Em 1856, ainda às voltas com álgebras não comutativas, Hamilton inventou o cálculo icosiano: três símbolos $\iota$, $\kappa$ e $\lambda$, que obedecem às regras $$\iota^2 = 1, \qquad \kappa^3 = 1, \qquad \lambda^5 = 1, \qquad \lambda = \iota\kappa.$$Hoje diríamos que são geradores do grupo das rotações do icosaedro, o sólido de vinte faces triangulares. Hamilton apresentou o cálculo num encontro da British Association em Dublin, em 1857, e percebeu que ele descrevia caminhos ao longo das arestas do dodecaedro, o sólido de doze faces pentagonais e vinte vértices.