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ナッシュ交渉解

古典的な経済問題に新しい扱いを与える。この問題は交渉や双方独占など、さまざまな形で現れる。 — ジョン・ナッシュ「交渉問題」（1950） 1948 年、まだカーネギー工科大学の学部生だったナッシュは、国際経済学の授業を受けました。彼が生涯で受けた唯一の経済学の授業です。そこから一つの問いを持ち帰りました。二人が交渉するとき、合意から生まれる利益をどう分けるのか。経済学者たちは、答えは双方の心理や手腕やはったりしだいで、一般には何も言えないと考えていました。ナッシュは、合意がいくつかのもっともな要請を満たさなければならないなら、ありうる答えは一つしかないことを示しました。論文はプリンストンに来る前に書かれ、1950 年に雑誌『エコノメトリカ』（Econometrica）に発表されました。 問題 二人、1 と 2 が合意を結べるとします。ありうる合意はそれぞれ、各自に効用で測った利得 $u_1$、$u_2$ をもたらします。合意しなければ、各自は元からもっていたものを保ちます。これが決裂点 $(d_1,d_2)$ です。合意に意味があるのは、各自に少なくとも合意しない場合と同じだけを与えるときだけです。 四つの要請 ナッシュは解に四つの性質を求めました。 効率性。 二人にとって同時によりよい別の合意があってはならない。 対称性。 状況が対称で、二人の可能性も決裂点も同じなら、二人の取り分は等しい。 不変性。 ある人の効用を別の尺度で測っても、セ氏をカ氏に換えるように、解は変わらない。 無関係な選択肢からの独立性。 ある問題の解がより小さな問題でも可能なら、それはやはり解である。だれも選ばない選択肢を取り除いても、合意は変わらない。 ナッシュの定理によれば、四つの性質をすべてもつ規則はただ一つです。決裂点からの利得の積 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$を最大にする合意を選ぶことです。 1000 円を分ける 二人が 1000 円を分けます。単位を 100 円として、合計を 10 としましょう。合意できなければ、だれも何も得られません：$d=(0,0)$。簡単のため、効用はお金そのものとします。1 が $x$ を受け取れば、2 は $10-x$ を受け取り、積は $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大は $x=5$ です。それぞれ 5、つまり 500 円ずつ。対称な場合なので、驚くことではありません。 よい代わりの選択肢をもつ人が多くを得る 今度は 1 に代わりの選択肢があるとします。合意できなくても、よそで 4 を得られ、2 は相変わらず何も得られません。決裂点は $(4,0)$ です。決裂点からの利得は $x-4$ と $10-x$ で、積は $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 決裂点からの利得の積 (x − 4)(10 − x)。x = 4 では 1 が合意から何も得ないので 0、x = 10 では 2 が何も得ないので 0 になる。最大値 9 は x = 7 にある。Euler’s Eyes 作図 最大は $x=7$ です。1 が 7、2 が 3 を受け取ります。どちらも合意しない場合より3 多く得ています。ナッシュ解は余剰を等分します。余剰とは、各自がすでに確保していた分を超えて合意が生み出す価値です。だから、よい代わりの選択肢をもつ人は多くを得るのです。それはただでもらえるものではなく、交渉の出発点なのです。

October 14, 2026 読んだ
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正方形と長方形でする代数

直線が任意に分けられるならば、全体の上の正方形は、それぞれの部分の上の正方形と、二つの部分にはさまれた長方形の二倍との和に等しい。 — ユークリッド『原論』命題 II.4 ギリシャ人には、未知数を表す文字も、プラスやマイナスの記号も、等号もありませんでした。$a\cdot b$ のことを話したいときは、辺が $a$ と $b$ の 長方形 の話をし、$a^2$ のことを話したいときは、辺が $a$ の 正方形 の話をしました。べき乗に使う「平方」や「立方」という言葉はここから来ています。『原論』の第二巻はまるごとこのやり方で書かれていて、面積についての事実として述べられ証明された代数の恒等式でできています。歴史家はそれを 幾何学的代数 と呼びます。 和の平方 引用の命題 II.4 はこう言います。線分を $a$ と $b$ の二つに分ける。線分全体の上の、辺 $a+b$ の正方形は、$a$ の上の正方形と、$b$ の上の正方形と、辺 $a$ と $b$ の長方形二つの和に等しい。四つに分けた大きな正方形の図を見れば十分です。今日の記法では、 $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$学校で暗記する公式を、ユークリッドは 描いた のです。そして証明はその図そのものです。四つの部分が、あまりも不足もなく大きな正方形を埋めつくしています。 平方の差 命題 II.5 は、知られている最も古い『原論』の断片、オクシリンコスのパピルスに書かれていたものです。今日のことばでは、長さ $2m$ の線分をまんなかで切り、さらに任意の点で $m+d$ と $m-d$ に分けると、 $$(m+d)(m-d)+d^2=m^2$$となる、と言っています。これは恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$、平方の差 です。ユークリッドは、長方形の一部を切りとって小さな正方形のとなりにはめこみ、正方形をつくることで証明します。 平方完成 ユークリッドから千年後の 820 年ごろ、中央アジアのホラズム地方の出身で、バグダードの知恵の館で働いていた数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミー が、未知の量をひとつ含む問題の解き方についての本を書きました。その題名には「復元」を意味する al-jabr という言葉があり、それが 代数（algebra）という言葉の起源になりました。著者の名前は アルゴリズム という言葉の起源です。このサイトの旧二次方程式講座は、彼の例のひとつを紹介していました。 ひとつの平方とその根の十倍が三十九に等しい。平方はいくつか？ 今日のことばでは $x^2+10x=39$ です。フワーリズミーは、ユークリッドがしたであろうのとまったく同じく、面積でそれを解きました。 x² + 10x = 39 の幾何学的な解き方。一辺 x の黄色い正方形と、辺が x と 5 の二つの緑の長方形をあわせると 39 になる。一辺 5 の赤い小さな正方形が、一辺 x + 5 の正方形を完成させる。Euler’s Eyes 作図 一辺 $x$ の正方形を描く。面積は $x^2$。 「根の十倍」$10x$ を、辺が $x$ と $5$ の二つの長方形に分け、正方形の二辺にそれぞれくっつける。L 字形の図全体の面積は $x^2+10x=39$。 大きな正方形を完成させるには、すみに一辺 $5$、面積 $25$ の小さな正方形が足りない。それを加えると、大きな正方形の面積は $39+25=64$。 面積 $64$ の正方形の一辺は $8$。ところが大きな正方形の一辺は $x+5$ なので、$x+5=8$、$x=3$。 今日の記法では、こうなります。

October 14, 2026 読んだ
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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

October 11, 2026 読んだ
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ユークリッドの互除法：最大公約数

ユークリッドの互除法はあらゆるアルゴリズムのおじいさんである。今日まで生きのびている、自明でないアルゴリズムのなかで最も古いのだから。 — ドナルド・クヌース『The Art of Computer Programming』第 2 巻（1969） 長さ 252 cm と 105 cm の二本の棒があって、どちらもちょうど整数回で測れるいちばん長い物差しを見つけたいとします。今日のことばでは 最大公約数 $\gcd(252,105)$ が知りたいわけです。それぞれの数の約数をすべて書きだして、共通するいちばん大きなものを探してもよいのですが、大きな数ではそうはいきません。『原論』の第七巻で、ユークリッドはずっと速い方法を教えています。 大きいほうから小さいほうを引く 命題 VII.1 と VII.2 でのユークリッドの考えは単純です。二本の棒を測れる物差しは、その 差 も測れる。だから 252 と 105 の共通の尺度を探すかわりに、105 と $252-105=147$ について探してもよい。それから 105 と $147-105=42$ について。いつも大きいほうから小さいほうを引き、二つが等しくなるまで続けます。 $$(252,105)\to(147,105)\to(42,105)\to(42,63)\to(42,21)\to(21,21).$$どちらも 21 になりました。これが最大公約数です。ギリシャ人はこの手続きを アンテュパイレシス、「たがいに引くこと」と呼びました。 割り算による版 同じ数を何回も引くのは、割ることです。くり返しの引き算を余りのある割り算にまとめると、アルゴリズムは短くなります。 $$\begin{aligned}252&=2\cdot105+42\\105&=2\cdot42+21\\42&=2\cdot21+0\end{aligned}$$最後の 0 でない余りが最大公約数です。 $$\boxed{\gcd(252,105)=21.}$$なぜうまくいくのか $a=qb+r$ なら、 $a$ と $b$ をともに割りきる数は、$r=a-qb$ も割りきる。 $b$ と $r$ をともに割りきる数は、$a=qb+r$ も割りきる。 組 $(a,b)$ と $(b,r)$ の公約数はまったく同じなので、$\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$ です。では、なぜアルゴリズムは 終わる のでしょう。余りは一歩ごとに小さくなる正の整数で、$42>21>0$、そして正の整数がいつまでも小さくなりつづけることはできないからです。いつかは余りが 0 になり、$\gcd(d,0)=d$ です。

October 14, 2026 読んだ
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伸ばさずに曲げる：埋め込み定理

紙を一枚取ってください。破らず、伸ばさずに、円柱に丸めることができます。紙の上でしなやかな定規で測った距離は変わりません。しかし、しわを作らずにボールを包むことはできません。紙と球面では内在的な幾何が違うのです。ガウスは 1827 年、この違い、すなわち曲率は、曲面を伸ばさずに曲げても変わらないことを証明しました。 19 世紀、ベルンハルト・リーマンはさらに大胆な考えをもちました。曲面や、任意の次元の空間を、どこにも描かずに、内側での測り方だけで記述しようというのです。必要なのは、どんな曲線の長さをどう測るかを決める規則、計量だけです。一般相対性理論はこうして時空を記述します。まわりにより大きな空間を置かず、内側から記述するのです。 問い では、抽象的なリーマン空間はどれも、ふつうのユークリッド空間（次元はとても高いかもしれません）の中に、内側で測った長さが描いたものの上での長さと一致するように描けるのでしょうか。この「ゆがみのない描き方」を等長埋め込みといいます。この問いは半世紀前からあり、幾何学者たちはきわめて難しいと考えていました。 1953 年ごろ、MIT で、幾何学者ウォーレン・アンブローズは若い同僚の傲慢さにいらだち、ナッシュに挑みました。そんなに優秀なら、これを解いてみろ。ナッシュは賭けに乗りました。 例：円柱 簡単な場合で、等長埋め込みとは何かを見てみましょう。平面の帯に座標 $(u,v)$ とふつうの計量 $ds^2=du^2+dv^2$ があるとします。変位 $du$、$dv$ の小さな曲線の長さは $\sqrt{du^2+dv^2}$ です。帯を半径 $R$ の円柱に巻きます。 $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$導関数は $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内積は $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$したがって円柱上でも $ds^2=du^2+dv^2$ で、帯の上とまったく同じです。巻くことは等長的です。曲面の上を歩くアリは何の違いにも気づかないでしょう。ただし注意してください。円柱をはさんで近くにある二点も、曲面に沿って歩けば遠いことがあります。埋め込みが保つのは曲面上の曲線の長さであって、空間を通る直線距離ではありません。 平坦トーラス 今度は難しい場合です。正方形の紙を取り、上の辺と下の辺を貼り合わせると円柱になります。次に円柱の両端を貼り合わせると、ドーナツ、すなわちトーラスになります。本物の紙でやると、しわが寄ります。ふつうのドーナツは外側で曲率が正、内側で負だからです。平らな正方形から作り、正方形の測り方を保ったトーラスを平坦トーラスといい、古典的な定理によれば、それは三次元空間に滑らかに、ゆがみなく描くことはできません。四次元ならゆがみなく収まりますが、三次元には収まりません。 ナッシュが証明したこと 1954 年、ナッシュは驚くべき結果を発表しました。埋め込みが一回だけ滑らかであればよい、つまり各点で接平面は定まるが曲率はなくてもよいなら、どんな曲面も三次元空間に等長的に置けるというのです。オランダのニコラース・カイパーが 1955 年に議論を完成させました。ナッシュ＝カイパーの定理により、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まります。その代償は、ひだの上にひだが重なり、尺度がどんどん小さくなる、フラクタルのようなきわめて奇妙な曲面です。 平坦トーラスの三次元空間への等長埋め込み。2012 年に Hevea プロジェクトが計算したもの。曲面はしだいに小さくなるひだの上のひだで覆われている。ここに見えているのは最初の三層。Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード · Wikimedia Commons · CC0 1956 年、ナッシュはアンブローズが持ち出した場合、すなわち完全に滑らかな埋め込みの場合を発表しました。どんなリーマン多様体も、十分高い次元のユークリッド空間に等長的に置けるのです。そのために彼は方程式を解く新しい技法を考案しました。各段階で、前の段階で失われた滑らかさを補正する逐次近似の方法です。この技法はのちにユルゲン・モーザーが改良し、ナッシュ＝モーザーの方法として知られるようになり、今日では天体力学や、幾何学とは何の関係もない微分方程式の問題で使われています。 くしゃくしゃの紙 ナッシュ＝カイパーの定理には、ばかげて聞こえる帰結があります。平らな一枚の紙を、伸ばさずに、いくらでも小さな球の中に入れられるのです。無限に細かいひだを許しさえすれば。2012 年、フランスのチーム、Hevea プロジェクトが、平坦トーラスのそのような埋め込みを初めて計算し、それがどんな姿かを示す画像を作りました。 練習問題：半径 R = 1 の円柱で、点 (1, 0, 0) と (−1, 0, 0) の間の曲面上の道の長さはいくらか。直線距離は？二点は $u=0$ と $u=\pi$、同じ $v$ に対応します。曲面上を歩けば、長さは帯の上と同じで $\pi\approx3.14$。円柱を横切る空間の直線距離は $2$ です。埋め込みが保つのは前者で、後者ではありません。

October 14, 2026 読んだ
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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

October 11, 2026 読んだ
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熱方程式とド・ジョルジ＝ナッシュの正則性

1900 年、パリの国際数学者会議で、ダフィット・ヒルベルトは、20 世紀の数学を導くと彼が考えた 23 の問題を発表しました。第 19 問題は、平たく言えばこう問いかけます。変分法の「性質のよい」問題の解は、いつも滑らかな関数か。半世紀たっても、ある重要な種類の方程式について、この問いは未解決のままでした。1956 年、ナッシュは同僚からこの問題を聞き、取り組むことにしました。 熱方程式 いちばん簡単な例から始めましょう。とても長い金属の棒の、点 $x$、時刻 $t$ における温度を $u(x,t)$ とします。熱は熱いほうから冷たいほうへ流れ、温度はフーリエの熱方程式に従います。 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$ここで $\kappa>0$ は物質の拡散率です。この方程式は、ある点の温度は、まわりの平均より低ければ上がり、高ければ下がる、と言っています。 時刻 0 にすべての熱エネルギーが一点に集中していれば、$t>0$ での解はガウス関数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}$$です。確かめましょう。$t$ で一回、$x$ で二回微分すると、 $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$両者は等しくなります。釣鐘形の曲線は時間とともに広がって低くなり、面積は 1 のままです。エネルギーは保存され、広がっていきます。幅は $\sqrt t$ に比例して増え、アインシュタインのブラウン運動で進む距離とまったく同じです。偶然ではありません。熱は分子の揺れであり、熱方程式は遠くから見たランダムウォークを記述しているのです。 物質が不規則なとき ガウス関数にはすばらしい性質があります。初めの温度が無限に集中した尖った山であっても、どんな $t>0$ でも解は完全に滑らかです。拡散はすべてをならしてしまいます。 では、物質が一様でなかったら？ 銅や木やガラスのかけらを無造作に貼り合わせ、かけらごとに熱の伝わり方が違う板を想像してください。方程式は $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$となり、熱伝導率 $a(x,t)$ はかけらからかけらへ急に跳ぶことがあります。求められるのは、二つの正の限界の間にあること、$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$ だけです。これほど不規則な係数では、解の公式はなく、解が導関数をもつかどうかさえはっきりしません。問いはこうです。温度は激しく変わりうるのか、それとも熱はやはりならすのか。 定理 ナッシュは 1957 年、熱はやはりならすことを証明しました。どんな次元でも、これらの方程式の解はヘルダー連続です。つまり、$\lambda$、$\Lambda$ と次元だけによる定数 $C$ と $0<\alpha\leq1$ があって、 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$物質がどれほど乱雑でも、温度は跳ぶことができません。ナッシュの証明はきわめて独創的でした。確率とエントロピーの考えを使い、熱を広がっていく質量として扱って、公式なしに解を制御したのです。この結果により、この種の方程式についてヒルベルトの第 19 問題は解決しました。

October 14, 2026 読んだ
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素数は尽きない

素数は、示されたどんな個数の素数よりも多い。 — ユークリッド『原論』命題 IX.20 素数 とは、1 と自分自身でしか割りきれない、1 より大きい整数です。2、3、5、7、11、13、……。ほかの数は、$12=2\cdot2\cdot3$ のように、すべて素数の積です。素数は算数の原子なのです。 先へ進むほど、素数はまれになります。1 から 100 までには 25 個ありますが、1 000 001 から 1 000 100 までには 6 個しかありません。どこかで尽きてしまうのでしょうか。ユークリッドは、尽きないことを四行の議論で示しました。イギリスの数学者 G. H. ハーディは、それを数学全体で最も美しい議論のひとつとみなしていました。 証明 だれかが有限個の素数のリスト $p_1,p_2,\ldots,p_n$ をくれたとします。ユークリッドは、そのリストの 外に 少なくともひとつ素数があることを示します。すべてをかけて 1 を足しましょう。 $$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1.$$$N$ をリストのどの素数で割っても、積 $p_1p_2\cdots p_n$ はその素数で割りきれるので、余りは 1 です。リストのどの素数も $N$ を割りきりません。 ところが $N$ は 1 より大きいので、少なくともひとつ素因数 $q$ をもちます。なぜでしょう。$N$ の 1 より大きい約数のうち最小のものをとります。それが素数でなければ、もっと小さい約数をもち、それも $N$ を割りきるので、最小だという選び方に反します。だから最小の約数は素数です。 この素数 $q$ は $N$ を割りきり、リストのどの素数も $N$ を割りきりません。よって $q$ はリストにありません。どんな有限のリストもすべての素数を含むことはできないのです。 $$\boxed{\text{素数は無限にある。}}$$ユークリッドは「無限」という言葉を使いません。ギリシャ人が避けた言葉です。彼は、どんな 個数の素数が与えられても、もっとある、と言います。同じことを、注意深く言ったのです。 つくった数はいつも素数とはかぎらない $N$ はいつも素数だと思うのは、よくあるまちがいです。見てみましょう。

October 14, 2026 読んだ
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サイクロイド：歯痛の曲線

自転車のタイヤに点を一つ描き、まっすぐに押して進んでみましょう。点は上がっていき、アーチを描いて、また下りてきて地面に触れます。車輪が一回転するごとにこれをくり返します。この点が描く曲線をサイクロイドといいます。 17 世紀には、これが流行の曲線でした。フランス人は ルレット と呼びました。あまりに多くの数学者がこの曲線についての発見をめぐって争ったので、あだ名までつきました。トロイア戦争を引き起こしたヘレネーにちなんで、幾何学者たちのヘレネーです。 車輪の方程式 半径 $r$ の車輪が直線の上をすべらずに転がるとします。車輪が角 $t$（ラジアンで測る）だけ回ると、中心は距離 $rt$ だけ進みます。これは地面に触れた縁の長さです。いちばん下から出発した点は、そのとき $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$の位置にあります。$t=0$ から $t=2\pi$ までで、車輪はちょうど一回転します。アーチの幅は車輪の周の長さに等しい $2\pi r$、いちばん高いところは直径の $2r$ です。 半径 1 の車輪が描くサイクロイドの一つのアーチ。アーチの下の面積は 3π で、車輪の面積の三倍です。ブログのオリジナル図版。 ガリレオ、曲線の重さを量る 1599 年ごろ、ガリレオはこの曲線に名前をつけ、一つのアーチの下の面積を知りたいと考えました。計算できなかったので、同じ材料の板からサイクロイドと、それを生み出す円とを切り抜いて、重さを量りました。サイクロイドは円のほぼ三倍の重さでした。ガリレオは、比はちょうど 3 ではないのではないかと疑い、そこでやめてしまいました。 比はちょうど 3 でした。ジル・ド・ロベルヴァルが 1634 年にそれを証明し、今ではその計算は数行で済みます。 微積分で面積を求める 曲線の下の面積は、高さ $y$、幅 $dx$ の細い帯の和です。$dx=r(1-\cos t)\,dt$ なので、 $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$二乗を展開すると、三つの部分が残ります。 $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最後のものは $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ から出てきます。合計すると $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$サイクロイドの一つのアーチの下の面積は、それを描いた車輪の面積の三倍です。ガリレオの切り抜きは正しかったのです。 1658 年の夜 1658 年には、パスカルが数学から離れて四年がたっていました。姉ジルベルトによると、ある夜、彼はひどい歯痛で眠れませんでした。痛みを忘れようとして、サイクロイドについて考え始めると、痛みが消えました。パスカルはそれを研究を続けてよいという許しと受けとり、八日のうちに、誰も解いたことのない問題を解きました。曲線の各部分の面積、その重心、そして曲線を軸のまわりに回転させてできる立体の体積です。 それから彼は、アモス・デトンヴィルという偽名で、ヨーロッパ中に公開の挑戦状を出しました。一位には金貨 40 ピストル、二位には 20 ピストルを出すとし、締め切りは 1658 年 10 月 1 日でした。

October 11, 2026 読んだ
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ジョン・ナッシュの遺産

統計的に見れば、66 歳の数学者や科学者が、研究を続けることによって以前の業績に多くを付け加えられるとは考えにくいだろう。しかし私はまだ努力を続けている。 — ジョン・ナッシュ、ノーベル財団のための自伝（1994） ジョン・ナッシュは、経済学と数学の二つの最高の栄誉であるノーベル賞とアーベル賞を、ともに受けたただ一人の人です。彼の仕事の二つの半分には、何の共通点もないように見えます。一方は人間の決定について、もう一方は曲面と方程式についてです。二つを結ぶのはスタイルです。だれもが不可能だと思っていた問題に、だれも思いつかなかったアイデアで挑むことです。 いたるところにあるゲーム理論 ナッシュ均衡は経済学の共通語になりました。同じ交差点の二つのガソリンスタンドがほとんど同じ値段をつける理由、だれも広告を出さなければ全員が得をするのに企業が広告を出す理由、気候の合意がこれほど難しい理由を説明してくれます。1990 年代、いくつもの国の政府が、携帯電話の周波数帯を、ゲーム理論で設計したオークションで売るようになり、数百億ドルを集めました。 生物学では、イギリスのジョン・メイナード＝スミスが 1970 年代に、進化もナッシュ均衡を生み出すことを示しました。集団の中で生き残る行動の戦略は、どんな突然変異も改善できない戦略なのです。政治学では、均衡は選挙や戦争や議会の投票を理解するのに役立ちます。計算機科学では、インターネットの経路制御や、デジタル市場のためのアルゴリズムの設計に現れます。1994 年以来、ノーベル経済学賞はゲーム理論の仕事に何度も与えられてきました。 純粋数学 埋め込み定理とナッシュ＝モーザーの方法は、幾何学と解析学を変えました。ナッシュが $C^1$ の場合のために考案した技法は、ロシアのミハイル・グロモフが凸積分と名づけたもので、「剛性と柔軟性」の現象という一つの分野全体を生み出し、2018 年には流体の乱流に関するラルス・オンサーガーの予想の証明に使われました。ド・ジョルジ＝ナッシュの定理は、複合材料や多孔質の媒質を記述する、不規則な係数をもつ微分方程式の現代理論の土台です。 病と回復 ナッシュは精神疾患についての教訓も残しました。三十年の間、彼は終わった人と見なされていました。ゆっくりとした部分的な回復は、統合失調症が必ずしも最終的な宣告ではないことを示しました。ノーベル賞のあと、彼とアリシアはよりよい治療と偏見の減少を訴えるようになりました。二人の息子ジョン・チャールズも数学者で、統合失調症を患っていました。 残ったもの ゲーム理論。 あらゆる種類のゲームに対するナッシュ均衡、混合戦略での存在、そして交渉解。 盤上ゲーム。 ヘックス、戦略盗用論法、そして不動点定理とのつながり。 幾何学。 $C^1$ と滑らかな場合の等長埋め込み定理、そして凸積分。 解析学。 ド・ジョルジ＝ナッシュの定理と、非線形方程式のためのナッシュ＝モーザーの方法。 応用科学。 経済学、進化生物学、政治学、オークション、計算機科学。 NSA への手紙 1955 年、ナッシュはアメリカ国家安全保障局（NSA）に手紙を書き、暗号方式を提案しました。2012 年になってようやく公開されたその手紙で、彼は、暗号を破るのにかかる時間が鍵の長さとともに指数関数的に増え、使うのにかかる時間はわずかしか増えないなら、その暗号は安全だと論じています。これはまさに現代の暗号の基礎にある考えであり、ナッシュはそれが計算の理論に現れる二十年近く前にこれを述べていたのです。 覚えておきたいこと ジョン・ナッシュは 1928 年から 2015 年まで生きた。おもな仕事は 20 歳から 30 歳の間に、プリンストンと MIT で行った。 ヘックスには引き分けがなく、先手はいつでも勝てる。これが戦略盗用論法である。 ナッシュ均衡では、だれも一人で変えて得をすることはない。囚人のジレンマのように、均衡が全員にとって悪いこともある。 すべての有限ゲームには混合戦略の均衡がある。指の偶奇当てでは、各自が 50% の確率でくじを引く。 ナッシュ交渉では、決裂点からの利得の積を最大にし、各自は決裂点の利得に余剰の一部を加えたものを受け取る。 どんなリーマン多様体もユークリッド空間にゆがみなく描ける。一階の滑らかさだけでよければ、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まる。 不規則な物質の中でも、熱はならす。解はヘルダー連続である。 出典： Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）· ジョン・ナッシュの自伝、ノーベル財団 · ナッシュの NSA への手紙（1955）、2012 年に同局が公開。

October 14, 2026 読んだ
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第五公準とほかの幾何学

私は無から、奇妙な新しい宇宙をつくりだしました。 — ボヤイ・ヤーノシュ、父への手紙（1823 年 11 月 3 日） ユークリッドの最初の四つの公準は短く、明らかです。直線を引く、それを延ばす、円を描く、すべての直角は等しい。五つ目はちがいます。 一本の直線が二本の直線と交わり、同じ側の内角の和が二直角より小さいならば、その二本の直線を限りなく延長すると、その側で交わる。 長いうえに、だれにも確かめられないことを語っています。限りなく 延ばした二本の直線がどうなるか、です。ユークリッド自身もこれを疑わしく思っていたようで、できるかぎり使うのを避け、命題 I.29 になってはじめて使っています。 プレイフェアの形 もっと覚えやすい形があり、1795 年にスコットランドのジョン・プレイフェアが広めました。直線の外の一点を通って、その直線に平行な直線はただ一本ある。ほかの公準のもとでは、二つの形は同値です。一方を認める人は、もう一方も認めなければなりません。 三角形の角 第五公準の最も有名な帰結は命題 I.32、三角形の内角の和は二直角、つまり $180°$ に等しい です。このサイトの旧三角法講座は、これを第一の「規範」と呼んでいました。 $$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$証明はこうです。三角形 $ABC$ の頂点 $C$ を通って、底辺 $AB$ に平行な線を引きます。この平行線が辺 $CA$、$CB$ となす角は、錯角 なので、三角形の角 $\alpha$ と $\beta$ に等しくなります（I.29）。角 $\gamma$ とあわせて、三つの角は平行線の上にならび、平角 $180°$ をつくります。錯角が等しいという段階こそ、第五公準が入ってくるところです。 二千年の証明の試み 二千年のあいだ、数学者たちは、第五公準は公準ではなく定理であるべきだ、ほかの四つから証明できるはずだ、と考えていました。プトレマイオス、プロクロス、ペルシャのウマル・ハイヤーム、同じくペルシャのナスィールッディーン・トゥースィー、イギリスのジョン・ウォリスが挑みましたが、みな失敗しました。どの「証明」も、どこかに公準そのものと同値な仮定を隠しもっていたのです。 1733 年、イエズス会の司祭ジローラモ・サッケーリは別の道を試しました。公準が まちがっている と仮定して、矛盾にいたろうとしたのです。彼は、角の和が $180°$ より小さい三角形など、奇妙な定理を何十も導きました。矛盾はひとつも見つかりませんでしたが、矛盾は必ずあるはずだと信じていた彼は、その結果を「直線の本性に反する」と宣言し、『あらゆる汚点から清められたユークリッド』という題で本を出しました。発見まであと一歩だったのに、それが見えなかったのです。 新しい幾何学 十九世紀のはじめ、三人がそれぞれ独立に、欠けていた一歩を踏みだしました。第五公準のない幾何学も ユークリッドの幾何学と同じくらい矛盾がない と認めることです。ガウスは 1820 年ごろそこにたどりつきましたが、反響をおそれて発表しませんでした。ロシアのニコライ・ロバチェフスキーは 1829 年、カザン大学の雑誌に発表しました。数学者の息子だったハンガリーのボヤイ・ヤーノシュは、1832 年、父の本の付録として発表しました。 ボヤイの父ファルカシュは、生涯をかけて第五公準を証明しようとしていました。息子が同じ道を進んでいると知ると、あきらめてくれと頼む手紙を書きました。「後生だから、平行線のことはほうっておきなさい。みだらな情熱のように忌みきらいなさい。それはおまえの時間も、健康も、心の平安も、人生の幸福も、すべて奪いかねないのだから」。ヤーノシュはあきらめず、1823 年、この記事の冒頭の言葉で返事をしました。 この 双曲幾何学 では、直線の外の一点を通る平行線は 無限に あり、三角形の角の和はいつも $180°$ より 小さく なります。三角形が大きいほど、和は小さくなります。 球面の幾何学 反対の場合もあります。球の表面では、「直線」つまり最短の道は、赤道や子午線のような 大円 です。二つの大円はいつも交わるので、平行線はありません。赤道と、北極から $90°$ 離れて出る二本の子午線でできる三角形を考えましょう。三つの角はどれも直角で、和は

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの原理：水で力を何倍にもする

ゾウとハイヒールをはいた女性。やわらかい地面に深く沈むのはどちらでしょうか。女性のほうかもしれません。ゾウは五十倍も重いのですが、その重さは四本の大きな足に広がっています。女性の重さは、細いヒールの先に集中しています。 地面を沈ませるのは力ではなく圧力です。圧力とは、力をそれがかかる面積で割ったものです。 $$p=\frac FA.$$圧力の単位はパスカルです。$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$、つまり 1 ニュートンの力が 1 平方メートルに広がった圧力です。これはとても小さな圧力で、海面での大気の圧力は約 $100\,000$ Pa です。 液体についての論文 1653 年ごろ、パスカルは『流体の平衡について』を書きました。出版されたのは彼の死後の 1663 年です。そこには、今日パスカルの原理と呼ばれる規則が書かれています。 閉じこめられて静止している液体の一点に加えられた圧力の増加は、液体のすべての点と容器の壁に、等しく伝わる。 歯みがきのチューブの真ん中を押すと、口から中身が出てきます。指の圧力がそこまで届いたのです。風船に水を入れ、何か所か穴をあけて押すと、すべての穴から、あらゆる方向に水が噴き出します。 破裂した樽 パスカルが有名な実演をしたという話があります。水をいっぱいに入れてしっかり閉じた樽のふたに、高さ約 10 メートルの細くて長い管を差し込みました。バルコニーに上がって管に水を注ぐと、1 リットルあまりで樽が破裂したというのです。 この場面が本当にそのとおりだったかはわかりませんが、計算するとありえたことがわかります。高さ $h$ の液柱の底での圧力は $$p=\rho gh,$$です。$\rho$ は液体の密度、$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ です。高さ 10 メートルの水なら、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ として $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$大事なのは水柱の高さで、水の量ではありません。管の断面積が $1\ \text{cm}^2$ なら、10 メートルの水はたった $1$ リットルです。ところが、この $98\,000$ Pa は樽のふた全体に伝わります。ふたの面積が $0.2\ \text{m}^2$ なら、ふたにかかる力は $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$2 トンのものの重さに相当します。細い管の中のたった 1 リットルの水が、自動車が載っているような力でふたを押すのです。 水圧機 パスカルは、この原理を使えば力を何倍にもできることに気づきました。水を満たした二つの円筒が底でつながり、それぞれピストンでふさがれているとします。一方は細く、もう一方は太い。細いピストンを力 $F_1$ で押すと、圧力は $F_1/A_1$ だけ増え、その同じ増加が太いピストンに伝わります。 $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 小さなピストンを押す一人の人は、百倍広いピストンを押す百人の人の力に等しくなる。 — ブレーズ・パスカル『流体の平衡について』 小さいほうの面積が $2\ \text{cm}^2$、大きいほうが $8\ \text{cm}^2$ なら、比は $4$ です。小さいピストンに $50$ N の力をかけると、大きいピストンでは $200$ N になります。車を持ち上げる油圧ジャッキも、足一本の力で車を止めるブレーキも、ショベルカーも、この仕組みで動いています。

October 11, 2026 読んだ