Os exercícios com resolução mostram um método; os seguintes pedem para aplicá-lo. Tente cada um antes de abrir a resposta. Medidas de arcos 1 Exprima $225^\circ$ em radianos. Ver a resoluçãoRegra de três simples: $$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$ 2 Exprima em radianos: a) $210^\circ$; b) $240^\circ$; c) $270^\circ$; d) $300^\circ$; e) $315^\circ$; f) $330^\circ$. Ver respostaa) $\dfrac{7\pi}{6}$ rad · b) $\dfrac{4\pi}{3}$ rad · c) $\dfrac{3\pi}{2}$ rad · d) $\dfrac{5\pi}{3}$ rad · e) $\dfrac{7\pi}{4}$ rad · f) $\dfrac{11\pi}{6}$ rad
Um ângulo é a “abertura” entre duas semirretas de mesma origem. Para medi-lo, transportamos a pergunta para um arco: o ângulo mede o mesmo que o arco que ele determina numa circunferência centrada no seu vértice. A história Os Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) definem o ângulo plano como “a inclinação, uma em relação à outra, de duas linhas num plano que se encontram e não estão em linha reta”. A definição parece simples, mas os gregos discutiram durante séculos o que é, afinal, um ângulo: uma quantidade, que se pode somar e comparar? uma qualidade, como uma forma? ou uma relação entre duas linhas? Quem conta essa disputa é Proclo, no século V, no seu comentário a Euclides. A saída que adotamos — medir o ângulo pelo arco que ele determina numa circunferência centrada no vértice — deixa a pergunta filosófica de lado e transforma o ângulo num número.
Antes de falar em seno ou cosseno, precisamos saber medir um pedaço de circunferência. Há duas réguas para isso: o grau, herdado dos babilônios, e o radiano, que mede o arco com o próprio raio. A história A divisão da circunferência em 360 partes vem da astronomia da Mesopotâmia, que contava em base 60 e acompanhava o Sol, que percorre o céu em cerca de 360 dias. No século II a.C., Hiparco de Niceia adotou os 360 graus nas suas tabelas de cordas, e Ptolomeu, no Almagesto (c. 150 d.C.), dividiu cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos — as partes minutae primae e secundae que deram nome ao minuto e ao segundo.