Fonte: ITA – prova de Matemática da 2ª fase. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A prova de Matemática da 2ª fase do ITA 2024 tem 10 questões dissertativas. O ITA não publica resolução oficial da 2ª fase; as resoluções abaixo são nossas, e cada resposta foi conferida por um segundo caminho (substituição, outra fórmula ou verificação por computador). Respostas Questão Assunto Resposta 1 Progressão aritmética e geométrica $n = 4$ 2 Caminhos pelas pontes (caminho de Euler) 32 (16 em cada sentido) 3 Inequação com módulos de logaritmos $-4 < x < -\frac14$ ou $\frac14 < x < 4$ 4 Matriz definida positiva $-1 < b < 1$ 5 Polinômio simétrico em torno de $x = 1$ $1 \pm \sqrt{3}$ e $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 Maior segmento dentro de um sólido $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 Circunferência tangente ao eixo $y$ $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 Trapézio com vértices na parábola $\frac{483}{64}$ 9 Raízes complexas e área $4\sqrt{5}$ 10 Tangente do arco metade $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ Questão 1: Quantos termos da PG somam −80? Enunciado Sejam $(a_n)$ uma progressão aritmética e $(b_n)$ uma progressão geométrica. Se a razão de $(a_n)$ é $r$, $r \ne 0$, a razão de $(b_n)$ é $q = 1/r$, $a_1 = b_1 = 4$ e
Königsberg numa gravura de 1652, com o rio Pregel, as duas ilhas e as sete pontes. Para resolver o problema das pontes, Euler jogou fora quase tudo o que esta imagem mostra.Merian-Erben · Wikimedia Commons · domínio público A cidade de Königsberg, na Prússia, era cortada pelo rio Pregel, que formava duas ilhas, e sete pontes ligavam as quatro partes da cidade. Os moradores se perguntavam se era possível dar um passeio atravessando cada ponte uma única vez. Em 1736, Euler provou que não. O livro de História conta a prova no capítulo sobre as pontes de Königsberg. Aqui interessa o que Euler fez com o desenho.