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ユークリッドの遺産

彼は下院議員になってから、ユークリッドの六巻を学び、ほぼものにした。 — エイブラハム・リンカーン、自伝的覚え書き（1860） 『原論』は、聖書についで、歴史上最も多く書き写され、訳され、印刷された本のひとつです。1482 年にヴェネツィアで最初の印刷版が出て以来、版は千を超えます。二千年以上のあいだ、「幾何学を学ぶ」とは「ユークリッドを学ぶ」ことでした。 1482 年にヴェネツィアでエアハルト・ラトドルトがつくった『原論』の最初の印刷版。ラテン語訳。図は本文のわきの余白にある。昔の読者がページを書きこみで埋めている。Folger Shakespeare Library · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 一冊の本の多くの顔 このサイトの旧三角法講座は、ユークリッドの見せ方を変えたいくつかの版を集めていました。 年 人物 版 1120 年ごろ バースのアデラード アラビア語からラテン語への翻訳 1482 エアハルト・ラトドルト 最初の印刷版、ヴェネツィア 1570 ヘンリー・ビリングズリー 最初の英訳。折ると立体になる紙の図つき 1607 マテオ・リッチと徐光啓 最初の六巻の中国語訳、北京 1698 ザムエル・ライヤー Euclides… mit algebraischen Zeichen、代数記号で書いたユークリッド 1847 オリヴァー・バーン The First Six Books of the Elements of Euclid、文字を色に置きかえた版 バーン の版は、これまでに印刷された最も美しい本のひとつです。「三角形 $ABC$」と書くかわりに、彼は三角形を黄、赤、青で描き、証明は小さな色つきの図の連なりになります。当時は売れませんでしたが、今では博物館の所蔵品であり、デザイナーたちのインスピレーションの源です。 ナスィールッディーン・トゥースィーの版による『原論』のアラビア語版。1594 年にローマで印刷された。ハーヴァード大学ホートン図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 方法 定理よりも大切だったのは 方法 でした。アイザック・ニュートンは『原論』にならって『プリンキピア』（1687）を書きました。定義、運動の法則と名づけた公理、そして一つひとつ証明される命題です。スピノザは『エチカ』（1677）を「幾何学的秩序にしたがって」書き、神と魂について定義と公理と命題を立てました。アメリカの独立宣言は、公理のように自明とされる真理から始まり、そこから独立の権利を導いています。

October 14, 2026 読んだ
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写真と画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ジョン・ナッシュの肖像、Peter Badge 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 2006 年のジョン・ナッシュ、ケルンにて、Elke Wetzig 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 平坦トーラスの等長埋め込み、Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード：元のページ · CC0。 ブログの図 表紙、ヘックスの盤、交渉における利得の積のグラフはオリジナルの図で、サイトの各言語の版があります。盤は架空の対局を示しており、赤が列を完成させています。 記録 ファイル data/nash_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ジョン・ナッシュの全トピック · ← ジョン・ナッシュの遺産

October 14, 2026 読んだ
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空気の重さ：ピュイ・ド・ドームの実験

二千年ものあいだ、学者たちはアリストテレスの言葉をくり返してきました。自然は真空を嫌う。ストローで空気を吸うと液体が上がってくるのは、自然がそこを空っぽのままにしておかないからだ、というのです。これですべてが説明できるように思えました。 ところが、フィレンツェの井戸掘り職人たちは困っていました。どんなに頑張っても、吸い上げポンプでは水を約 10 メートルより高く上げられなかったのです。自然の真空嫌いが、なぜ 10 メートルで止まるのでしょうか。 トリチェリの管 1643 年、ガリレオの弟子だったイタリアのエヴァンジェリスタ・トリチェリは、一方の端を閉じた長さ 1 メートルのガラス管に水銀を満たしました。もう一方の端を指でふさぎ、管を逆さにして水銀を入れた盆に立て、指を離しました。水銀は下がって約 76 cm の高さで止まり、管の上部に何もない空間が残りました。 トリチェリの説明は大胆なものでした。水銀柱を支えているのは真空嫌いではなく、盆の表面を押している空気の重さだというのです。私たちは空気の海の底に住んでいる、と彼は書きました。水銀は水の約 13.6 倍の密度があり、$76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m です。フィレンツェのポンプの限界と同じ値です。 パスカル、実験を高いところへ パスカルは 1646 年にこの実験のことを聞き、ルーアンで水やワインを満たした巨大なガラス管を使って再現しました。しかし彼は決定的な検証をしたいと考えました。彼の推論はこうです。もし水銀を支えているのが空気の重さなら、上にある空気が少ない山の頂上では、水銀柱は低くなるはずだ。もし原因が真空嫌いなら、高さは何の違いももたらさないはずだ。 パスカルはパリに住んでいて、体も弱かったので、1647 年 11 月、クレルモンに住む義兄フロラン・ペリエに手紙を書きました。クレルモンは、高さ 1500 メートル近い死火山ピュイ・ド・ドームのふもとにある町です。 1648 年 9 月 19 日 ペリエは証人になってもらうために、クレルモンの神父や名士たちと一緒に山に登りました。管を二本と水銀を持っていきました。この実験には現代的な発想がありました。登る前に、町でいちばん低いところにあるミニム会修道院の庭で二本の管を組み立て、同じ高さになることを確かめたのです。一本はそこに残し、シャスタン神父という修道士に一日じゅう見張ってもらいました。もう一本を持って山に登りました。 ピュイ・ド・ドームの山頂にある 1648 年の実験の記念碑。パスカル生誕三百年の 1923 年に撮影。Agence Rol、1923 年 · フランス国立図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 当時の単位での測定結果は次のとおりです。 場所 水銀の高さ クレルモンのミニム会修道院の庭 26 プース 3½ リーニュ ピュイ・ド・ドームの山頂（約 500 トワーズ上） 23 プース 2 リーニュ フランスの 1 プースは約 $27.07$ mm、1 リーニュは 1 プースの $\frac1{12}$ です。換算すると

October 11, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。ユークリッドの生前に描かれた肖像はひとつもありません。出まわっている彼の姿は、ずっとあとの画家たちの想像です。 オクシリンコスのパピルス、命題 II.5、紀元 100 年ごろ、ペンシルヴェニア大学博物館：元のページ · パブリックドメイン。 『アテナイの学堂』の部分、ラファエロ、1509–1511 年：元のページ · パブリックドメイン。 オリヴァー・バーン版の命題 I.47、ロンドン、1847 年、Mirko Junge によるスキャン：元のページ · パブリックドメイン。 『原論』の最初の印刷版、エアハルト・ラトドルト、ヴェネツィア、1482 年、Folger Shakespeare Library：元のページ · CC BY-SA 4.0。 『原論』のアラビア語版、ナスィールッディーン・トゥースィーの版、ローマ、1594 年、ホートン図書館：元のページ · パブリックドメイン。 ブログの図 表紙、正三角形の作図、ピタゴラスの定理の図、平方完成の図は、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。平方完成の例 $x^2+10x=39$ と練習問題 $x^2+8x=65$ は、このサイトの旧二次方程式講座から取り、図は描きなおしました。3、4、5 と 6、8、10 の例と版の表は、旧幾何学講座と旧三角法講座から来ています。 記録 ファイル data/euclides_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ユークリッドの全トピック · ← ユークリッドの遺産

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 11, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 11, 2026 読んだ
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正弦・直角をはさむ辺・斜辺：三角法と失われた名前

ほとんどの生徒は、「サイン」「コサイン」「斜辺」といった言葉の意味を知らないまま使えるようになります。知らない町の通りの名前のように、覚えるためのラベルです。けれども、どの言葉もかつては何かを説明していて、なかには思いがけない物語を隠しているものもあります。たとえばサインは、うまくいかなかった翻訳の産物なのです。 ラテン語のピタゴラス 幾何学でいちばん有名な定理は、長いあいだ、三角形の辺の上にかかれた本物の正方形についての文でした。このサイトの以前の記事は、それを中世風にこう書いていました。 $$\textit{quadratum lateris } a \textit{ et quadratum lateris } b \textit{ aequalis quadratum lateris } c,$$「辺 $a$ の正方形と辺 $b$ の正方形は、辺 $c$ の正方形に等しい」。辺が $3$、$4$、$5$ なら、正方形の面積は $9$、$16$、$25$ で、たしかに $9+16=25$ です。$6$、$8$、$10$ なら $36+64=100$。今日では $$a^2+b^2=c^2$$と書きます。指数 $^2$ は、その呼び名「2 乗」（英語では squared、正方形にする）に、自分が出てきた図をまだ宿しています。この定理はギリシアだけのものではありません。紀元前 1800 年ごろのバビロニアの粘土板「プリンプトン 322」は、この関係をみたす数の組を並べていますし、中国の『周髀算経』は「勾股」と呼ばれる図で $3$、$4$、$5$ の場合を示しています。勾と股は、中国語での短い二辺の名前です。 カテトスとヒュポテヌーサ ヨーロッパの言語では、直角三角形の辺の名前はギリシア語から来ていて、位置を説明するものでした。直角をはさむ辺を表す cathetus は káthetos「垂れ下がるもの」から来ていて、大工のおもりの糸（下げ振り）を指す言葉でもあります。もう一方の辺に対して垂直に落ちる辺なのです。斜辺 hypotenuse は hypoteínousa「下にはりわたされたもの」から来ていて、直角の下を端から端まで、弓の弦のようにのびる辺です。 これらの名前は言葉によるイコンで、それぞれの辺がどこにあるかを言っていました。ラベルになったとき、絵は失われました。ギリシア語がわかる人には「斜辺はいちばん長い辺」はほとんど当たり前ですが、言葉を覚えただけの人には、また一つの規則にすぎません。日本語の「斜辺」も、ななめの辺という絵を残しています。 正三角形と特別な角 学校で覚えさせられるサインやコサインの値、$\frac12$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$ などは、二つの図から出てきます。一辺 $a$ の正三角形を高さ $h$ で半分に切ると、角が $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ で、斜辺が $a$、一つの辺が $\frac a2$ の直角三角形が二つできます。ピタゴラスの定理から $$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2\quad\Longrightarrow\quad h^2=\frac{3a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a}{2}\sqrt3.$$斜辺を $1$ とすると、$30^\circ$ の向かいの辺は $\frac12$、$60^\circ$ の向かいの辺は $\frac{\sqrt3}2$ です。正方形を対角線で切れば $45^\circ$ が現れ、二辺はどちらも $\frac{\sqrt2}2$ です。覚えさせられる表は、二つの図を読んだものにすぎないのです。

October 13, 2026 読んだ
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ユークリッド：図と証明

紀元前 300 年ごろ、アレクサンドリアで、ユークリッドはギリシアの幾何学を十三巻にまとめました。『原論』です。二千年以上にわたって世界でもっとも読まれた数学書であり、その最初の命題が、この本の進め方をよく示しています。 与えられた有限の直線の上に、正三角形を作図すること。 — ユークリッド『原論』第 1 巻命題 1 手順は短いものです。与えられた線分を $AB$ とします。$A$ を中心、$AB$ を半径として円をかき、$B$ を中心、同じ半径でもう一つの円をかきます。二つの円が交わる点の一つを $C$ とします。すると $AC=AB$ です。どちらも最初の円の半径だからです。また $BC=AB$ です。どちらも二つ目の円の半径だからです。同じものに等しいものどうしは互いに等しいので、$AC=BC=AB$ となり、三角形 $ABC$ は正三角形です。 ここでの書き方に注目してください。演算の記号も、方程式も、$x$ もありません。あるのは言葉と図、そしてその二つを結ぶ文字です。文中の $C$ という文字は、図の中の特定の点を指しています。それがなければ「二つの円が交わる点の、上のほう」と言わなければなりません。ユークリッドの文字は、数学における最初のラベルなのです。 図は見せ、文章が証明する ユークリッドの図は、いつも特定の図です。この角度、この大きさ、紙の上でこの傾きをもった三角形です。けれども命題はどんな線分 $AB$ についても成り立ちます。特定の図が、どうして一般的な主張を支えられるのでしょうか。 ギリシア人の答えは、支えられない、というものでした。証明するのは文章であり、定義と公準だけを使って一歩ずつ進みます。図は目を導き、迷わないようにしてくれますが、証明のどの文も「図から明らかなように」とは言いません。図が、文章でまだ正当化されていないことを示しているように見えたら、読者には疑う権利があります。 あとで使う例を見てみましょう。三角形の中線は、頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ線分です。好きな三角形をかいて中線を一本引くと、三角形が面積の等しい二つの部分に分けられているように見えます。 中線は頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ。二つの三角形は底辺が等しく、高さも同じである。この本のために作成した説明図。 「見える」だけでは足りません。証明はこうです。できた二つの三角形は底辺が等しく（切られた辺の二つの半分）、高さが同じです（頂点から底辺をふくむ直線までの距離は、どちらにとっても同じ）。三角形の面積は底辺かける高さの半分なので、面積は等しくなります。この証明が図のどんな測定にも頼っていないことに注意してください。背の高い三角形でも、平たい三角形でも、いびつな三角形でも、同じように成り立ちます。 すべての三角形は二等辺三角形？ イギリスの数学者 W・W・ラウズ・ボールが 1892 年に広めた、すべての三角形には等しい二辺がある、という有名な「証明」があります。どの段階も正しく見え、添えられた図も説得力があります。誤りは図にあります。ある交点を三角形の内側においているのですが、実際にはその点はいつも外側に落ちるのです。図を信じる人はわなにかかり、すべての位置を文章で正当化するよう求める人はわなを逃れます。ユークリッドの教訓を裏返しにしたような話です。 文字のないユークリッド 1847 年、アイルランドの技師オリヴァー・バーンは、『原論』の最初の六巻を大胆な発想で出版しました。文字を色に置きかえたのです。「角 $ABC$ は角 $DEF$ に等しい」と書くかわりに、バーンは小さな赤い角、等号、そしてもう一つの赤い角をかきました。文章はほとんど消え、証明は色つきの図の連続になります。 この本は美しく、今でも芸術作品として復刻されています。けれども、数学を書く方法としては定着しませんでした。色の印刷は高価で、白黒の複写では消えてしまい、何よりも規模を広げられなかったのです。図に二十の点があったら、二十の色合いを見分けられる人はいません。色の横では貧しく見えたユークリッドの文字のほうが、生きた記法でした。組み合わせることができ（$AB$、$ABC$）、ほかの命題でも使い回せ、声に出して読むこともできたからです。 証明には向くが、計算には向かない ギリシアの幾何学は、今なら代数と呼ぶものまで、すべてを言葉と図で行っていました。私たちが $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ と書く恒等式は、『原論』（第 2 巻命題 4）ではこうなっています。「線分を任意に分けるとき、全体の上の正方形は、各部分の上の正方形と、各部分にはさまれた長方形の二倍との和に等しい。」正しく、証明もされていますが、計算に使うのはとても難しいのです。 これが、この章が次に越える境界です。ギリシアの書き方は、なぜそれが正しいのかを示すには優れていましたが、未知の量をあつかうには重すぎました。問題がそうしたあつかいを求めるようになったとき、数学には別の書き方が必要になったのです。 練習問題：座標で見る中線頂点が $A=(0,0)$、$B=(6,0)$、$C=(1,4)$ の三角形を考えます。$AB$ の中点は $M=(3,0)$ です。三角形 $AMC$ は底辺 $AM=3$、高さ $4$（$C$ の $y$ 座標）なので、面積は $\frac{3\cdot4}{2}=6$。三角形 $MBC$ は底辺 $MB=3$、高さは同じく $4$ なので、面積も $6$ です。三角形全体の面積は $\frac{6\cdot 4}{2}=12$。$C$ が大きく左に寄っていても、中線は面積をちょうど半分にしました。

October 13, 2026 読んだ