平面几何 | Euler's Eyes

周长

将绳子缠绕在罐子上，然后将其拉伸至直径：它刚好适合三倍。这适用于任何罐头、轮子或硬币。这个“略多于三”是数字π。谁发现的大约 4 000 年前，巴比伦人和埃及人就已经知道圆的轮廓略大于三个直径；他们使用了 3、$3\tfrac{1}{8}$ 和 3,16 等值。第一个计算出 π 的确定性是锡拉丘兹的阿基米德（公元前 3 世纪）：他使用边长为 96 的多边形，证明了 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用，并由 Leonhard Euler 推广。故事阿基米德用两个多边形（一内一外）包围圆，并将边数增加四倍：6、12、24、48和96。多边形的周长从下方和上方接近轮廓。公元5世纪，中国祖冲之达到了3,1415926 < π < 3,1415927，这个记录持续了近一千年。如今，π 的小数位数已由计算机计算得出，但对于工程中的几乎所有内容，3,14159 就足够了。在日常生活中 **车轮和里程表。**每转一圈，车轮都会行驶其长度 $C = 2\pi r$；汽车仪表板计算圈数。自行车。轮辋为 29 的车轮与轮胎的直径约为 74 厘米：每转行驶约 2,3 米。 **田径跑道。**外侧车道的起点更靠前，因为它们的弯道更长。 **裁缝的卷尺。**测量腰围就是测量“周长”。公式选择半径并将轮子滚动一圈。展开的红色部分就是周长；黄色标记是直径。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Teorema · 周长任何圆的长度 $C$ 与其直径 $d$ 之间的比率始终是相同的数字 $\pi \approx 3{,}14159$。像这样， $$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

October 12, 2026 阅读

角度：转弯和拐角

当你打开门、转动门把手或在拐角处右转时，你就是在做一个转。这种旋转的大小就是我们所说的角度。你转了多少度？ **一整圈：**你转动直到你再次看到同一个地方。 **半转：**你转身背对着你正在看的地方。四分之一转弯：你转向一侧，就像拐角一样。此旋转形成直角。数学家将整个旋转分为360等份，称为度 (°)。那么一半转为 180°，四分之一转为 90°。移动控件或使用按钮。蓝色指针从灰色指针旋转。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 锐角、直角和钝角 Definição · 三种角度直角：四分之一圈 (90°)。这是一张纸的一角。 **锐角：**小于直角。让我想起一片披萨的尖端。 **钝角：**大于直角且小于半圈。让我想起一把大开的风扇。角度分类。使用纸张的一角来检查！ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么是360？多 4 000 年前，巴比伦天文学家观察太阳沿着天空绕行年，他们计算出大约 360 天。他们还喜欢能分为许多的数字等份，并且 360 除以 2、3、4、5、6、8、9、10、12… 这就是为什么回报至今仍具有 360 度。时钟上的角度钟表的指针形成角度。在 3 小时时，它们形成直角。在 6 小时，形成半圈。在1时间，它们形成锐角。

October 12, 2026 阅读

平面图形的面积

土地有多少平方米，墙上涂了多少油漆，旗帜上涂了多少布料？所有这些问题都与面积有关 - 几乎所有公式都来自一个：矩形。谁发现的我们记录的第一个面积计算来自来自埃及和美索不达米亚的抄写员：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算矩形、三角形甚至圆形区域的面积，巴比伦泥板显示梯形的面积。希腊人为这些规则提供了理由：在几何原本中，欧几里得（公元前300）证明了具有相同底和相同高度的平行四边形具有相同的面积（命题I.35），并且三角形是平行四边形的一半（I.41）。圆公式由阿基米德（公元前3世纪）证明。故事希腊人的想法是通过剪切和粘贴来比较图形，无需数字：如果一个图形可以分解并重新组装成另一个图形，则两个图形具有相同的面积。和下图的方法是一样的。对于圆，埃及人使用的规则是“从直径取$\tfrac{1}{9}$并求其平方”，这相当于使用$\pi \approx 3{,}16$。阿基米德表明，圆的面积等于底等于周长、高等于半径的三角形的面积——即$\pi r^2$。在日常生活中房产。公寓的价格是每平方米的价格；该平面图显示了每个房间的面积。 **油漆和地板。**油漆和陶瓷的用量取决于墙壁和地板的面积。农业。产量和种子按每公顷 (10 000 平方米) 计算。披萨。直径为 40 厘米的披萨的面积几乎是 30 厘米披萨面积的两倍（1 257 平方厘米与 707 平方厘米）。从矩形到其他图形 Resumo · 面积公式数字区域主意长方形 $A = b \cdot h$ 正方形的线平行四边形 $A = b \cdot h$ 剪出一个三角形，然后把它变成一个长方形三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四边形的一半梯形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 两个梯形组成一个平行四边形钻石 $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 矩形对角线的一半圆圈 $A = \pi r^2$ 扇区形成“几乎矩形” 选择图形并拖动黄色顶点。高度始终是垂直于底座（虚线）测量的。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 12, 2026 阅读

直线和曲线、平行线和垂直线

拉伸的线、蚂蚁的路径、云的轮廓：这些都是线。有些是直的，有些是曲线的。直与弯、开与闭直线不会改变方向，就像拉紧的绳子一样。曲线始终改变方向，就像蛇的路径一样。闭合线在其开始处结束，就像圆的轮廓一样。开放线有两个松散的末端。仅由直线段组成的线是多边形。当它关闭时，它会绘制一个多边形。这是一条什么样的线？单击答案并尝试连续点击五次。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 平行线和垂直线想想火车轨道：它们并排运行并且永远不会相遇。像这样的线是并行。现在想象一下两条街道相交形成一个“纸角”的拐角。这些直它们垂直：它们相交形成四个直角。相交但不形成直角的线称为并发。拖动球来移动直线，看看它们何时平行、共存或垂直。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Resumo · 哪里可以找到 **相似之处：**火车轨道、笔记本线、街道、吉他弦。垂直线：门窗的角点，网格线的交点，字母T。竞争对手：双手张开剪刀，字母X。板材角部测试要确定两条线是否垂直，请将一张纸的一角触摸交点。如果两条线沿着纸张的边缘，它们将形成一个直角。瓦工也这样做有正方形的东西！直字母请注意字母 E、H、L、N、T、V 和 Z。其中哪些有平行线？哪些是垂直线？检查答案相似之处： E（躺着的三条线）、H（站着的两条线）、N（站着的两条线）和Z（躺着的两条线）。垂直线： E、H、L 和 T。V 仅有竞争线，形成锐角。

October 12, 2026 阅读

我们周围的扁平形状

看看你的周围。罐子的盖子、卧室的门、一片披萨、路标：每一个都类似于几何形状。平面形状和非平面形状当形状完全适合一张纸且没有“块状”时，它就是扁平。笔记本上的一幅画，物体的影子和硬币的轮廓都是平面形状。鞋盒、球和罐头不是扁平的：它们有体积并占用空间。但是注意：盒子的面是长方形，罐盖是圆形。平面形状有 “粘”在物体表面。 Resumo · 最常见的形式形状如何识别哪里可以找到圆圈圆形，无角硬币、盘子、轮子三角形 3 边和 3 角 “优先”标志，披萨片方形 4 等边和 4 直角瓷砖、棋盘矩形 4 直角，对边相等门、笔记本、手机五角大楼 5 边有屋顶设计的小房子六边形 6 边蜂窝、螺母游戏：这个形状的名字是什么？该人物以不同的尺寸、颜色和位置出现。正方形仍然是正方形即使它是“弯曲的”！单击正确的名称。连续击中五次即可赢得明星派对。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 蜜蜂为什么会形成六边形？蜂窝由六边形拼装而成，之间没有间隙。有了这个表格，蜜蜂使用更少的蜡来建造相同数量的房屋。多于 1 600 年前，希腊数学家亚历山大的帕普斯已经对这种“蜜蜂的智慧”表示赞赏。正方形也是长方形吗？矩形是具有 4 直角的 4 边形图形。正方形有 4 直角 — 所以它也是一个矩形！它是一个特殊的矩形，四个边的大小相同。

October 12, 2026 阅读

用尺子和圆规建造

没有标记的尺子和指南针：仅用这两种工具，希腊人就可以完全精确地绘制中点、垂直线和平行线。谁发现的经典结构位于欧几里得（公元前300）的几何原本中：垂直平分线和中点（命题I.10），角平分线 (I.9)、垂直一点（I.11 和 I.12）和平行一点（I.31）。只使用没有标记的尺子和圆规的规则来自欧几里得的前三个公设：通过两点画一条直线，延长它并以任意圆心和半径画一个圆。故事对于希腊人来说，建筑是以绘图形式进行的演示：每一步都需要通过已经证明的结果来证明其合理性。这就是为什么有刻度的尺子不值得——测量是近似，建造是保证。两千多年来，三个著名的问题一直困扰着这些工具：将任何角度分成三等分，构造一个体积是另一个体积两倍的立方体，以及构造一个与圆面积相同的正方形。 19 世纪，Pierre Wantzel (1837) 和 Ferdinand von Lindemann (1882) 证明仅用尺子和指南针就可以实现这三个目标不可能。在日常生活中 **木工和金属制品。**干点罗盘标记中心，将零件分成两半并绘制垂直线，而无需正方形。技术制图。 CAD 程序和 GeoGebra 的“垂直平分线”、“角平分线”和“垂直”工具重复了欧几里得的构造。园艺。使用两根木桩和一根绳子，您可以标记圆形花坛或垂直于墙壁的线。四种构造在每个图中，拖动点并一次前进一步。用真正的尺子和圆规在纸上重复构建。垂直平分线和中点 Definição · 垂直平分线线段 $\overline{AB}$ 的垂直平分线是通过其中点垂直于 $\overline{AB}$ 的线。垂直平分线上的每个点与 $A$ 和 $B$ 的距离相同。垂直平分线的构造：点P和Q到A和B的距离相同。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么会起作用？圆弧具有相同的半径，因此 $PA = PB$ 和 $QA = QB$。距$A$和$B$等距离的点组成垂直平分线；由于其中有$P$和$Q$，所以直线$PQ$就是垂直平分线。

October 12, 2026 阅读

13 章中的练习——三角形和点幂的相似性

练习和决议 445 图中的三角形$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是相似的。若第1个与第2个的相似比为$\dfrac{3}{2}$，则确定：a)$a$、$b$和$c$； b) 它们的周长之比。 Ver respostaa) $a = 21$, $b = 18$ e $c = 15$ · b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ 和 $PQR$ 相似。确定$x$和$y$。 Ver resposta$x = 16$ e $y = 14$ 447 如果$\triangle KLM$与$\triangle FGH$相似，则确定$x$。 Ver resposta$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ 的三条边的尺寸为 8 厘米、18 厘米和 16 厘米。确定与 $ABC$ 相似的三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 的边，知道第一个与第二个的相似比等于 3。 Ver resposta$\dfrac{8}{3}$ 厘米、6 厘米和 $\dfrac{16}{3}$ 厘米 449 如果$\overline{DE}$与$\overline{BC}$平行，则在以下情况下确定$x$（在b中，$x = AD$）： Ver respostaa) 12 · b) 40

October 11, 2026 阅读

点功率

相交在一个圆内的两条弦：其中一个部分的乘积等于另一个部分的乘积。有了这个想法，就可以计算出到地平线的距离。谁发现的这两种经典形式出现在欧几里德（公元前300）的几何原本中：关于相互切割的绳索的命题III.35，以及III.36，位于从同一外点绘制的割线和切线上。点的幂这个名字是在很久以后的1826中由瑞士人Jakob Steiner创建的，他意识到无论点画出的直线是什么，乘积总是相同的。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事斯坦纳是 19 世纪合成几何领域的伟大人物之一。他是农民的儿子，在 14 岁时才学会写作，并最终成为柏林大学的教授。对他来说，点的力量是将欧几里得的几个定理整合成一个想法的一种方式。两条弦相交于 P：两部分的乘积相等，如 Euclid III.35 中记录的结果。来自博客的原始教学插图。这个概念引出了其他概念：两个圆的根轴是相对于两个圆具有相同幂的点的位置，这是当今在相切问题中使用的工具。在日常生活中距地平线的距离。从海平面以上的高度 $h$ 开始，地平线的切线测量为 $d$，其中 $d^2 = h(2R + h)$，其中 $R$ 是地球的半径 (III.36)。在 1,7 米高度处，地平线距离约 4,7 公里。 **弓的半径。**测量弦$c$和箭头$s$（弓的高度），半径为$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$。修复者用它来重建旧的拱门和窗户。 **道路曲线。**测量员以相同的方式计算曲线的半径，在沥青上测量弦和箭头。 **透镜和镜子。**透镜的曲率半径是通过测量已知直径部分的深度获得的。来源：元素，命题 III.35 · 元素，命题 III.36 · Steiner (MacTutor)。

October 11, 2026 阅读

相似性案例（标准）

为了确保两个三角形相似，不必检查所有内容：两个角度或三个边之间的比率就足够了。谁发现的这三个标准位于欧几里得的几何原本的第六册中（c. 300 BC）：三角形等角具有成比例的边（VI.4，情况AA），三角形具有三个比例边的情况类似 (VI.5, LLL)，并且两个之间角度相等的比例边也足够 (VI.6, LAL)。更早以前，传统将使用相同形状的三角形来测量难以到达的距离归因于故事。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域故事相似性标准是三角测量的工具，即测量整个国家的方法。在1615中，荷兰人Willebrord Snellius用一串三角形测量了阿尔克马尔和卑尔根奥普佐姆之间的距离，并估计了地球的大小。 18世纪，卡西尼号家族以同样的方式制作了第一张法国通用地图。维勒布罗德·斯内利厄斯。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域塞萨尔·弗朗索瓦·卡西尼·德·图里。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · 维基共享资源 · 公共领域不同比例的相同形状的三角形：等角和成比例的对应边。来自博客的原始教学插图。 AA 外壳的功能尤其强大：即使从远处，也可以用简单的仪器测量两个角度，并保证所有边的比例。在日常生活中 **河流的宽度。**河岸上标有两个相似的三角形，上面有木桩和瞄准器；过河的一侧按比例计算。相机暗箱和眼睛。物体及其图像形成相似的三角形，与孔中的顶点相对（案例 AA）。 **坡道和楼梯。**具有相同倾斜度的两个坡道具有相似的轮廓，无论长度如何。正方形。具有相同角度（45° 或 30° 和 60°）的不同大小的正方形是相似的。来源：元素，命题 VI.4 · 元素，命题 VI.6 · Snellius (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 第一种情况——AA（两个角度）如果两个三角形有两个角有序全等，那么它们是相似的（因此具有比例同源的边）。

October 11, 2026 阅读

三角形的相似度

当两个图形具有相同的形状时，即使它们的大小不同，它们也是相似的。这是照片、地图和模型的数学。谁发现的这个想法出现在关于米利都传说的故事中，他们通过将金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量金字塔的高度。完整的理论位于欧几里得（约公元前300）的几何原本第六册中，它将相似的图形定义为具有等角和比例边的图形。它取决于第五卷中Eudoxus of Cnidus（公元前 4 世纪）的比例理论，该理论也允许处理不可通约片段之间的比率。米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事影子法成为一种工具。从中世纪开始，星盘和象限上就刻有阴影方，并有直本影和本影两种刻度，用来测量塔的高度和井的深度，无需复杂的计算。旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。欧拉之眼博客的集合。大约公元前 270，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯使用类似的三角形来估计从地球到月球和太阳的相对距离。这些数字与真实数字相去甚远，但比较天空中相似三角形的方法是正确的。萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。克劳迪奥·卡莫齐·维基共享资源·公共领域在日常生活中 **放大照片。**在不扭曲的情况下“缩放”时，所有测量值都会乘以相同的系数。模型和微缩模型。比例为 1 : 43 的购物车的每个尺寸都比真车小 43 倍。 **影子的建筑物高度。**同时将建筑物的影子与已知身高的人的影子进行比较。 **投影仪和相机。**屏幕或传感器上的图像与物体相似，大小与距离成正比。来源：故事 (MacTutor) · 元素，第六册 · Aristarchus (MacTutor)。理论与结构 Definição · 相似三角形两个三角形相似（符号$\sim$）当且仅当它们具有三个有序全等角和比例同调边： $$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$同源边（同源 = 相同，徽标 = 位置）在每个三角形中各有一个，并且是相反的全等角。数字$k$是相似率；如果 $k = 1$，则三角形全等。

October 11, 2026 阅读

阅读：勒让德：走向严谨和说教的几何

进一步阅读 Leitura 勒让德：走向严谨和说教的几何学在古希腊，公理似乎意味着所有研究领域的共同真理，而公设则意味着特定领域的真理。欧几里得假设了五个公设——其中，从任何一点到任何另一点都可以画一条直线，每条有限的直线都延伸，以任何圆心和半径都可以画一个圆，直角相等，以及著名的第五条平行线——以及五个公理，例如“相同的事物相等”和“整体大于部分”。从那时起，几何原本就在没有练习或应用的情况下滔滔不绝地讲述定理：以现代标准来看，这是一篇不太具有说教意义的文本。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域在 18 世纪的法国，有几本书似乎使欧几里得更容易理解，但许多书籍牺牲了严谨性。一个值得注意的例外是 Adrien-Marie Legendre 的几何元素 (1752–1833)。勒让德在他的研究中大放异彩——在椭圆函数和数论方面，他完整地阐述了二次互反律——而他的几何学著作则兼具严谨性和说教性，在作者生前在法国出版了二十个版本。在1809中，它在里约热内卢被翻译，并在次年创建的皇家军事学院采用。大约四十年来，勒让德试图证明第五条公设不同于其他公设——正如我们现在所知，这是一项不可能完成的任务——但即使在这些尝试中，他也表现出了巨大的创造力。阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读

12 章中的练习 — 泰勒斯定理

练习和决议 413 用$r$、$s$和$t$平行线确定下面每种情况下$x$的值。 Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 在图中，线$r$、$s$和$t$是平行的。确定$x$和$y$的值。 Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$ 415 图中，$\overline{MN}$与三角形$ABC$的底边$\overline{BC}$平行。计算$x$的值。 Ver resposta$x = 25$ 416 图中，$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$。计算$AB$的值。 Ver resposta$AB = 18$ 417 图中，计算$x$的值。 Ver resposta$x = 24$

October 11, 2026 阅读