を踏み出したのはニュートンとライプニッツです。 物理学では、最短時間の原理が学校で習う反射と屈折を説明し、現代物理学の最適化原理への道を開きました。 まちがった予想からも学べる フェルマーは、$2^{2^n}+1$ の形の数がすべて素数だと考えたのはまちがいでした。それでもこの問いはオイラーを新しい技法に導き、思いがけずガウスの正十七角形に再び現れました。数学では、答えが予想に反するときでさえ、よい問いには大きな価値があるのです。 そして最終定理は、フェルマーの「驚くべき」証明があったにせよなかったにせよ、数学者たちに、それを解くための理論を丸ごと作り出させました。ワイルズの証明は遠く離れて見えた二つの分野を結びつけ、その道具は今ではもとの問題をはるかに超えて使われています。 まとめ フェルマーの生まれた町ボーモン＝ド＝ロマーニュにある記念像。彫刻家アレクサンドル・ファルギエールの作品。Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 フェルマーはトゥールーズの裁判官で、楽しみのために数学をし、生前はほとんど何も出版しなかった。 同じ名前の異母兄がいたため、生年は 1601 年とも 1607 年ともされる。 デカルトとは独立に解析幾何学を創始した。 彼のアデカリティの方法は、ニュートンとライプニッツの微積分以前に極大・極小を求めた。 小定理は、素数 $p$ が $a$ を割り切らないとき $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ であることを述べる。 すべての $2^{2^n}+1$ は素数だと予想したが、オイラーが $F_5$ は 641 の倍数であることを示した。 1654 年、パスカルとともに分配問題から確率論を創始した。 最短時間の原理は屈折の法則を説明する。 無限降下法は、ある種の方程式に整数解がないことを証明する。 最終定理は 358 年待ち、1995 年にアンドリュー・ワイルズが証明した。 資料： フェルマーの生涯と業績、MacTutor。

October 11, 2026 読んだ
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連立方程式: 行列式とガウス消去法

最小二乗法を使用して軌道を計算するには、 ガウスは次の連立方程式を解く必要がありました。 多くの未知数。生徒なら誰でも知っている 2 つの名前はこの物語に由来しています。決定要因と ガウス消去法です。 行列式 2 つの方程式を含むシステムを考えます。 $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ すべては分母の数値 $ad - bc$ に依存します。それがゼロでない場合、システムには 1 つの数値が含まれます。 解決策。この数値がシステムを「決定」します。 システム、数値 ad − cb、およびスラッシュ表記。オイラーの目コレクション 2 行の規則: a₁₁・a₂₂ − a₂₁・a₁₂ = 行列式。オイラーの目コレクション マトリックスとは、ラテン語で子宮、つまり何かが生成される場所を意味します。オイラーの目コレクション この単語が最初に登場したのは、1801 のガウスの論争です。彼はそれを呼んだ 決定値は、2次のフォーム$ax^2 + 2bxy + cy^2$の性質を決定する数値です。 1815 では、フランス人のオーギュスタン ルイ コーシーがこの用語を採用し、次のようにクレジットしました。

October 10, 2026 読んだ
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デカルトと大砲の問題

古い彫刻の大砲と砲兵。オイラーの目コレクション デカルトは戦争を間近で体験しました。 1618 では、彼はナッソーのモーリスの軍隊で志願兵として奉仕しました そして彼の最初の伝記作家エイドリアン・バイエによれば、彼はラ・ロシェル包囲戦の1628にいたとのこと。 リシュリュー枢機卿著。戦場では、 砲兵たちは何をするのかという現実的な問題に悩まされました。 一定の距離のターゲットに命中させるために大砲を傾ける角度は？ これは、目標までの距離 (砲手が「聞く」音) と銃の角度という 2 つの数値の関係です。 （彼が「言ったこと」）。ガリレオは 1638 で、空気抵抗がなければ弾丸は 放物線であり、範囲 $R$ は角度 $\theta$ と出口速度 $v$ に依存します。 $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 角度が違えば、軌道も異なります。オイラーの目コレクション 弾丸が 100 m/s で離れる場合: 角度 15° 30° 45° 60° 75° 範囲 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m アングルを選んで撮影します。範囲は 45° で最大となり、角度を合計すると 90° になります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 10, 2026 読んだ
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素数ではなかったフェルマー数

ピエール・ド・フェルマーは、$2^{2^n} + 1$ という形式の数字はすべて素数であると信じていました。のために $n = 0, 1, 2, 3, 4$ の作品: 3、5、17、257、および 65 537 は素数です。次は $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ すべてのディバイダーを手動でテストするのは現実的ではありません。 1732 で、オイラーはこの数が割り切れることを示しました。 641による。これをエレガントに調べるには、641 の 2 つの書き方を使用します。 $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 641 による除算の余りを処理します (記号 $\equiv$ は「同じ余りを残す」という意味です): 4 段階の控除 (クリックして進みます) 1 つ目の方法は $5 \cdot 2^7 \equiv -1$ です。 4 乗: $5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。 2 番目の方法では、$5^4 \equiv -2^4$。 ステップ 2 をステップ 1 に置き換えます: $-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$、つまり $-2^{32} \equiv 1$。 したがって、$2^{32} + 1 \equiv 0$: 数値は641 の倍数となります。 実際には、4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 となります。今日に至るまで、他の番号は知られていない トップ5を超えるフェルマープライムの。

October 10, 2026 読んだ