Com as reduções do tópico anterior, basta conhecer as funções no 1º quadrante. Uma última simetria — na bissetriz do 1º quadrante — reduz ainda mais o trabalho: basta conhecer os arcos de $0$ a $\frac{\pi}{4}$, isto é, de $0^\circ$ a $45^\circ$. A história As primeiras tábuas trigonométricas foram de cordas: Hiparco e Ptolomeu tabelaram a corda de cada arco, de meio em meio grau. Os indianos passaram a tabelar a meia-corda (o seno), e os astrônomos árabes acrescentaram tangentes e cotangentes, ligadas ao comprimento das sombras nos relógios de sol. No século XV, Regiomontanus calculou senos com 7 algarismos, e em 1596 a obra póstuma de Rheticus, completada por Valentin Otho, trazia as seis funções de 10 em 10 segundos de arco, com até 10 algarismos — um trabalho de décadas que as calculadoras tornaram desnecessário, mas que sustentou a navegação e a astronomia por séculos. A simetria deste tópico era o primeiro truque de quem montava uma tábua: calculado o seno até $45^\circ$, o resto vinha de graça.